第三章 圆（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 圆（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知直径为6，线段的长度为2，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 2．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 4．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．正八边形的中心角等于 度． 12．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 13．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设，则 ． 14．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 15．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    17．如图，是的直径，是的切线，B是切点，，点E为垂足，若，，则的直径为 ． 18．如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 20．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 21．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 23．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 24．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 25．如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)已知，求的值． 26．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． （1）当时，的长度为______； （2）当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数； （3）当，且为直角三角形时，求四边形的面积（直接写出结果）． 27．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． (1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； (3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．已知直径为6，线段的长度为2，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点P与圆心的距离大于半径时，点P在圆外；当点P与圆心的距离等于半径时，点P在圆上；当点P与圆心的距离小于半径时，点P在圆内．根据点与圆的位置关系即可判断． 【解析】解：∵直径为6， ∴半径为3， ∵， ∴点P在圆内， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是关键． 2．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【解析】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误； ②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误； ③半圆是弧，原说法正确； ④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【解析】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 4．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【解析】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 5．如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可，熟练掌握圆内接四边形的性质是解决此题的关键． 【解析】∵四边形为圆内接四边形, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 7．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【解析】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， 故选：D． 9．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【解析】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【解析】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 二、填空题 11．正八边形的中心角等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【解析】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 12．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 13．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设，则 ． 【答案】/度 【分析】先求解 再利用圆周角定理可得答案． 【解析】解：为的直径， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，证明是解本题的关键． 14．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【解析】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握． 15．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 16．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定所对的圆心角为是解题的关键． 根据正方形的性质得到所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理即可求解． 【解析】解：连接、，如图所示，   正方形内接于， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，是的直径，是的切线，B是切点，，点E为垂足，若，，则的直径为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了垂径定理，用切线的性质和相似三角形的判定，解题关键是熟记相关性质，综合运用．由垂径定理可求出，根据勾股定理在求出，利用切线的性质和相似三角形的判定方法可证明，再利用相似的性质即可求出直径的长． 【解析】解：∵，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，B是切点， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 18．如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【解析】如图，连接，作于H，于K， ， ， ， ， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当C、O、H共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【解析】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 21．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证； （2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答． 【解析】（1）证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 22．如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE= 【分析】（1）连接，根据，平分，可得，再由，可得，即可； （2）过点O作于F，可得四边形为矩形，从而得到， 由勾股定理求出的长，可得到的长，再由勾股定理，即可求解． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且四边形ABED是圆内接四边形， ∴AE是圆的直径， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 23．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为 【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的性质可求出，可得，由此即可求证； （2）如图所示，连接，根据圆周角与圆心角的关系，可得，根据圆中，相等的圆心角所对边相等，可得，在中，根据余弦的计算方法即可求解． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， 且，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∴半径为． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的大小关系，余弦的计算方法是解题的关键． 24．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【解析】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 25．如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质，圆周角定理得到，又，即可证明问题； （2）由得到，由，得到，因此，于是得到． 【解析】（1）证明：∵切于， ∴直径， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接，    ∵C是中点， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 由（1）知， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由， ，得到． 26．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． （1）当时，的长度为______； （2）当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数； （3）当，且为直角三角形时，求四边形的面积（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）18°；（3）或． 【分析】（1）过点作于点，根据垂径定理及余弦的定义解题； （2）连接，设，由三角形的外角性质得，由得到，最后根据三角形的外角性质解题； （3）分两种情况讨论，①当时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH、OH、BH的长，再由面积差解题；②当时，连接AC，证明，分别计算各边的长，最后根据面积差解题． 【解析】解:（1）如图，过点作于点， 故答案为：； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵点为弧中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由外角定理① （或在中，由外角定理） 在中，② 由①②解得； （3）分两种情况讨论， ①当时，过点作于点， ； ②当时，连接， 同理得 综上所述，四边形AOEB的面积为或． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及平行线分线段成比例定理，余弦、勾股定理、三角形外角性质、三角形和四边形的面积公式等知识，有难度，掌握相关知识是解题关键． 27．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． (1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； (3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)定值， 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入，即可求解； （2）过F作于H，过F作轴，交直线于Q，由切线的性质得H在上，，由勾股定理得，设，，可求，即可求解； （3）设，设抛物线解析式为，将代入得，，设直线解析式为，联立直线与抛物线的解析式得，，同理可求出，由中点得，待定系数法得直线解析式为，可求出 ，由可求出，即可求解． 【解析】（1）解：A的坐标是， ， ， ， 可设抛物线的解析式为， ， ， 解得：， ， 故抛物线的解析式为； （2）解：如图，过F作于H，过F作轴，交直线于Q， 为的切线， H在上，， 直线， ， ， 设，， ， ， 当时， ， ， ， F； （3）解：定值， 设， ，， ，， 设抛物线解析式为， 将代入得， ， 的内心在x轴上， ， 设直线解析式为：， 联立， 解得：， ， 平分，且在轴上， 直线与直线关于轴对称， 同理设直线解析式为：， 同理可求出， K是的中点， ， ， ， 设直线解析式为：，则有 ， 解得：， 直线解析式为：， 当时， ， 解得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，三角形的内心定义，勾股定理等；能熟练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$