专题08 一次函数综合题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题08 一次函数综合题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 一次函数综合定值问题】 1 【题型2 一次函数综合最值问题】 24 【题型3 一次函数综合存在性等腰三角形】 52 【题型4 一次函数综合存在性直角三角形】 74 【题型5 一次函数综合存在性面积相关】 98 【题型1 一次函数综合定值问题】 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 2．如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B．      (1)矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由； (2)连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值． 【答案】(1)矩形的周长是定值，为20，理由如下： (2)不是定值，有最小值为． 【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标特点得到，再根据矩形周长公式进行求解即可； （2）根据题意可得当最小即时的周长最小，利用等面积法求出最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的周长是定值，为20，理由如下： ∵点是一次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长是定值，为20． （2）解：不是定值， ∵， ∴当最小即时的周长最小， 设一次函数与x轴，y轴分别交于D、C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长不是定值，有最小值为．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，熟知一次函数图象上的点一定满足一次函数解析式是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，的连线交y轴于点P，判断的值是否为定值，若不是请说明理由；若是请求出其定值． 【答案】(1)-1，3 (2)-2m (3)不变； 【分析】（1）根据非负性列式即可求解； （2）如图：过点M作轴于点N，然后确定AB的长以及AB边上的高，最后运用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：连接AP，先求出直线MB的解析式，进而求得P点坐标，即可得到OP的长度，然后再求出△ABP和△APM的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴a+1=0，b-3=0 ∴，． （2）解：如图：过点M作轴于点N， ∵ ∴， 又∵点在第三象限 ∴ ∴． （3）解：如图：连接AP ∵，B（3,0）， ∴m＜0 设直线MB的解析式为y=kx+b ∴直线MB的解析式为 令x=0可得，y=，即点P（0，），则OP=- = ． 【点睛】本题属于一次函数与几何的综合题，主要考查了非负性的应用，求一次函数解析式、求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 4．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)A（﹣5，0），直线L的解析式为：y＝x+5 (2) (3)PB的长是定值，定值为；理由见详解 【分析】（1）当y＝0时，x＝﹣5；当x＝0时，y＝5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA＝OB，解得：m＝1，即可得出直线L的解析式； （2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN＝OM，即可求出BN的长； （3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA＝BK，EK＝OB，得出EK＝BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK＝PB，即可得出结果． 【详解】（1）∵对于直线L：y＝mx+5m， 当y＝0时，x＝﹣5， 当x＝0时，y＝5m， ∴A（﹣5，0），B（0，5m）， ∵OA＝OB， ∴5m＝5，解得：m＝1， ∴直线L的解析式为：y＝x+5； （2）∵OA＝5，AM， ∴由勾股定理得：OM， ∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∵∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠BON＝∠OAM， 在△AMO和△OBN中，， ∴△AMO≌△ONB（AAS） ∴BN＝OM； （3）PB的长是定值，定值为；理由如下： 作EK⊥y轴于K点，如图所示： ∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°，BO＝BF，∠OBF＝90°， ∴∠ABO+∠EBK＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠EBK＝∠OAB， 在△ABO和△BEK中，， ∴△ABO≌△BEK（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∴EK＝BF， 在△PBF和△PKE中，， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PBBKOA5． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果． 5．如图①所示，直线L：y＝mx＋5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA＝OB时，试确定直线L解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝4，MN＝7，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围． 【答案】（1）y＝x＋5；（2）3；（3）PB的长为定值，理由见解析 【分析】（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA＝OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式； （2）由OA＝OB，余角的性质，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度； （3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长． 【详解】解：（1）如图1中， ∵直线L：y＝mx＋5m， ∴A(﹣5，0)，B(0，5m)， 由OA＝OB，得5m＝5，m＝1， ∴直线解析式为：y＝x＋5； （2）如图2， ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，AO⊥BO， ∴=90°， ∠OAM+∠AOM=90°， ∵ AO⊥BO， ∴∠BON+∠AOM=90°， ∴， 在△AMO与△ONB中， ， ∴△AMO≌△ONB（AAS）， ∴AM=ON＝4，BN＝OM， ∵MN＝7， ∴OM＝3， ∴BN＝OM＝3； （3）结论：PB的长为定值．理由如下， 如图3中，作EK⊥y轴于K点， ∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠EBK＋∠ABO＝90°， ∵∠EBK＋∠BEK＝90°， ∴∠ABO＝∠BEK， 在△AOB和△BKE中， ， ∴△AOB≌△BKE（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∵△OBF为等腰直角三角形， ∴OB＝BF， ∴EK＝BF， 在△EKP和△FBP中， ， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PB＝BK＝OA＝． 【点睛】本题为平面直角坐标系与几何知识综合题，综合性较强，考查了一次函数，全等三角形等知识，根据题意证明三角形全等是解题关键． 6．如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 【答案】（1）（4，3）；（2）①是定值，4.5；②t＝，P（1，﹣） 【分析】（1）由平移的性质直接得出结论； （2）①先求出CD＝3，再判断出EFCD，进而用三角形的面积公式计算，即可得出结论； ②先求出直线AC的解析式，进而求出点Q的坐标，进而求出△FAC的面积，判断出点P在直线AC下方，用△PAC的面积建立方程求解，求出点P的坐标，即可得出结论． 【详解】解：（1）由平移得，C（0＋4，3），即C（4，3）， 故答案为：（4，3）； （2）①由（1）知，C（4，3）， ∵CD⊥x轴， ∴D（4，0），CD＝3， ∵E（1，0）， ∴DE＝4﹣1＝3， ∵CD⊥x轴，EF⊥x轴， ∴CDEF， ∵点P在射线FE上， ∴S△PCD＝CD•DE＝×3×3＝4.5， 即△PCD的面积是定值，其定值为4.5； ②由（1）知，C（4，3）， ∵A（﹣4，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝x＋， 设点P（1，m）（m≤3）， 记EF与AC的交点为Q，则Q（1，）， 当点P和点F重合时，P（1，3）， ∴PQ＝3﹣＝， 此时，S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝××（4＋4）＝9＜， ∴点P只能在AC下方，则PQ＝﹣m， ∴S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝×（﹣m）×（4＋4）＝， ∴m＝﹣， ∴P（1，﹣）， ∴t＝（3＋）÷1＝， 即t的值为． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、平移的性质及三角形的面积求解方法． 7．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点． （1）当时，求点坐标及直线的解析式． （2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长． （3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为定值 【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出OA与OB，由OA= OB，求出m即可； （2）用勾股定理求AB，再证，BN=OM，由勾股定理求OM即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG⊥y轴于G，先证，求BG再证，可确定BP的定值即可． 【详解】（1）对于直线． 当时，． 当时，． ，． ． ． 解得． 直线的解析式为． （2），． 由勾股定理， ． ． ． ． ． ． 在与中， ． ． ．． （3）如图所示：过点作轴于点． 为等腰直角三角形， ． ， ． ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB，求OM，用勾股定理求AB，再证，构造 ，求BG，再证． 8．平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标； （3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝x+2；（2）点P（4，4）或（﹣12，4）；（3）（ON﹣OM）的值为定值，定值为8． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）设点P（a，a+2），由三角形的面积公式可求解； （3）过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，由“AAS”可证△MPE≌△NPF，可得EM＝FN，即可求解． 【详解】解：（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得： ， ∴直线AB解析式为：y＝ x+2； （2）设点P（a，a+2）， ∵△AOP的面积是△AOB面积的2倍， ∴2××4×2＝×4×|a+2|， ∴a＝﹣12或4， ∴点P（4，4）或（﹣12，4）； （3）（ON﹣OM）的值为定值， 理由如下：如图，过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F， ∵点P（4，4）， ∴PE＝PF， ∵PE⊥y轴，PF⊥x轴，∠EOF＝90°， ∴四边形EOFP是矩形， ∴四边形EOFP是正方形， ∴EO＝OF＝PE＝PF＝4，∠EPF＝90°＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， 又∵PE＝PF，∠PEM＝∠NPF， ∴△MPE≌△NPF（AAS）， ∴EM＝FN， ∴ON﹣OM＝OF+FN﹣（EM﹣EO）＝FO+EO＝8， ∴（ON﹣OM）的值为定值． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，证明EM=FN是本题的关键． 9．已知：如图，直线AB交两坐标轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足等式：+（b﹣4）2＝0，点P为直线AB上第一象限内的一动点，过P作OP的垂线且与过B点且平行于x轴的直线相交于点Q， （1）求A，B两点的坐标； （2）当P点在直线AB上的第一象限内运动时，AP﹣BQ的值变不变？如果不变，请求出这个定值；若变化请说明理由． （3）延长QO与直线AB交于点M．请判断出线段AP，BM，PM三条线段构成三角形的形状，说明理由． 【答案】(1) A（﹣4，0）、B（0，4）；(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）由+（b-4）2直接可求a=-4，b=4； （2）过点P作PN⊥AP，交x轴于点N，连接QN，则AN=AP，根据角的关系可证QN⊥ON，BQ=ON，AP-BQ=AN-ON=AO=4； （3）直线AB的解析式y=x+4，设P（m，4+m），分别求出直线PO的解析式为y=x，直线PQ的解析式y=-x+，根据Q点纵坐标与B点纵坐标相同，可求Q（2m+4，4），求出OQ的直线解析式为y=x，M（，），分别将边表示出来PA2=2（m+4）2，BM2=2，PM2=2，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）+（b﹣4）2＝0， ∴a＝﹣4，b＝4， ∴A（﹣4，0）、B（0，4）； （2）如图1：过点P作PN⊥AP，交x轴于点N，连接QN， ∵AO＝BO＝4， ∴∠PAN＝45°， ∴AN＝AP， ∵∠BOP＝∠PQB， ∴∠PQB+∠PON＝90°， ∵∠OPQ＝90°， ∴∠BQN+∠QNO＝180°， ∵BQ∥ON， ∴QN⊥ON， ∴BQ＝ON， ∴AP﹣BQ＝AN﹣ON＝AO＝4； （3）直线AB的解析式y＝x+4， 设P（m，4+m）， 直线PO的解析式为y＝x， ∴直线PQ的解析式y＝﹣x+， ∵Q点纵坐标为4， ∴4＝﹣x+时，x＝2m+2， Q（2m+4，4）， ∴OQ的直线解析式为y＝x， 当x＝x+4时，x＝， ∴M（，） ∴PA2＝2（m+4）2， BM2＝2， PM2＝2， ∴PA2+BM2＝PM2， ∴线段AP，BM，PM三条线段构成三角形直角三角形； 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质；利用直角三角形的边角关系转化边长，熟练应用待定系数法求函数解析式，会求直线交点坐标是解题的关键． 10．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M． （1）求证：． （2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：． （3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是， 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再通过对称得到FB=BC且垂直x轴，从而证Rt△OAC≌Rt△FOB，得到OF⊥AC． （2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求出BA，BF，BH即可． （3）过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点，证明直角△MEN≌直角△MDH． 【详解】（1）证明由得 ， ． 关于AB对称， ， ． 又 ． ． ， ，即． （2）证明：在中，， ， 在中， ， ． （3）解：GB-BD的值是定值，定值等于． 直线AB的解析式为， 点F的坐标为，直线OF的解析式为． 解方程组得， ． 过点M作轴于点N，于点H，如图 四边形MNBH是正方形， ． 又 ， ， ． 在和中， ， ． ． 综上所述，GB-BD的值为定值． 【题型2 一次函数综合最值问题】 11．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，若点为原点， ∴ 轴， 关于的等垂点的坐标为或． 故答案为：或 ②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴ 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在△和中， ， ， ∴ ， ， ∴ Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， 同Ⅰ可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）有最小值，最小值为，理由： 过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则， 当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 12．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案； （3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，， 当时，，， ∴，， 解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 13．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A、C的坐标分别为 、 ． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． ②如图2，在（2）的条件中，若M为x轴上O、B两点之间的一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 【答案】（1），  ；（2）或；（3） 【分析】（1）①在中，分别求出当时，，当时，，即可求出A、B的坐标；如图所示，过点C作轴于D，通过证明，得到，则，即可求出； （2）①过点D作轴于F，延长交于G，先求出，设，则，，进而得到，同（1）的方法得，，得到，则，解得或，则点D的坐标为或或； ②过点N作轴于H，设，同理可证明，推出，则， ，当m增大时，增大，也增大，则的值随着m的增大而增大，故当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，过点D作轴于F，延长交于G， ∵点A坐标，点B坐标， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点D的坐标为或． ②如图所示，过点N作轴于H，设， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 当m增大时，增大，也增大， ∴当m增大时同时增大， ∴的值随着m的增大而增大， ∵点M在上运动， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴的值相当于x轴上一点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，通过一线三垂直模型构造全等三角形是解本题的关键． 14．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的动点，连接，作点关于线段的对称点，连接，． (1)求，两点的坐标； (2)如图2，当点落在直线上时，求点的坐标； (3)如图3，作点关于轴的对称点，连接，为的中点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2) (3)的最小值为； 【分析】（1）分别令，代入即可得到答案； （2）证明，，结合轴对称的性质可得：，，证明，设，则，可得，再解方程可得答案； （3）求解，如图，连接，求解，由对折可得：，结合，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当，则，当，则， ∴，； （2）解：∵，； ∴，， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵作点关于轴的对称点，连接，为的中点， ∴，而， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，掌握基础知识是解本题的关键. 16．综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)和关于y轴对称，请在坐标系中画出； (2)的面积为 ； (3)若P点是x轴上一动点，直接写出长度的最小值为 ，此时点P的坐标是 ． 【答案】(1)图见详解 (2)2 (3)， 【分析】（1）根据题意画出关于y轴的对称图形； （2）用三点所在矩形面积减去周围三个直角三角形即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，此时，进而可求长度的最小值，进而得P坐标． 【详解】（1）如图即为所求；    （2）． 故答案为：2． （3）如图，作点B关于x轴的对称点，连接，此时， ∴， ∴最小值为， 设的函数表达式为：， 将代入得， 解得：， ∴， 将代入得，， ∴， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查坐标与图形—画轴对称图形，勾股定理与网格的应用，一次函数的应用，求解网格三角形的面积，掌握相关知识并正确画出轴对称图形是解题的关键． 18．直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)求A，B两点的坐标； (2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值； (3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒和秒 (3)存在， 【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解； （2）确定出正方形右移只有，两点会落在直线上，直线与交于点，求出，距离，又已知速度是1，即可求出时间； （3）定点，到动点距离和的最小值问题，找出“河岸“的中垂线，然后作出关于的中垂线的对称点，连接，与交于点，即存在，只需要求出移动距离就可以求出时间． 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，， 当时，， ，； （2）正方形只有点，，在直线左侧， 设直线与直线相交于点， 点， 点， ， ， ， ①， 点右移到上时， （秒）， ②， 点右移上时， （秒）， 答：在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线上，所求的值为秒和秒． （3）存在实数，使得有最小值，    理由如下： 由正方形对称性可得， 点的横坐标与的中点的横坐标一样， 点的纵坐标与的中点的纵坐标一样， 未移动时的点的坐标，令为， 点向右移动所在的直线：，设为直线， 作点关于直线对称点，则， 连接，交于直线于点， 此时最小， ，， 直线， 与直线联立解得点，即新点坐标， 如图， （秒）， 答：存在实数，使得有最小值，此时为秒． 【点睛】本题考查一次函数与正方形性质的相结合及运用，难点在于根据“河岸“问题确定出满足最小值的点． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________； (2)求直线的解析式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 【答案】(1)，8 (2)， (3)①② 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）由，即可得点B坐标，继而得，从而得到点A坐标及线段长； （2）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （3）①由ASA证明，即可求解； ②先证四边形OMDN面积为定值，而，要使面积最大，求面积最小即可，当取最小值时，面积最小，即当时，取最小值，进而求解． 【详解】（1）∵， ， ∴点B坐标（0，4）           将点B坐标带入， 解得： 得到解析式： 令，解得，所以A点坐标                 故答案为：，8； （2）解：∵， ∴ 点E坐标 设的解析式为，分别代入 得到：  解得： 所以解析式是：， 因为D的横坐标为，代入解析式，得到 即点的坐标为； （3）①线段与线段数量关系是， 证明：， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ②解：， ， ，，，， ，， ， 四边形OMDN面积为定值， ， 要使面积最大，求面积最小即可， ， 当取最小值时，面积最小， ，，， ， 当时，取最小值， ， 即，面积最小为， 则面积， 即面积最大为． 20．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不发生变化，总是等于8，理由见详解 (2)即当点位于时，四边形的面积取得最大值，最大值为4 【分析】（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，从而可得出矩形的周长，继而可作出判断； （2）求出关于的表达式，利用配方法确定最值即可． 【详解】（1）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 则，， ， 当点在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）解：根据直线的解析式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，取得最大值，最大值为4． 即当点位于时，取得最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大． 【题型3 一次函数综合存在性等腰三角形】 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，点在轴上，平分． (1)求点、的坐标； (2)求线段的长； (3)试在轴上找点，使得是等腰三角形．请求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)线段的长为 (3)点的坐标为或或或 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的性质， （1）求出当时，，当时，即可得到答案； （2）如图所示，过点作于，由角平分线的性质得到，根据（1）所求得到，则，再由，求出，则； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况利用等腰三角形的定义和性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3-1所示，当时，则， ∴； 如图3-2所示，当时，则， ∴； 如图3-3所示，当时， ∵， ∴， ∴； 如图3-4所示，当时， 设，则， 由勾股定理得， ∴ 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．若点在线段上，设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①3；②存在，或4 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再将确定的点代入中，即可求的值； （2）①由题意可知点的坐标为，则，再由，求出的值即可； ②由①分别求出，，，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出的值即可． 【详解】（1）将点代入， ， 直线过点， ， 解得； （2）①， 直线解析式为， ， 直线与轴交点为，与轴交点， 由题意可知点的坐标为， ， ， 解得； ②存在的值，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 因为，，， 所以，， 当时，即， 解得． 如图，当时， 过点作于点，则，， 设，则，， 在中，，即， 解得， 故点与点重合， 所以． 综上所述：的值为或4． 23．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．    (1)求直线的解析式； (2)点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)、、、． 【分析】（1）根据直线可求出与轴交点 ，由可求出点点坐标为，由待定系数法即可求出直线CB的解析式． （2）先根据、两点的坐标求出，然后等腰三角形的腰长分类讨论：当时，当时，当时，分别求出点E坐标． 【详解】（1）解：当时，， 即点坐标为：，， ∵， ∴， ∴即点坐标为：， ∴设直线解析式为，得： ，解得：， ∴直线解析式为． （2）∵直线交轴于点， ∴点坐标为， 又∵点坐标为， ∴，如图：    当时，点的坐标为，点的坐标为； 当时，点与点是关于轴对称，点的坐标为， 当时，设点坐标为， 则，解得： 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为、、、． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，难点在第三问，分类讨论思想的运用是解题的关键． 24．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，作直线．点B关于直线的对称点刚好在x轴上，连接． (1)写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式； (2)点D在线段上，连接，当是等腰直角三角形时，求点D坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接，过D作的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时是等腰三角形． 【答案】(1)； (2) (3)点P运动1或或秒时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意求出，根据与关于直线对称，求出坐标，设点，求出，设直线的解析式为，把A，C代入可得表达式； （2）由已知可得是等腰直角三角形，过点作轴，轴，证明 ，得出，设点代入中，即可求出点D坐标； （3）过点D作轴，轴，由（2）可得，证明，得到，分①当时，②当时，③当时，三种情况分别进行讨论． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵B与关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得： ∴直线的解析式为； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 过点D作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 代入中，得： ，解得：， ∴； （3）解：过点D作轴，轴， 同（2）可得， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动时间为1秒； ②当时， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为秒； ③当时， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为秒； 综上所述：点P的运动时间为1秒或秒或秒． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形全等知识解题是关键． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 【答案】(1) (2) (3)；；； 【分析】（1）对于直，令，对于，令，即可求解； （2）先求出点C的坐标，可得，再根据三角形面积公式，求出x的值，即可求解； （3）分三种情况：若；若；若，即可求解． 【详解】（1）解：对于直，令，则， ∴点B的坐标为； 对于，令，则， ∴点D的坐标为； （2）解：∵是直线在x轴上方图象上一点， ∴， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵点B的坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴，即， 解得：， ∴点M的坐标为； 故答案为： （3）解：设点P的坐标为， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， 若， ∴， 解得：或9， 此时点P的坐标为或； 若，此时点P和点C关于y轴对称， ∴点P的坐标为； 若，如图， 此时，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为；；；． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）令和即可求得点的坐标 （2）由为的边上的高，利用的面积即可求得点的坐标 （3）分三种情况讨论，即可求得点的坐标 【详解】（1）在中， 令，得，所以点的坐标为； 令，得，所以点的坐标为． （2）设点的坐标为， 易得，． 因为为的边上的高， 所以， 解得， 所以点的坐标为． （3）因为，， 所以． 当为等腰三角形时，需分以下三种情况： ①当时，因为， 所以． 又因为， 所以此时点的坐标为或； ②当时，因为， 所以， 所以此时点的坐标为； ③当时，如图． 设，则，， 所以，， 所以 解得， 所以此时点的坐标为． 综上所述，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得点的坐标 27．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． (1)A点和B点坐标分别为　 　，　 　； (2)点C在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)C的坐标是或或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据直线，令求出x的值，令求出y的值，即可得点A、B的坐标； （2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； （3）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可． 【详解】（1）对于直线， 当时，． ∴， 当时，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图， ①当时，点C与点关于y轴对称，故符合题意； ②当时， ∵ ∴， ∵ ∴ 综上所述，符合条件的点C的坐标是或或； （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴； ①当点P在x轴下方时， ∴ ∵点P在x轴下方， ∴ 当时，代入得，， 解得 ∴； ②当点P在x轴上方时， ∴ ∵点P在x轴上方， ∴ 当时，代入得，， 解得 ∴ 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用． 28．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B． (1)求点 A，B的坐标； (2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积； (3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)； (2)1.25； (3)y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(0，2+）或(0，2−）或(0，0.75）或(0，−2)． 【分析】（1）在y＝2x+2中，分别令x=0，y=0，求出对应的y和x，即可得到A、B的坐标； （2）设C（0，m），根据勾股定理可以求出m的值，即可得到△ABC 的面积； （3）分BA＝BP、PB＝PA、AB＝AP三种情况分别求出P点坐标． 【详解】（1）当y＝0时，2x+2＝0，x= -1， ∴点A的坐标为(−1，0)； 当x＝0时，y＝2x+2＝2， ∴点B的坐标为(0，2)． （2）设C（0，m）， ∵AC⊥AB， ∴即， ∴4+1+1+m2=（2-m）2， 解之可得：m=-0.5， ∴S△ABC=； （3）由（1）可得AB=， ∴可分三种情况考虑，如图所示． 当BA＝BP时，BP＝， ∴点P1的坐标为(0，2+），点P2的坐标为(0，2−）； 当PB＝PA时，设OP＝x，则PB2＝PA2， ∴ (2−x)2=1+x2，解得：x＝0.75， ∴点P3的坐标为(0，0.75）； 当AB＝AP时，OP＝OB＝2， ∴点P4的坐标为(0，−2)． 综上所述：y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(0，2+）或(0，2−）或(0，0.75）或(0，−2)． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． (1)求AB； (2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； (3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【分析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值； （2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可； （3）根据AB是腰分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵ ∴a=4，b=3 ∴OA=4，OB=3 根据勾股定理可得 ∴ 所以AB长度为5． （2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为 如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴OB=AE=3，OA=DE=4 ∴点D坐标为（4，7） ∵，DF=7 根据勾股定理可得 ∴ ∴PB+PD最小值为． （3）解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0） 当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0） ∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定． 30．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，直线分别与轴、轴交于、两点，点是上一点． (1)求、的值； (2)试判断线段与线段之间的关系，并说明理由； (3)如图2，若点是轴上一点，点是直线上一动点，点是直线上一动点，当是以点为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出相应的点、的坐标． 【答案】(1)2，1 (2)垂直且相等，见解析 (3)点、的坐标分别为、或、 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，将点坐标代入求得b，从而得直线BD的解析式，再把点C坐标代入BD解析式，从而求出m的值； （2）分别求出，即可求解； （3）证明△MHQ≌△QGN（AAS），则MH=GQ，NG=QH，即可求解． 【详解】（1）对于y=2x+2，令x=0，则y=2，令y=0，即y=2x+2=0，解得x=-1， 故点A、B的坐标分别为（-1，0）、（0，2）， ∵直线过点B，将点B坐标代入上式并解得：故b=2， 则该直线的表达式为， 当x=-3时，=1=m， 即点C（-3，1）； 故答案为：2，1； （2）由（1）知，点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（0，2）、（-3，1）， 则， 同理，， 则AB2+AC2=BC2， 故∠BAC为直角，且AC=BA 故线段CA与线段BA之间的关系为垂直且相等； （3）当△MNQ是以点Q为直角顶点的等腰三角形时，∠MQN=90°，QM=QN， 设点M、N的坐标分别为（s，2s+2）、（t，t+2）， 过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点H，交过点N与y轴的平行线于点G， ∵∠NQG+∠MQH=90°，∠NQG+∠QNG=90°， ∴∠MQH=∠QNG， ∵∠MHQ=∠QGN=90°，MQ=NQ， ∴△MHQ≌△QGN（AAS）， ∴MH=GQ，NG=QH， 即2s+2-（-1）=-t（或-1-2s-2=-t），s=t+2-（-1）（或-s=t+2+1）， 解得：或， 所以，点、的坐标分别为、或、 【题型4 一次函数综合存在性直角三角形】 31．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 32．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 33．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 35．如图，点A，B的坐标分别为，，点P是线段上的一个动点，过点P的直线交x轴于点C，交y轴于点D，连接．    (1)求直线的表达式； (2)当是直角三角形时，求m的值； (3)在点P的运动过程中，探索并说明和面积的数量关系． 【答案】(1)直线表达式为 (2)或0 (3)在点P的运动过程中， 【分析】（1）设直线的表达式为，运用待定系数法求解即可； （2）分为当时、时两种情况进行讨论求解即可； （3）分为点D在x轴上方及点D在x轴下方两种情况分类讨论，通过面积法求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为，根据题意，得 解得 ∴直线的表达式为； （2）当是直角三角形时， ∵， ∴或． ①当时，点与点重合，此时． ②当时，点在x轴负半轴上，设． ∵，， ∴，，． 在中，根据勾股定理得， 即，解得． ∴点的坐标是． ∵点在直线上， ∴． 解得． 综上，或0； （3）联立方程解得 ∴点的坐标是，． 当时，， ∴点的坐标是，    由，解得． ∴点的坐标是． 如图2，当点在轴下方时，    ， ∴ 如图3，当点在轴上方时，    ， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法求一次函数关系式、勾股定理等，其中（2）、（3）问要注意分类求解，避免遗漏． 36．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令及，即求得A、B的坐标； （2）设，由题意得的长，在中，由勾股定理建立方程即可求解； （3）由（2）知得点C的坐标，可求得D的坐标，进而求出直线的解析式；当点P为直角顶点时，则P与O重合；当A为直角顶点时，则点P在y轴上，可求得直线的解析式，从而求得点的坐标；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，同理可求得点的坐标，综合上述情况即可． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， ∴； （2）解：∵， ∴； 设，则； 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； （3）解：由（2）知，点C的坐标为， 由折叠知，点D为中点， ∴D的坐标为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：，即直线的解析式为； 当点P为直角顶点时，则P与O重合，此时坐标为； 如图，当A为直角顶点时，则点P在y轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点A坐标代入得，即直线的解析式为， ∴点的坐标为； 当B为直角顶点时，则点P在x轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点B坐标代入得，即直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数解析式，直角三角形，折叠的性质，勾股定理，两一次函数图象平行的性质等知识，涉及分类讨论思想．有一定的综合性与难度． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 38．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①，②或 【分析】（1）把点，代入，求出，得直线直线：，再把点代入，求出，得点的坐标，最后把代入，求出； （2）①过点作轴于点，作轴于点，求出，再求出，可得，即可得答案； ②分两种情况讨论，当时，求出，从而得到，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， 直线：， 把点代入， 得：， 解得：， 把代入， ， ， 故答案为：，，； （2）①直线：， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，， ， ， 点的坐标为； ②如图， 当时，由翻折得：， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图， 当时，，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，翻折的性质，直角三角形的判定于性质，解题的关键是作辅助线． 39．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．    (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 (3)存在，满足条件的点的坐标为或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是OB的中点， ∴， ∴． （2）∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）假设存在，设点P的坐标为， 因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析： ①若，此时点P与原点O重合，坐标为； ②若，则， ∵，，，； ∵，，， ∴， 解得，此时点的坐标为， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 40．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【题型5 一次函数综合存在性面积相关】 41．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定及性质，待定系数法，三角形面积； （1）由几个非负数的和为零得，，再由点的坐标和三角形的面积，即可求解； （2）过E作， 由平行线的性质得，，由角平分线的判定方法得，结合平行线的性质即可求解； （3）由待定系数法可求直线的解析式为，直线的解析式为，过点B作交y轴于点P，此时的面积与的面积相等，可求的坐标，再根据对称性可求另一个坐标； 掌握待定系数法，平行线的性质，会根据三角形的面积相等条件求坐标是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ， ，，， 的面积为：． （2）解：过E作，如图所示： 轴，， ，， 轴， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， ，， ∴ ； （3）解：，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与y轴交于点， ， 直线的解析式为， 当时，， 过点B作交y轴于点P，此时三角形和三角形的面积相等， ， 根据对称性可知，当时，三角形和三角形的面积相等， 综上所述，在y轴上存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，P点的坐标为或． 42．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，、分别平分，；求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，求出、的值，即可得到点A、B的坐标； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可得，,再根据即可表示出； （3）连接，根据、、三点坐标，求出的面积，设，根据列方程求出的值，再分两种情况讨论：①若点在轴上，设；②若点在轴上，设，分别表示出的面积，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作， ， ， ，， ， 、分别平分，，， ，, ，， ； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接， ，，， ，，， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ①若点在轴上，设， 则， ， 解得：或， P点坐标为或； ②若点在轴上，设， 则， ， 解得：或， P点坐标为或， 综上可知，坐标轴上存在一点P，使得的面积和的面积相等，P点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，坐标与图形，三角形的面积，绝对值方程，利用分割法表示三角形的面积是解题关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质，求出，的值，再求出，可得结论． （2）证明，可得结论． （3）由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，分五种情形：当，当，当，当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得， ，， ， ， ， ； （2）证明：轴， 轴， ， ， ， ， ； （3）解：存在． 理由：由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点， 故当，，，由， 解得； 当，，，由， 解得，舍弃； 当，，，由， 解得，符合题意； 当，，， 解得，舍弃； 当，的最大值为17.5，的最小值为35，不存在． 综上，或时，使． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，非负数的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为50 (3)存在点M，且 【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将代入一次函数与； （2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D的坐标； （3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ，解得， ，解得； （2）一次函数中，当时，；当时，， ， 一次函数中，当时，， ， ， 的面积为； （3）的面积与四边形的面积比为，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 存在点M，且． 45．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)直接写出点A，B两点的坐标 ； (2)如图2，若，，分别平分，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P（点P与点C不重合），使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、待定系数法求函数解析式、绝对值和算术平方根的非负性： （1）根据题意得，解得即可求解； （2）过点作交轴于，根据平行线的性质及角平分线的性质求得，，再根据即可求解； （3）分类讨论：①当点在轴上时，②当点在轴上时，设直线的解析式为，求得，再利用分割法即可求解； 利用分割法表示三角形的面积及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：由得： ， 解得：， ，． （2）过点作交轴于，如图： ， ， ，， ， 分别平分，， ，， ，， ． （3）存在，理由如下： 由（1）得：，， ， ， ， ①当点在轴上时，设， 则， 解得：或3（与点重合，舍去）， ， ②当点在轴上时，设， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ， 当时，， ， 则， 即：， , 解得：或， 或， 综上所述：点的坐标为或或． 46．如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动． (1)求点的坐标，并回答当取何值时？ (2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）将和联立，即可求解； （2）分、、三种情况，求解即可； （3）将分成的两部分面积之比为，则或，即可求解． 【详解】（1）将和联立并解得：， 解得：， 故点，则， 当时，； （2），则， ①当时， 则点的横坐标对应在轴上的点为的中点， 故点； ②当时， ， 故点，； ③当时，如图，过点P作， 则， 直线：与x轴夹角为， 是等腰直角三角形， ， 故点； （3）将分成的两部分面积之比为， 则或， 故点或． 47．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线1交坐标轴于，，． (1)求的面积． (2)点从出发，以个单位长度秒的速度沿射线方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，若轴右侧有点，过作轴平行线，此直线上有一点，问是否存在使，若存在求出值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了坐标与图形，列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据坐标系中的点可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为，根据题意分别求得点的速度，进而得出点的坐标，根据三角形的面积公式，列出式子，即可求解； （3）根据三角形的面积建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作的垂线，垂足分别为， ∵，点从出发，以个单位长度秒的速度沿射线方向运动． ∴从点运动到点的时间为秒， 则点从运动到点的时间为秒，运动速度为个单位长度秒，点从点运动到的速度为个单位长度秒 ∴， ∴ ∴， ∴，且 （3）解：∵ ∵ ∴ 解得：或 当时，即 当时，即 48．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空： ______ ； ______ ； ______ ； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)若动点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为：？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小，求出直线的解析式，即可解决问题． （3），，分两种情况：点在线段上，解得；点在线段的延长线上，解得． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，且经过定点， ， ， 直线：， 直线：经过点， ， ， 把代入，得到， ，，， 故答案为：；；． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小，    ，， 设解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得到， ， 存在一点，使的周长最短． （3）存在 点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，直线：， ， ， ， 点的运动时间为秒， ， 分两种情况：点在线段上，    和的面积比为， ， ， ， ； 点在线段的延长线上，    和的面积比为， ， ， ， ， 综上：存在的值，使和的面积比为：，的值为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 49．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，     ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 50．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）由直线可知：令，则， ∴； （2） ， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在线段上时设， =    ， ， 的横坐标为或2(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， =，    ， ， 的横坐标为或6（舍去）， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一次函数综合题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 一次函数综合定值问题】 1 【题型2 一次函数综合最值问题】 6 【题型3 一次函数综合存在性等腰三角形】 10 【题型4 一次函数综合存在性直角三角形】 14 【题型5 一次函数综合存在性面积相关】 18 【题型1 一次函数综合定值问题】 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 2．如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B．      (1)矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由； (2)连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，的连线交y轴于点P，判断的值是否为定值，若不是请说明理由；若是请求出其定值． 4．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 5．如图①所示，直线L：y＝mx＋5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA＝OB时，试确定直线L解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝4，MN＝7，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围． 6．如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 7．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点． （1）当时，求点坐标及直线的解析式． （2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长． （3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 8．平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标； （3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 9．已知：如图，直线AB交两坐标轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足等式：+（b﹣4）2＝0，点P为直线AB上第一象限内的一动点，过P作OP的垂线且与过B点且平行于x轴的直线相交于点Q， （1）求A，B两点的坐标； （2）当P点在直线AB上的第一象限内运动时，AP﹣BQ的值变不变？如果不变，请求出这个定值；若变化请说明理由． （3）延长QO与直线AB交于点M．请判断出线段AP，BM，PM三条线段构成三角形的形状，说明理由． 10．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M． （1）求证：． （2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：． （3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围． 【题型2 一次函数综合最值问题】 11．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 12．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 13．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A、C的坐标分别为 、 ． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． ②如图2，在（2）的条件中，若M为x轴上O、B两点之间的一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 14．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的动点，连接，作点关于线段的对称点，连接，． (1)求，两点的坐标； (2)如图2，当点落在直线上时，求点的坐标； (3)如图3，作点关于轴的对称点，连接，为的中点，连接，求线段的最小值． 16．综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)和关于y轴对称，请在坐标系中画出； (2)的面积为 ； (3)若P点是x轴上一动点，直接写出长度的最小值为 ，此时点P的坐标是 ． 18．直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)求A，B两点的坐标； (2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值； (3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________； (2)求直线的解析式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 20．如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 【题型3 一次函数综合存在性等腰三角形】 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，点在轴上，平分． (1)求点、的坐标； (2)求线段的长； (3)试在轴上找点，使得是等腰三角形．请求出点的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．若点在线段上，设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．    (1)求直线的解析式； (2)点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 24．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，作直线．点B关于直线的对称点刚好在x轴上，连接． (1)写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式； (2)点D在线段上，连接，当是等腰直角三角形时，求点D坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接，过D作的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时是等腰三角形． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． (1)A点和B点坐标分别为　 　，　 　； (2)点C在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标． 28．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B． (1)求点 A，B的坐标； (2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积； (3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． (1)求AB； (2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； (3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 30．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，直线分别与轴、轴交于、两点，点是上一点． (1)求、的值； (2)试判断线段与线段之间的关系，并说明理由； (3)如图2，若点是轴上一点，点是直线上一动点，点是直线上一动点，当是以点为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出相应的点、的坐标． 【题型4 一次函数综合存在性直角三角形】 31．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 32．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 33．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   34．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．   35．如图，点A，B的坐标分别为，，点P是线段上的一个动点，过点P的直线交x轴于点C，交y轴于点D，连接．    (1)求直线的表达式； (2)当是直角三角形时，求m的值； (3)在点P的运动过程中，探索并说明和面积的数量关系． 36．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 37．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 38．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 39．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．    (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【题型5 一次函数综合存在性面积相关】 41．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，、分别平分，；求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)直接写出点A，B两点的坐标 ； (2)如图2，若，，分别平分，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P（点P与点C不重合），使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动． (1)求点的坐标，并回答当取何值时？ (2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线1交坐标轴于，，． (1)求的面积． (2)点从出发，以个单位长度秒的速度沿射线方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，若轴右侧有点，过作轴平行线，此直线上有一点，问是否存在使，若存在求出值及点的坐标． 48．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空： ______ ； ______ ； ______ ； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)若动点在射线上从点开始以每秒个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为：？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 49．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 50．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$