第二十七章 相似三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十七章 相似三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km，则这两地的图上距离约为（    ） cm． A．0.251 B．2.51 C．25.1 D．251 2．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 7．如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，，P为边OA上一点，且．将等边向右平移，当点P落在抛物线的图象上时，点P的横坐标为（    ） A． B． C．或 D． 9．将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号） 12．已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么 ． 13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．    14．乐乐为了探究线段的比，先画出，再运用尺规作图完成图1、图2的步骤，那么 ． （1）作线段的垂直平分线交于点D． （2）在三角形内部，以点D为顶点，作，交于点E． 15．如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，折痕 ，交于点E， 若， 则 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点 （1）画出以点为旋转中心，将△OBC顺时针旋转90°后的三角形 （2）在轴的左侧将放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2：1），画出新图形△O，并写出的坐标 17．（8分）蜗牛拖拉车（如图①）是一款休闲类玩具．如图②是小华为弟弟自制的一款蜗牛拖拉车的示意图，，为蜗牛的头和身体，蜗牛壳与相切于点．连接，，，当小华弟弟从点处拉蜗牛头部的绳子时，，，三点共线，且，点为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，，点到点的水平距离为，求绳子的长度． 18．（8分）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 19．（8分）如图，直线和相交，交点分别为．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数． 20．（9分）小明同学学习了《圆》这一章后，对圆的数学史产生了兴趣，下面是他查阅整理的相关材料． 材料一：弦切角定理是有关圆的重要定理之一，其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数（顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角）．如图（1）所示，线段所在的直线与相切于点C，，为的弦，则为其中的一个弦切角（，也是弦切角），有． 材料二：欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．如图（2），是的一条切线，而直线与有两个交点A，B，则将直线称为的割线．数学家们发现：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． 请结合以上材料与所学知识回答下列问题： (1)根据图（2），运用材料一的内容，完成对材料二的证明． 已知：直线是的一条割线，与交于点A，B，与相切，切点为T，求证：______． 证明：…… (2)如图（3），将直线绕点P旋转至过圆心O，恰好，若的长为，求的长． 21．（9分）阅读理解： 小王同学在学校学了相似三角形的应用．他想测量学校旗杆的高度，利用手中1米高的竹竿和皮尺，进行如下测量和求解． 测量过程：1、在太阳光照射下，竖立竹竿，测得影子长为1.5米． 2、同一时刻下，测得旗杆DE的影子长为9米． 求解过程：    如图，∵太阳光线是平行光线 ∴ 又∵ ① ∴ ∴ ∴ ② 答：学校旗杆的高度为****米． 隔天，小明同学也想测量旗杆的高度，但是他发现因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上．他现在手里仅有一根1米高的竹竿和皮尺，进行了如下测量： ①竖立竹竿，测量影子长度为a米． ②同一时刻，测得旗杆在地面上的影子长度米，在墙上的影子米．       (1)请补全上述材料中①、②的内容． ① ____________________ ；② ____________________________ (2)请你利用相似三角形的判定和性质，帮小明求出旗杆的高度．写出求解过程．（答案用a，b，c表示） 22．（12分）综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 23．（13分）已知等腰直角与等腰直角公共顶点，其中，，，．    (1)如图1，当、、共线时，请你直接写出线段与线段的数量关系； (2)将绕点顺时针旋转一定度数，如图2所示，请问第（1）问中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)若，，将绕点顺时针旋转一周时，连接，直接写出的面积最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km，则这两地的图上距离约为（    ） cm． A．0.251 B．2.51 C．25.1 D．251 【答案】B 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可． 【详解】解：251.0km＝25100000cm， ∴比例尺＝1：10000000＝2.51：25100000； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 2．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据图形相似的概念进行解答即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，设，得出，，，，再代入求出比值即可． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴， 故选：A． 4．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】作轴交于点，轴，垂足为，设点，则，由平行线分线段成比例定理可知为中位线，得，则，，根据的面积为2列出求出值即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：作轴交于点，轴，垂足为， 设点， 在中，点在轴上，，轴． ， 即C是的中点， ∵，， ∴， ∴H是的中点， 为中位线， ， 则，， 的面积为2， ， 解得：． 故选：B． 6．如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 7．如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，求得位似比为，再结合位似图形即可求解． 【详解】解：∵作的位似图形，点的对应点纵坐标为， ∴位似比为， 由题意得点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A的对应点的坐标为，即， 点的对应点的坐标为，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 8．如图，在等边中，，P为边OA上一点，且．将等边向右平移，当点P落在抛物线的图象上时，点P的横坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数，如图，过作轴的垂线段，交于点，证明，求得点的纵坐标，代入函数解析式即可，熟练用相似三角形的性质求得点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴的垂线段，交于点， ， ， ， 是等边三角形，， ，， ， 即点的纵坐标为3， 当时，可得， 解得， 故选：C． 9．将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将顺时针旋转，构造全等三角形，再根据勾股定理求出的长，既可以得到答案． 【详解】解：将顺时针旋转，至，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 故选D． 10．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接． 是的切线， ． ． ， ， 阴影部分的面积． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质， 扇形的面积公式，证明相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 12．已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的性质分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： 当为的最长边，为最短边时，则有：，所以这种情况不符合题意； 当为最短边时，为最长边时，则有：，解得：； 当为最短边时，则有，解得：； 故答案为或． 13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．    【答案】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．乐乐为了探究线段的比，先画出，再运用尺规作图完成图1、图2的步骤，那么 ． （1）作线段的垂直平分线交于点D． （2）在三角形内部，以点D为顶点，作，交于点E． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，根据作图知：D为中点，利用平行线的判定可得，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图知：D为中点，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，折痕 ，交于点E， 若， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和相似三角形的判定和性质，有折叠得，，，，则点P为的中点，可证明，有，利用平行可证得，有，设，则，即可求得，，，结合即可求得答案． 【详解】解：根据折叠得，，，，， 则点P为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点 （1）画出以点为旋转中心，将△OBC顺时针旋转90°后的三角形 （2）在轴的左侧将放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2：1），画出新图形△O，并写出的坐标 【答案】（1）见解析；（2）见解析，， 【分析】（1）根据旋转的性质画出B、C顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接即可； （2）根据位似的性质画出图形，利用点的位置写出坐标即可． 【详解】解：（1）如图所示，△OB＇C＇就是所求三角形； （2）如图所示，△O就是所求三角形；点的坐标为：， 【点睛】此题主要考查了位似变换和旋转作图，正确得出对应点位置是解题关键． 17．（8分）蜗牛拖拉车（如图①）是一款休闲类玩具．如图②是小华为弟弟自制的一款蜗牛拖拉车的示意图，，为蜗牛的头和身体，蜗牛壳与相切于点．连接，，，当小华弟弟从点处拉蜗牛头部的绳子时，，，三点共线，且，点为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，，点到点的水平距离为，求绳子的长度． 【答案】(1)见解析； (2)绳子的长度为． 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论； （2）过作交的延长线于，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ； （2）解：过作交的延长线于， 与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：绳子的长度为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（8分）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 19．（8分）如图，直线和相交，交点分别为．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作直线，直线即为所求； （2）连接，得到，根据同圆或等圆种，同弧所对的圆周角相等，求出，利用即可求出的度数． 【详解】（1）如图，直线即为所求    （2）如图，连接，由（1）知，    对应的是 【点睛】本题考查了尺规作图、相似三角形的性质、补角以及圆周角定理，解题的关键在于正确画图． 20．（9分）小明同学学习了《圆》这一章后，对圆的数学史产生了兴趣，下面是他查阅整理的相关材料． 材料一：弦切角定理是有关圆的重要定理之一，其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数（顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角）．如图（1）所示，线段所在的直线与相切于点C，，为的弦，则为其中的一个弦切角（，也是弦切角），有． 材料二：欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．如图（2），是的一条切线，而直线与有两个交点A，B，则将直线称为的割线．数学家们发现：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． 请结合以上材料与所学知识回答下列问题： (1)根据图（2），运用材料一的内容，完成对材料二的证明． 已知：直线是的一条割线，与交于点A，B，与相切，切点为T，求证：______． 证明：…… (2)如图（3），将直线绕点P旋转至过圆心O，恰好，若的长为，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了材料阅读类题目，相似三角形的性质和判定，对于（1），根据材料一，可得，进而判断，再根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案； 对于（2），根据（1） 的结论，代入数值计算即可． 【详解】（1）已知：直线是的一条割线，与交于点A，B，与相切，切点为T， 求证：， 证明：连接，，可得， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∴． ∵，， ∴， 解得，（舍）， 所以． 21．（9分）阅读理解： 小王同学在学校学了相似三角形的应用．他想测量学校旗杆的高度，利用手中1米高的竹竿和皮尺，进行如下测量和求解． 测量过程：1、在太阳光照射下，竖立竹竿，测得影子长为1.5米． 2、同一时刻下，测得旗杆DE的影子长为9米． 求解过程：    如图，∵太阳光线是平行光线 ∴ 又∵ ① ∴ ∴ ∴ ② 答：学校旗杆的高度为****米． 隔天，小明同学也想测量旗杆的高度，但是他发现因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上．他现在手里仅有一根1米高的竹竿和皮尺，进行了如下测量： ①竖立竹竿，测量影子长度为a米． ②同一时刻，测得旗杆在地面上的影子长度米，在墙上的影子米．       (1)请补全上述材料中①、②的内容． ① ____________________ ；② ____________________________ (2)请你利用相似三角形的判定和性质，帮小明求出旗杆的高度．写出求解过程．（答案用a，b，c表示） 【答案】(1)见解析 (2)旗杆高度为米 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质即可完成； （2）过点C作于E，连接，则四边形是矩形；证明，则可求得的长，进而可求得旗杆的高度． 【详解】（1）解：如图，∵太阳光线是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴； 答：学校旗杆的高度为6米． 故答案为：①；②6 （2）解：如图，过点C作于E，连接． 则四边形是矩形， ∴； ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∵, ∴， ∴， 即：， ∴； ∴， 答：旗杆高度为米．            【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题意、得到相似三角形是解题的关键． 22．（12分）综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与应用． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得； （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】（1）解：由反射特点可知，． ， ， ， ， ∴， ， 即大楼的高为； （2）解：由反射特点可知，． ， ∴， ． ， ， ， ， 解得， ， 解得． 答：大楼的高度为． 23．（13分）已知等腰直角与等腰直角公共顶点，其中，，，．    (1)如图1，当、、共线时，请你直接写出线段与线段的数量关系； (2)将绕点顺时针旋转一定度数，如图2所示，请问第（1）问中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)若，，将绕点顺时针旋转一周时，连接，直接写出的面积最大值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等，理解题意，作出相应图象进行求解是解题关键． （1）过点E作，根据矩形的判定和性质得出，再由等腰直角三角形的性质确定，利用勾股定理即可得出结果； （2）根据相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质求解判断即可； （3）根据运动是相对的，固定，让绕点A旋转，点C的运动轨迹为一个圆，作出相应图象，得出当且取得最大值时，对应的高即为的长，此时面积最大，然后利用等腰三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：过点E作，如图所示：    ∴ ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∵等腰直角， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）依然成立，理由如下： ∵等腰直角与等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵将绕点顺时针旋转一周， ∴根据运动是相对的，固定，让绕点A旋转，点C的运动轨迹为一个圆，如图所示：    要使得的面积取得最大，则当且取得最大值时，对应的高即为的长，此时面积最大， ∵，等腰直角， ∴， ∵， ∴，， ∴的面积为：， ∴的面积最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$