第二十七章 相似三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十七章 相似三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（    ） A． B． C． D． 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 4．剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 6．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（　　） A．9 B．18 C．36 D．72 7．如图，的直径交弦于点，连接，．若，，点是的中点，则的直径是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．木匠师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ． 12．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 13．如图，这是一个铁夹的剖面图，其为轴对称图形，对称轴为，，表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，，铁夹相关数据（单位：）如图中所标示，铁夹尖端闭合时，把手部分A，B两点间的距离是 ． 14．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 15．如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比． 17．（8分）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 18．（8分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 19．（8分）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 20．（8分）如图1，现有一个扁平状的小水池，因池中有假山及喷泉，无法直接测量A，B两点间的距离．为此，如图2所示，各实践小组准备了一把皮尺和一台测角仪，用于测量小水池的最大宽度． 【尝试操作】（1）如图3，第一小组在小水池外任选一点C，利用皮尺测量得，，并经测量，分别在上找点M，N，使，，且．请根据测量数据求的值． 【思考实践】（2）第二小组认为，多次测量相对麻烦且易造成较大误差，思考利用测角仪，在水池外确定一点C，且．请对此方案的可行性予以补充说明． 21．（10分）阅读理解：如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称线段被点B黄金分割，点B为线段的黄金分割点．与（或与）的比称为黄金比．如图2，在矩形中，如果与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． 实践探索：第一步将边长为2的正方形纸片沿对折，使与重合，展平，如图3；第二步沿对折后展平，如图4；第三步再沿对折，使得落在折痕上，如图5． 求证：点Q是的黄金分割点． 22．（12分）研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据． 数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米． 数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离． 23．（13分）综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割点，根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 3．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 4．剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、折叠性质、等腰直角三角形的性质，根据折叠性质和相似三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：由题意，是等腰直角三角形，则， 由折叠性质得，，，故选项C不符合题意； ∴， 则与、与不相似，故选项A、B不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意， 故选：D． 5．如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 6．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（　　） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识．作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交于点， ∴， ∵， ， ， ，，且，， ， ，， ∵， ， ， ， 故选：C． 7．如图，的直径交弦于点，连接，．若，，点是的中点，则的直径是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识，根据同弧所对的圆周角相等判定，由点是的中点，是的直径，得出，根据可得出，即可求解； 【详解】解：如图， ，， ，， ， ， 点是的中点，是的直径， ，即 ，， ， ， ， ， 故选：A 8．木匠师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法，证明． 方案一：观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1，方案二：作于，于，设半径为，利用相似三角形的性质即可求出圆的半径，然后求出两个圆的半径之差即可． 【详解】解：方案一：因为长方形的长宽分别为3、2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1； 方案二：作于，于，如图所示： 则， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， 设半径为， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，过作轴于点，由，且点在第一象限内，，得，，，，由矩形的性质可知，则，然后证明，根据性质得，再求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∴， ∵，且点在第一象限内，， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得： ∴，（舍去）， 故选：． 10．如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，，证明，则，，可判断A的正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，C成立，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，A成立，故不符合要求； 设到上的高为，到上的高为， ∴， ∴，D成立，故不符合要求； 当时，， ∵的大小关系不确定， ∴，不一定成立，故B符合要求； 故选：B． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ． 【答案】10 【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴，解得：． 故答案为：10 ． 【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例． 12．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 13．如图，这是一个铁夹的剖面图，其为轴对称图形，对称轴为，，表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，，铁夹相关数据（单位：）如图中所标示，铁夹尖端闭合时，把手部分A，B两点间的距离是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键； 连接，并延长交于点，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点H， ， 在中， ． 铁夹的剖面图是轴对称图形，对称轴为所在直线， ，， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：30． 14．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．由，知点P在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴米，米，． ∵，∴， ∴点P在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P运动了米， ∴点P运动了秒． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比． 【答案】相似，与的周长比是1∶2，面积比是1∶4． 【分析】根据相似三角形的性质证明，∠G=∠C，进而证明△BDC∽△FHG，问题即可解决． 【详解】解：△BDC和△FHG相似． 证明如下： ∵Rt△ABC∽Rt△EFG， ∴，∠G=∠C；而AC=2DC，EG=2GH， ∴， ∴△BDC∽△FHG， ∵EF=2AB， ∴其周长比和面积比分别为1∶2和1∶4． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 17．（8分）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30米 (3)可行，理由见解析 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 18．（8分）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 19．（8分）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知得出，由平行线得出，得出，证出，得到相似三角形，继而得出，即可得出结论； （2）由平行线得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，由已知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 20．（8分）如图1，现有一个扁平状的小水池，因池中有假山及喷泉，无法直接测量A，B两点间的距离．为此，如图2所示，各实践小组准备了一把皮尺和一台测角仪，用于测量小水池的最大宽度． 【尝试操作】（1）如图3，第一小组在小水池外任选一点C，利用皮尺测量得，，并经测量，分别在上找点M，N，使，，且．请根据测量数据求的值． 【思考实践】（2）第二小组认为，多次测量相对麻烦且易造成较大误差，思考利用测角仪，在水池外确定一点C，且．请对此方案的可行性予以补充说明． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据对应边成比例即可求解； （2）由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）由测量知， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：小水池的最大宽度为． （2）测量过程：如图，用测角仪在点B处测得，用皮尺测得． 求解过程：由测量知，在中，， 并测得． 在中 故小水池的最大宽度为 ． 21．（10分）阅读理解：如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称线段被点B黄金分割，点B为线段的黄金分割点．与（或与）的比称为黄金比．如图2，在矩形中，如果与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． 实践探索：第一步将边长为2的正方形纸片沿对折，使与重合，展平，如图3；第二步沿对折后展平，如图4；第三步再沿对折，使得落在折痕上，如图5． 求证：点Q是的黄金分割点． 【答案】见解析 【分析】延长交延长线于F．正方形的边长为2，由勾股定理得，证明得，求出即可得证． 【详解】解：延长交延长线于F．正方形的边长为2， 由折叠可知，，则，， 由勾股定理得， 在正方形中，， ， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 点Q是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，等角等边，勾股定理，黄金比，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22．（12分）研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据． 数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米． 数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据题意可求出米，设，则（米），（米），证明，可得，证明，可得到，再列方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意知，米，米，米，米， 米， 设，则（米），（米）， ，， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ， ， 解得：， 米． 23．（13分）综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明，可得，即可求出； （2）如图，在上取点Q，使得，连接，根据平行四边形的性质可证，可得，即可求出； （3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，根据（2）的结论求值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，在上取点Q，使得，连接． ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过A作于H，则， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合运用以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$