专题02 实际问题与一元二次方程（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题02 实际问题与一元二次方程 与增长率有关的列方程 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的万元/降到现在的万元/，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为，则可列方程为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 ． 传播问题 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 3．（23-24九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． 古代问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁营口·期末）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（    ）步？ A．15 B．12 C．20 D．6 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩步） 数字问题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 3．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 增长率与销售问题的综合 1．（23-24九年级上·山西晋中·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． (1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）． (1)求y与x的函数关系式； (2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元； (3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由． 与图形有关的综合问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是．若印刷部分（矩形）的一边为，印刷面积为，求矩形宣传广告单的长和宽． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． (1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； (2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 4．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 6．（23-24八年级下·山东威海·期末）有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 动态几何综合问题 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)直线与轴的交点坐标为________； (2)矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接． ①当为等腰三角形时，求t的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实际问题与一元二次方程 与增长率有关的列方程 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，利用这款新能源汽车2024年的销售量这款新能源汽车2022年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为， 依题意得：． 故答案为： 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的万元/降到现在的万元/，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；等量关系为：原价下降率现价，把相关数值代入即可． 【详解】解：设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为，则可列方程为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数（该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 传播问题 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛． 本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 3．（23-24九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． 【答案】11 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 古代问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 2．（23-24九年级上·辽宁营口·期末）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（    ）步？ A．15 B．12 C．20 D．6 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为x步，则长为步，根据面积建立方程即可求解． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 解得：， 当时，长为24，不合题意，舍去， ∴，则长为（步）， 则长比宽多（步）； 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 一株椽的价钱为文． 依题意得：． 故选：A． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩步） 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设此矩形田的宽为步，依据题意，可列方程为， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 数字问题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．根据等量关系：，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．则 ， 解得，， 当时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． ∴这个两位数是24， 当时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． ∴这个两位数是15， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 增长率与销售问题的综合 1．（23-24九年级上·山西晋中·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． (1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 【答案】(1)该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为 (2)商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据3月份的销售量为256件，5月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，根据获得13350元的利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，则5月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为； （2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该款汉服销售量的年平均增长率为 (2)该款汉服的实际售价应定为140元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【详解】（1）解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款汉服销售量的年平均增长率为； （2）解：设该款汉服的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款汉服的实际售价应定为140元． 5．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）． (1)求y与x的函数关系式； (2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元； (3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)12元 (3)每天不能获利1320元，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）每天获利960元时，根据题意得 ，整理得． 解得，（不合题意，舍去） 所以，每碗售价12元时，每天获利960元． （3）每天不能获利1320元，理由如下： 当时，整理得：． ∵，方程无解， 所以每天不能获利1320元． 与图形有关的综合问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是．若印刷部分（矩形）的一边为，印刷面积为，求矩形宣传广告单的长和宽． 【答案】矩形宣传广告单的长为，宽为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．根据印刷面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，印刷部分的另一边为． 则有 ，即， ∴， 即， ∴， 得或． 所以矩形宣传广告单的长为，宽为． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． (1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； (2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)牛场的总面积不可能达到180平方米， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． 【详解】（1）解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． （2）牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 4．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可； 【详解】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵ ，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 6．（23-24八年级下·山东威海·期末）有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题． （1）设小正方形的边长为，根据题意列出方程就可以求出其解． （2）设小正方形的边长为，根据其底面积为列出方程求解即可． 【详解】（1）设小正方形的边长为，由题意得 ． 解得，，（不符合题意，舍去） ∴裁去的小正方形的边长为； （2）设小正方形的边长为，由题意得 解得，，（不符合题意，舍去） ∴盒子的体积为． 动态几何综合问题 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1) (2)经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一元二次方程． （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：，， ∴， 当时，在中， ， 整理，得：， 解得：； 当时，的长度等于． （2）设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积，， ①当的面积为面积的时， 则： 整理，得： 解得：或； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； 经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)直线与轴的交点坐标为________； (2)矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【知识点】根据矩形的性质求线段长、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案； （2）①由题意得，，先求出，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：由题意得：，， 将代入得：， 解得：， ∴， 如图所示： ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为； ②当时，，此时矩形的面积为4的点只有两个； 当时，∵点在直线上， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，即或， ∵矩形的面积为4的点恰好有4个， ∴或， 解得：， 综上所述，若使矩形的面积为4的点恰好有4个，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值； （）分当时，当时，当时情况讨论即可求解； （）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解； 此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接． ①当为等腰三角形时，求t的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，最小，的最小距离为 (2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案； （2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案； ②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得：，， ∵，， ∴， 当时，最小，此时四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，最小，的最小距离为； （2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，    ∴，， ∴， 在中， 根据勾股定理，可得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 解得：； 当时， 可得：， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，为的中点， ∴， 解得：， 综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或； ②不存在一个时刻，使得，理由如下： 当时， 可得：， 即， 整理可得：， ∵， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$