专题05 分式方程（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题05 分式方程 分式方程的定义 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误； B、，是一元一次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项错误； D、，是分式方程，正确． 故选：D． 3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意； C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 4．（22-23八年级上·河北邢台·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程定义分析即可． 【详解】解：A.是分式方程，符合题意； B.是一元二次方程，不是分式方程； C. 是一元一次方程，不是分式方程； D. 是二元一次方程，不是分式方程； 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方程的定义是解题的关键． 5．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 解分式方程 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对于（1），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可； 对于（2），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得 解得： ， 当时，， ∴是原方程的解． 2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键． （1）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘得： ， 解得 检验：当时， 所以原分式方程的解为； （2）解：方程两边同乘得： ， 去括号得， 整理得 解得， 经检验，是原方程的解. 所以原分式方程的解是 4．（23-24八年级上·重庆·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，系数化为1，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 5．（24-25八年级上·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 解分式方程中错解复原问题 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）以下是小明同学解分式方程 的过程： 解：  ．第一步， 第二步， ……第三步， ，第四步， 经检验： ，是原方程的解． (1)从第步开始出现错误，这一步错误的原因是； (2)请求出该方程的正确解． 【答案】(1)一；去分母时，第二项没有乘以， (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的每个步骤的注意事项是解题的关键． （1）由去分母的注意事项，分析其原因即可； （2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， 故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以， （2） ， 经检验，是原方程的解． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法． 小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得 你的解法： 【答案】打×，解法见解析． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是关键，先把方程化为整式方程，再解整式方程并建议即可； 【详解】解：原解法错误，打×； 去分母,得 去括号,得 移项,得 化简,得 经检验,是增根，应舍去，所以原方程无解； 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 4．（23-24八年级上·吉林四平·期末）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程 解：去分母得：．．．① 去括号得：．．．② 移项得：．．．③ 合并同类项得：．．．④ 系数化为得：．．．⑤ ∴是原分式方程的解⑥ 【答案】错误的步骤是①②，见解析 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程．根据题意先判断出错误的步骤是①②，再正确解出即可，先找出最简公分母，等式两边同时乘以最简公分母，后去括号移项合并同类项即可得到本题答案． 【详解】解：错误的步骤是、，正确解答如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解为． 5．（23-24七年级上·山西朔州·期末）（1）解方程：． （2）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得第三步 合并同类项，得，第四步 …… 任务： ①填空：上述解题过程中，第一步是依据___________进行变形的，第________步出现错误，错误的原因是：____________； ②请直接写出该分式方程的正确解； ③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 【答案】（1）　（2）①等式的基本性质2；一；第二项1没有乘 　②　③解分式方程必须检验（答案不唯一） 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的一般步骤是解题关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，检验的解方程步骤求解即可； （2）观察解方程的过程，找出每一步变形的依据，出现错误的步骤，写出正确的解答过程，检验即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验，当时，，, 所以，是原分式方程的解； （2）①根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等， 可得的等号两边同时乘，得， 故小颖同学解分式方程的第一步出现错误，错误的原因是第二项1没有乘， 故答案为：根据等式的基本性质2；一；第二项1没有乘； ②方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验，当时，，， 故该分式方程的解是； ③解分式方程时还需要注意的事项是必须确保分母是有意义的， 即解分式方程必须检验． 6．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）下面是小倩同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解：方程两边同乘，得     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． (2)写出该方程正确的解题过程． 【答案】(1)一，没有乘以 (2)见解析 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程． （1）去分母时没有乘以，出现错误； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时没有乘以， 故答案为：一，没有乘以 （2）解：方程两边同乘，得： ， ， 解得： ； 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 列分式方程 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）乘坐高铁现在是人们非常方便快捷的一种出行方式，某铁路沿线甲、乙两城市相距，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为，根据题意所列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查分式方程的应用，由题意知普通快车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前到达可列方程． 【详解】解：根据题意得，普通快车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据题意得， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分400元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系、列出分式方程是解题的关键． 根据等量关系“第二次每人所得与第一次相同”列分式方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米分，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，且设乙同学的速度是米分， 甲同学的速度是米分． 根据题意得：． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用．设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人，根据“结果每人比原计划少植树1棵”列出分式方程即可． 【详解】解：假设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人， 依题意得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 分式方程的实际应用 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时． 【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要小时，再根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快列出方程求解即可． 【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要小时． 依题意，得 解得 经检验 是原方程的解，且符合题意． 答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元 (2)最多可以购买件型农机具 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元，根据用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买型农机具件，则乙种农机具能购买件，根据购买的总费用不超过万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元， 根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， （万元）， 所以，购买一件型农机具需要万元，购买一件型农机具需要万元； （2）设购买型农机具件， 根据题意，得 解这个不等式，得 所以，最多可以购买件型农机具． 3．（23-24七年级下·广西百色·期末）某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)商场两次一共购进这种款式的衬衫600件； (2)每件衬衫的标价至少是200元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． （1）设该商场第一次购进这种衬衫x双，则第二次购进数量为双，根据关键语句“每双进价多了10元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价第二次购进运动鞋的单价，根据等量关系列方程解题即可； （2）设每件衬衫的标价至少是y元，由题意可得不等量关系：总售价总进价，根据等量关系列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． （件）． 答：该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件． （2）设每件衬衫的标价至少是y元， 依题意得∶ ， 解得∶， 答∶每件衬衫的标价至少是200元． 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【知识点】分式方程的实际应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： (1)购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种礼品每个元，种礼品每个元 (2)该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，能熟练的找到等量关系或不等关系进行列式是解题的关键． （1）购买一个种礼品需要元，分别根据选①或②得出购买1个种礼品费用，再利用“花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等”列式求解即可； （2）设购买种礼品个，则购买种礼品个，利用“种礼品的数量不少于种礼品数量的倍”和“购买，两种礼品的总费用不高于元”分别列式求解即可． 【详解】（1）解：（1）若选①，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； 若选②，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； （2）解：设购买种礼品个，则购买种礼品个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 或， 答：该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个． 根据分式方程增根问题求参数 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得， ∵分式方程有增根， ∴ ∴， ． 故答案为． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）当 时，方程会产生增根． 【答案】4 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先化分式方程为整式方程得到，整理得，根据方程的增根求解即可． 本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， 去分母，得， 整理，得． ∵方程的增根为， 解得， 当时，； 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解：去分母得，， 合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 根据分式方程无解问题求参数 1．（23-24八年级上·青海西宁·期末）关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，把分式方程的增根代入去分母的整式方程求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘得，， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练运用分式方程的解法是解题的关键． 先确定方程的增根，再去分母后所得整式方程，然后将增根代入计算即可． 【详解】解：由于关于x的方程无解，则增根为， 去分母得， ， 当时，可得：，解得：． 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 【答案】0或2或4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解： ， ， ∵关于x的方程无解， ∴或， ∴或， ∴． 故答案为 根据分式方程的根的情况求参数 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式方程的解，注意任何时候考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数且分母不等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵方程的解是正数 ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且/且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，考虑分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意列出关于 的不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于的分式方程的解为：， 方程有可能产生增根和m， ，且， ， 关于的分式方程的解为负数， ， ， 综上，若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为：且． 故答案为：且． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程有增根的情况是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负数且分母不为0即可求出的取值范围． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得：， ∵方程的解为非负数， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 分式方程与不等式组的情况求参数 1．（23-24八年级上·重庆·期末）如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】15 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：原不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得． 原分式方程的解为， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得，且， ∵时是原分式方程的增根． ∴符合条件的所有整数的和是． 故答案为：15 2．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解；先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组有且只有五个整数解，确定a的值，即可． 【详解】 去分母得： 解得： ∵分式方程的解为整数， ∴为整数且 ∴为整数且 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有五个整数解， ∴，解得： 综上所述：符合条件的整数的值为： 符合条件的整数a的和为： 故答案为：． 3．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解分式方程，求出a的值，再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，最后再求出同时满足已知的两个条件的a的值，并求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴或2或3或或， ∴满足条件的所有整数k的值的和是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个的取值范围，即可解题． 【详解】解： 整理得， 不等式组有且仅有4个整数解， ，整理得， 又， ， ， 整理得， 关于的分式方程有非负整数解， 有，解得，即，故， ，整理得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：4． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 / 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验． （1）分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得的范围；（2）解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式．求得的范围；综上所述，求得的范围．根据为整数，求出的值，最后求和即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； （2）分式方程两边都乘以得：， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数． ∴为偶数， ∵分式要有意义， ， ， 综上所述，且且为偶数， ∴符合条件的所有整数的数有：， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：；． 与分式方程有关的规律探究问题 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【知识点】解分式方程、分式的规律性问题 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． （3）根据等式的性质，变形为，即可求解． 【详解】（1）猜想关于x的方程的解是 故答案为：． （2）解： 变形得， ∴或 解得： （3）解： ∴ ∴ ∴或 解得：或 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 4．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 与分式方程有关的新定义型问题 1．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【知识点】解分式方程、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． (3)是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)存在， 【知识点】解分式方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可； （3）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， ∴． （3）存在； ， 当时，即：， 当时，满足题意， 当时，则：，则：， 当时，，分式无意义，不满足题意，舍去； 故． 3．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【知识点】分式加减混合运算、解分式方程 【分析】（1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． 【详解】（1），     分式与互为“5阶分式”； （2）∵正数x，y互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）∵分式与互为“1阶分式”， ， 去分母，得，     ， ， ， ， ∵a，b为正数， ∴， 解得． 4．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【知识点】解分式方程 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 5．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程 分式方程的定义 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·河北邢台·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 解分式方程 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1) (2) 2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 4．（23-24八年级上·重庆·期末）解方程： (1) (2) 5．（24-25八年级上·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)； (3) 解分式方程中错解复原问题 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）以下是小明同学解分式方程 的过程： 解：  ．第一步， 第二步， ……第三步， ，第四步， 经检验： ，是原方程的解． (1)从第步开始出现错误，这一步错误的原因是； (2)请求出该方程的正确解． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法． 小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得 你的解法： 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 4．（23-24八年级上·吉林四平·期末）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程 解：去分母得：．．．① 去括号得：．．．② 移项得：．．．③ 合并同类项得：．．．④ 系数化为得：．．．⑤ ∴是原分式方程的解⑥ 5．（23-24七年级上·山西朔州·期末）（1）解方程：． （2）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得第三步 合并同类项，得，第四步 …… 任务： ①填空：上述解题过程中，第一步是依据___________进行变形的，第________步出现错误，错误的原因是：____________； ②请直接写出该分式方程的正确解； ③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 6．（23-24九年级上·贵州安顺·期末）下面是小倩同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解：方程两边同乘，得     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． (2)写出该方程正确的解题过程． 列分式方程 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）乘坐高铁现在是人们非常方便快捷的一种出行方式，某铁路沿线甲、乙两城市相距，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为，根据题意所列方程为 ． 2．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分400元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程 ． 3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 分式方程的实际应用 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）年月日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买型和型两种农机具，已知件型农机具比件型农机具多万元，用万元购买型农机具和万元购买型农机具的数量相同． (1)求购买件型农机具和件型农机具各需多少钱？ (2)若该粮食生产基地计划购买型和型两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，购买型农机具最多能购买多少件？ 3．（23-24七年级下·广西百色·期末）某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： (1)购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 根据分式方程增根问题求参数 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）当 时，方程会产生增根． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 4．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若分式方程有增根，则它的增根是 ． 根据分式方程无解问题求参数 1．（23-24八年级上·青海西宁·期末）关于x的分式方程无解，则 ． 2．（22-23八年级上·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为 ． 根据分式方程的根的情况求参数 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 分式方程与不等式组的情况求参数 1．（23-24八年级上·重庆·期末）如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 2．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为 ． 3．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 与分式方程有关的规律探究问题 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 4．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 与分式方程有关的新定义型问题 1．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． (3)是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 3．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 4．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$