专题04 分式的运算（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题04 分式的运算 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示小于1的正数，一般形式为，其中，为正整数．熟练掌握其形式，确定的值是解题关键．确定的值时，根据把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： ， 用科学记数法表示为． 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法：把一个小于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向右移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了监测指标，“”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物．2.5微米即．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东东营·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000401千克，将0.00000401用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负，）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：， 故答案为：． 零指数幂、负整数指数有意义的条件 1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）等式的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整指数幂的条件，解答本题的关键是掌握负整指数幂：． 根据负整指数幂的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）若式子有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的底数不等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零是解题的关键．根据零指数幂的底数不等于零，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·山东威海·期末），则 ． 【答案】，或 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查零指数次幂、有理数的乘方，根据任何一个不等于的数的次幂为,的任何次幂为，的偶数次幂为解题即可． 【详解】解：当时，为任意实数，解得； 当时，为偶数，解得； 当时，，解得； 故答案为：，或． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，根据分式的分母不等于零，零指数幂的底数不等于零，得出，且，求出结果即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且， ∴x的取值范围是且， 故答案为：且． 零指数幂、负整数指数幂运算 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方运算、有理数大小比较 【分析】先计算幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂是解题的关键． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，零次幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算：． 【答案】9 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、含乘方的有理数混合运算 【分析】根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，有理数乘方的计算，解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（23-24七年级下·全国·期末）计算： 【答案】7 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了实数的运算，利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义以及乘方法则化简计算即可． 【详解】解∶原式 ． 5．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 化简零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、运用平方差公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简零次幂、负整数指数，乘方，再运用平方差公式进行计算，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 分式加减乘除混合运算 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，进行化简，即可． （1）根据，进行计算即可； （2）先化除为乘，再根据，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【知识点】同分母分式加减法、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了同分母分母减法计算，含乘方的分式除法计算： （1）根据同分母分母减法计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算分式除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1））先对原式化简再通分，即可解答本题； （2）先将除法转化为乘法，能分解因式的先分解因式，然后约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用异分母分式加减运算法则求解即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 分式混合运算错题复原问题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 【答案】(1)二 (2)，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 【答案】因式分解；三；过程见解析； 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析可解答答题空；根据异分母的分式相加减法则写出正确结果即可． 【详解】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误． 故答案为：因式分解；三；     原式 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中． 请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务： 原式          第一步             第二步            第三步               第四步            第五步 当时，原式      第六步 任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______； 任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______． 【答案】任务一：乘法分配律，分数的性质 任务二：三，；正确的计算过程见详解 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求证，掌握乘法公式，乘法分配律，代入求值的计算是解题的关键． 任务一：根据解析过程分析即可求解； 任务二：根据分数的加减运算即可得出第三步出错，根据分式的性质化简求值即可． 【详解】解：任务一：根据材料可得，第二步变形运用的运算律是乘法分配律；第五步变形的依据是根据分数的性质约分， 故答案为：乘法分配律，分数的性质； 任务二：第三步分子相减时出错，正确的解题过程如下， ， 当时，原式． 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程：   嘉琪 解：原式   小明 解：原式 嘉珙同学解法的依据是_______，小明同学解法的依据是_______；（填序号） A．乘法分配律；        B．乘法交换律；        C．分式的基本性质；        D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 【答案】①C，A ② 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、实数的运算等知识点， ①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律，本题得以解决； ②选择嘉琪或小明，根据分式的运算法则计算即可； 熟练掌握其运算法则是解答本题的关键． 【详解】①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律， 故选C，A； ②解：嘉琪的解法： ； 小明同学解法： ． 5．（23-24八年级下·山西运城·期末）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．     第一步     第二步         第三步         第四步         第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 【答案】任务一： ①二；分式的基本性质 ②三；减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号 任务二：     任务三：最后要化为最简分式或最简整式 【知识点】分式加减乘除混合运算、通分 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：①根据计算过程即可得出答案；②根据计算过程即可得出答案； 任务二：根据分式混合运算法则计算即可得出答案； 任务三：根据分式的混合运算过程提出建议即可． 【详解】解：任务一： 由计算过程可得：在以上化简过程中，第二步对分式进行了通分，通分的依据是分式的基本性质； ②由计算过程可得：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号； 任务二： ； 任务三：建议为：最后要化为最简分式或最简整式． 6．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）有这样一道题： “先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选取一个作为的值代入求值．” 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学：原式； 乙同学：原式； (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种你喜欢的解法，先化简再代入求值，并写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的性质及相关计算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质， 乙同学解法的依据是乘法分配律； （2）解：若选择甲同学的解法： 若选择甲同学的解法： ； 当的值为，0，1时，分式的分母为，分式无意义， 故当时，原式． 若选择乙同学的解法： ． 当的值为，0，1时，分式的分母为，分式无意义， 故当时，原式． 分式混合运算中先化简再求值 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入数值求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足，． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过，代入求值即可．本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 把，代入 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）先化简，再从，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】先把括号内的整式写成分母是的分式，然后相加减，再把除式的分母分解因式，把除法化成乘法，进行约分，最后判断取何值分式有意义，并代入化简后的式子进行计算即可．本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法． 【详解】解：原式 ， 当和2时，分式无意义， 只能取1， 当时，原式． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的的值，代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当，1的时候，原分式无意义， ∴，则原式 5．（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 先化简：再从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件选取再代入计算即可； 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 要使分式有意义，，， ∴，，， ∵且x为整数， ∴， ∴原式＝ 6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）先化简：，再从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，值为 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，把握分式的运算顺序与运算法则，正确运算是解题的关键．按运算顺序先计算加法，再计算除法，最后化简并代入字母的值即可求解． 【详解】解： ； 符合范围的整数有，，0， 但是在原代数式中，且， 所以， 把代入． 7．（23-24七年级下·山东滨州·期末）先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先通分计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 由题意知，，， 解得，， 将代入得，原式． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先化简，然后在2，3，4中选择一个合适的值作为x并代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将值代入即可求出答案． 【详解】解： ． 由题意，，， 当时，原式． 9．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）先化简，再从不等式组的整数解中取合适的数代入求值． 【答案】，3 【知识点】求不等式组的解集、分式化简求值 【分析】本题考查分式先化简再求值，解一元一次不等式组．根据题意先将分式化简，先化简括号内的，再计算除法和乘法最后计算加法，再将一元一次不等式组解出代入整数即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即：， ∴不等式组的解集为：， ∵且， ∴当时，． 分式混合运算中的规律探究问题 1．（23-24七年级下·全国·期末）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；      (1)写出第个等式：________； (2)用含的等式写出你猜想的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【详解】（1）第个等式：； （2）解：第个等式为， 理由如下：等式左边， 等式右边， 因为等式左边等式右边， 所以该等式成立． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析． 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可； （2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 所以⑤为： 故答案为 （2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为：（n为正整数）， 证明如下：． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见详解： 【知识点】异分母分式加减法、运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果． （2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明． 【详解】（1）根据以上等式的规律， 可得第个等式为：． （2）根据以上等式的规律，可得第个等式为， 证明：∵ ． ∴． 4．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2) (3)6 【知识点】分式加减乘除混合运算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式运算等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，； （2）由，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：由题意知， ， ∴， 解得，， 故答案为：6． 分式混合运算中的新定义型问题 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 【答案】(1)是， (2)1 (3)①②或 【知识点】异分母分式加减法、分式的求值 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，分式求值，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义的法则，进行计算，判断即可； （2）根据新定义，推出，代入分式进行求解即可； （3）①根据新定义，进行求解即可；②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：是； ， ∴“信度值”； （2）由题意，得： ， ∴， ∴， ∴； （3）①由题意，得： ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴或， ∴或． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）规定：如果分式A和分式B满足（n为正整数），则称n为分式A与分式B的“差值”．例如：，则与的“差值”为5． (1)求与的“差值”； (2)若与的“差值”为2， ①代数式______（用含x的代数式表示）； ②当分式的值为正整数，且x为正整数时，求分式的值； (3)若与的“差值”为4，且（其中x、y为正数），求的值． 【答案】(1)3 (2)①；②6或3或2 (3) 【知识点】异分母分式加减法、分式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据题意作差求解即可； （2）①根据题意作差得，再利用分式的性质化简得，即，再进行移项、合并同类项即可求解； ②由分式的值是正整数及分式有意义的条件确定x的值，再分别代入求值即可； （3）根据“差值的定义”得出，由求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：①， ∴与的“差值”为3； （2）解：∵与的“差值”为2， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，分式， ∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵，即， ∴或或， 当时，分式， 当时，， 当时，， ∴分式的值为6或3或2； （3）解：∵与的“差值”为4， ∴， ∴， ∴， ∵（其中x、y为正数）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式的加减运算、分式有意义的条件、代数式求值及新定义，熟练掌握“差值的定义”和分式的加减运算方法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 【答案】(1)真； (2)； (3)． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件、按要求构造分式、分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真． （2）解：． （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【答案】(1)不是“互为关联分式” (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，分式的加减计算，分式的乘法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式的运算 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为 ． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了监测指标，“”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物．2.5微米即．用科学记数法表示为 ． 5．（23-24七年级下·山东东营·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000401千克，将0.00000401用科学记数法可表示为 ． 零指数幂、负整数指数有意义的条件 1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）等式的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）若式子有意义，则的取值范围为 ． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是 ． 4．（23-24六年级下·山东威海·期末），则 ． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 零指数幂、负整数指数幂运算 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算：． 4．（23-24七年级下·全国·期末）计算： 5．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算： 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）计算：． 分式加减乘除混合运算 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算 (1) (2)． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算： (1) (2)． 4．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 分式混合运算错题复原问题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中． 请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务： 原式          第一步             第二步            第三步               第四步            第五步 当时，原式      第六步 任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______； 任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______． 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程：   嘉琪 解：原式   小明 解：原式 嘉珙同学解法的依据是_______，小明同学解法的依据是_______；（填序号） A．乘法分配律；        B．乘法交换律；        C．分式的基本性质；        D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 5．（23-24八年级下·山西运城·期末）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．     第一步     第二步         第三步         第四步         第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 6．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）有这样一道题： “先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选取一个作为的值代入求值．” 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学：原式； 乙同学：原式； (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种你喜欢的解法，先化简再代入求值，并写出完整的解答过程． 分式混合运算中先化简再求值 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足，． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）先化简，再从，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的的值，代入求值． 5．（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 先化简：再从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）先化简：，再从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 7．（23-24七年级下·山东滨州·期末）先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先化简，然后在2，3，4中选择一个合适的值作为x并代入求值． 9．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）先化简，再从不等式组的整数解中取合适的数代入求值． 分式混合运算中的规律探究问题 1．（23-24七年级下·全国·期末）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；      (1)写出第个等式：________； (2)用含的等式写出你猜想的第个等式，并说明理由． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 4．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 分式混合运算中的新定义型问题 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）规定：如果分式A和分式B满足（n为正整数），则称n为分式A与分式B的“差值”．例如：，则与的“差值”为5． (1)求与的“差值”； (2)若与的“差值”为2， ①代数式______（用含x的代数式表示）； ②当分式的值为正整数，且x为正整数时，求分式的值； (3)若与的“差值”为4，且（其中x、y为正数），求的值． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$