专题16 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题16 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式中的规律探究问题 2 类型二、分式方程中的规律探究问题 5 类型三、分式中的新定义型问题 9 类型四、分式方程中的新定义型问题 13 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式中的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、分式乘法 【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据前4个等式即可得出答案； （2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：因为第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 所以 ， 故答案为：； （2）解：由（1）得出规律为： 第个式子为， 等式左边为， 等式右边为， 因为等式左边等式右边， 所以此等式成立． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．代入再进行验证正确性即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 则第5个等式为：； 故答案为：； （2）解：根据题意，则： 第n个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， ∴左边右边． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析． 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可； （2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 所以⑤为： 故答案为 （2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为：（n为正整数）， 证明如下：． 类型二、分式方程中的规律探究问题 例题：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 【变式训练1】（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． （1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可； （2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴解为的方程为： （2） 方程可变形为， ∴， ∴， ∴， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式训练2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 类型三、分式中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 【变式训练1】（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2) (3)0，，2， 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的方法把原式化为带分式即可； （3）原式化为带分式，根据与分式的值都为整数，求出即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴，，1，3， 解得：，，0，2， 则所有符合条件的值为0，，2，． 【变式训练2】（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式； (2)当时，原式为整数 (3)，5 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解； （3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等， 故答案为：假分式； （2）解：原式， 当时，原式为整数； （3）解：， ， 时，有最小值，值最大， ，即时，， 当a为2，分式有最大值，最大值是5. 类型四、分式方程中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 【变式训练1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)不是；； (2)；，或． 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； （2）解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的规律性问题、数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ∴ 可知此组数三个一循环， ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律． 2．（22-23八年级上·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（    ） ①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】分式的判断、同分母分式加减法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】①根据新定义即可判定；②根据新定义即可判定；③把分式化为带分式的形式，即可判定；④将假分式化为带分式的形式，即可判定 【详解】解：①分式是真分式，故①正确； ②分式是假分式，故②正确； ③把分式化为带分式的形式为： ，故③正确； ④将假分式化为带分式的形式为为： ，故④正确， 故正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式的混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则. 【详解】解： 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·湖北恩施·一模）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到． 三、解答题 5．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解方程： ①的解为；    ②的解为； ③的解为；    ④的解为； …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程为，解为；第⑥个方程为，解为 (2)第n个方程为，． 【知识点】解分式方程、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查解分式方程及应用和数字的变化规律，熟练掌握分式方程的解法及理解题中规律是解题关键． （1）观察或直接求解①②③中的方程的解；根据前三个方程的规律可得第⑤、⑥个方程及其解； （2）根据（1）中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：观察可知： 左边分子是正整数n，右边分子是左边分子的2倍． 右边整体比左边多了． 解x的值与方程左边的分子n存在的关系． 所以，第⑤个方程为，解为； 第⑥个方程为，解为； （2）解：第n个方程为， 去分母，得解为 经检验，是原方程的解 ∴原方程的解为 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析． 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可； （2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 所以⑤为： 故答案为 （2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为：（n为正整数）， 证明如下：． 7．（2023·安徽六安·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：，； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______﹔ (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式的规律性问题 【分析】（1）根据等式的规律写出第5个等式． （2）根据等式的规律写出第个等式，根据分式的加减进行计算，即可证明． 【详解】（1）解：第5个等式： 故答案为：； （2）第n个等式：； 证明：左 右． 等式成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律题，分式的加减，解题的关键是找到规律、熟练掌握分式的加减运算法则． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①； ②； ③； ④；  ⑤． (2)将和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______； (3)应用：先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤ (2) (3)；或或 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【详解】解：（1）①③④⑤；【解法提示】； ； ； ， 所以，，，都是“和谐分式”； （2）；【解法提示】 （3）原式 ， 为整数，为整数，或， 且且，或或． 9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1)， (2)， (3)过程见解析，， 【知识点】解分式方程 【分析】（1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 10．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①；②． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式” 故答案为：是； （2）解：设的“关联分式”为，则， ∴，即， ∴； （3）解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得， 解得． 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 12．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值、解分式方程 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式中的规律探究问题 2 类型二、分式方程中的规律探究问题 5 类型三、分式中的新定义型问题 9 类型四、分式方程中的新定义型问题 13 压轴能力测评（12题） 17 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式中的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 类型二、分式方程中的规律探究问题 例题：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【变式训练1】（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 【变式训练2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 类型三、分式中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【变式训练1】（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【变式训练2】（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 类型四、分式方程中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（    ） ①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 4．（2023·湖北恩施·一模）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解方程： ①的解为；    ②的解为； ③的解为；    ④的解为； …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 7．（2023·安徽六安·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：，； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______﹔ (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①； ②； ③； ④；  ⑤． (2)将和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______； (3)应用：先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 10．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 12．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$