专题14 分式运算与分式方程的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题14 分式运算与分式方程的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 2 类型二、利用分式的基本性质变形问题 4 类型三、整式与分式混合运算易错问题 5 类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 8 类型五、含零指数、负指数有关的计算问题 10 类型六、解分式方程不验根问题 12 类型七、分式方程的实际应用问题 16 压轴能力测评（20题） 18 解题知识必备 1.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 2.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 3.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若分式的值为零，则的值为 ． 【变式训练1】（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式的值为零，则 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【变式训练3】（2023秋·八年级单元测试）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 类型二、利用分式的基本性质变形问题 例题：（24-25八年级上·湖南郴州·期中）若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【变式训练1】（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 类型三、整式与分式混合运算易错问题 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【变式训练1】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 【变式训练2】（2024·陕西西安·一模）化简：． 【变式训练3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【变式训练1】（2024·陕西西安·一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【变式训练3】（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简，并从0，，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值． 类型五、含零指数、负指数有关的计算问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）（1）计算； （2）计算． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：． 【变式训练2】（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【变式训练3】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算： (1) (2) 类型六、解分式方程不验根问题 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练4】（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程： (1) (2) 类型七、分式方程的实际应用问题 例题：（24-25九年级上·陕西·期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式有意义，则x应满足的条件是 ．使分式的值为零的x的值是 ． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 7．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解分式方程： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）解方程： (1) (2) 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·全国·期中）化简分式： (1)   (2)． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值：，其中． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值：，再从，，0，1，2中取一个数代入求值其中． 15．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ……第四步 ……第五步 问题解答： (1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 16．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数代入求值． 17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从中选取合适的整数代入求值． 18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求； (3)，其中； (4)，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）观察下面的解题过程： 已知，求的值． 解：因为 所以，即． 因此 请借鉴上述解题方法解答下面的题目： 已知，求的值． 20．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 分式运算与分式方程的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 2 类型二、利用分式的基本性质变形问题 4 类型三、整式与分式混合运算易错问题 5 类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 8 类型五、含零指数、负指数有关的计算问题 10 类型六、解分式方程不验根问题 12 类型七、分式方程的实际应用问题 16 压轴能力测评（20题） 18 解题知识必备 1.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 2.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 3.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 压轴题型讲练 类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且 解得： 故答案为：2． 【变式训练1】（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、分式的求值 【分析】本题考查了分式的值为的条件和分式的意义，求分式的值；根据分式的值为的条件是：（1）分子为；（2）分母不为．两个条件需同时具备，缺一不可．据此求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， 又∵， ∴， 综合上述，解得：． 当时， 故答案为：． 【变式训练3】（2023秋·八年级单元测试）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或4或8 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可； （3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴， 解得：或； （2）∵分式值为0， ∴， 解得：； （3） ∵分式的值为整数， ∴或5或或， 解得：或8或2或， ∵且， ∴整数x的值为或4或8． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 类型二、利用分式的基本性质变形问题 例题：（24-25八年级上·湖南郴州·期中）若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．按照要求变形后，进行约分后即可得到解答． 【详解】解：把分式中都扩大3倍，则 ， 分式的值不变． 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质，变形计算解答即可． 本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键． 【详解】解：A. 是错误的，不符合题意； B. 是错误的，不符合题意； C. 是错误的，不符合题意；     D. ，正确，符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以负1即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 类型三、整式与分式混合运算易错问题 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练1】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式训练2】（2024·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 【变式训练3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解决问题的关键． （1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案； （2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式乘法计算即可得到答案； （3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案； （4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， 由题意得，且， ∴时， 原式， ． 【变式训练1】（2024·陕西西安·一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到且，据此得到，最后代值计算即可． 【详解】解； ， ∵分式有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 【变式训练3】（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简，并从0，，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式＝1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算顺序是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 且， 当时，原式． 类型五、含零指数、负指数有关的计算问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）9；（2）． 【分析】本题考查的是零指数幂、负指数幂、单项式除以单项式和积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则计算，再进行加减计算即可； （2）根据积的乘方和同底数幂的乘法和单项式除法法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、有理数乘方的意义，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、有理数乘方的意义计算，再算加减． 【详解】． ． 【变式训练2】（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算． 【变式训练3】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、零指数幂以及幂的混合运算． （1）先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再计算加减法． （2）先计算同底数幂的乘除法，幂的乘方运算以及积的乘方运算，最后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型六、解分式方程不验根问题 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程； （1）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案； （2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解； （2）解：方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的求解能力： （1）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； （2）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以得：， 解得，， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同乘以得： 解得，                经检验，是增根， ∴原方程无解 【变式训练2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （2）根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【变式训练3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． （1）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解； （2）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，是增根， 原分式方程无解． 【变式训练4】（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验． （1）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是增根，原分式方程无解； （2）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是原分式方程的根，原分式方程的解为． 【详解】（1）， 方程两边都乘， 得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解这个方程，得， 经检验： 是增根， 故原分式方程无解． （2）， 方程两边都乘， 得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 经检验：是原分式方程的根， 故原分式方程的解为：． 类型七、分式方程的实际应用问题 例题：（24-25九年级上·陕西·期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； (2)该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为67， 答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 【答案】(1)m的值是120 (2)的最小值是70 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）品牌足球的进价为元/个，B品牌足球的进价为元/个，再根据每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的列出方程求解即可； （2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； （2）解：元/个，元/个， ∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值是70． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题主要考查零指数幂和负指数幂，根据题意利用指数幂的运算法则化简a、b和c，结合有理数大小比较即可． 【详解】解：∵且 ∴， 故选：C． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算．解决本题的关键是根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选： D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式有意义，则x应满足的条件是 ．使分式的值为零的x的值是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义，分式的值为0，根据分式有意义可知，求出答案，再根据分式的值为0时，且，可得答案． 【详解】解：当时，分式无意义， 解得． 所以当时，分式有意义； 当且时，分式， 解得． 故答案为：，． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 【答案】，2，0． 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，理解指数运算规则是解答关键． 根据题意分三种情况：当时，当时，当分别求解． 【详解】解：由题意可知 当时，， ， ； 当时，1的任何次幂都等于1， ； 当，的偶次幂等于1， ， 综上所述，满足条件的整数a所有值为，2，0． 故答案为：，2，0． 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴， 故答案为；． 三、解答题 9．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】（）按照解分式方程的步骤解答即可； （）按照解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同时乘得，， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：方程两边同时乘得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 10．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，可得：， 移项、合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2） 方程两边同乘以， 得：， 去括号，可得：， 移项、合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、分式除法 【分析】（）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·全国·期中）化简分式： (1)   (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用完全平方公式进行化简，再将除法要转化为乘法，再计算分是乘法即可； （2）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用平方差公式进行化简，再将除法要转化为乘法，再计算分是乘法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先对括号内进行通分，然后将除法转化为乘法进行约分，即可得到化简后的结果，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值：，再从，，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 15．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ……第四步 ……第五步 问题解答： (1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析，1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算:先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ； ∵，， ∴ 当时地，原式． 16．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】（1）；（2）化简为：，当时，原式（代入x的值不为即可） 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简与求值； （1）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算； （2）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入数值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从中选取合适的整数代入求值． 【答案】（1），7；（2），当时，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后合并同类项，最后将、的值代入化简后的式子计算即可； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，把的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）原式 ， 由题意得：，2，4， 当时，原式． 18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求； (3)，其中； (4)，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)，当时，原式 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求解，解一元一次不等式组： （1）先把两个小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先把分式通分化简，再得到，据此代入化简式子求解即可； （3）先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出，最后代值计算即可； （4）先把除法变成乘法后约分化简，再计算分式加法，接着解不等式组，进一步根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式； （3）解： ， ∵， ∴， ∴原式； （4）解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴， 当时，原式． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）观察下面的解题过程： 已知，求的值． 解：因为 所以，即． 因此 请借鉴上述解题方法解答下面的题目： 已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查分式的运算，先根据题意求出，再求出，将变形为，再代入即可求解．解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，则， ∴，则 则． 20．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【知识点】分式的求值、分式加减乘除混合运算、倒数、通过对完全平方公式变形求值 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$