精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年高一上学期期中模拟数学试卷

2024级泉州七中高一年上学期数学期中模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合P={x|x≥0}，Q={x|≥0}，则P∩（∁RQ）=（　　） A. [0，2） B. [0，2] C. （﹣1，0） D. （﹣∞，1] 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式可得或，进而由补集定义求得，再由交集可求得P∩（∁RQ）=[0，2]． 【详解】因为或，所以． 因为P={x|x≥0}，所以P∩（∁RQ）=[0，2]． 故选B． 【点睛】本题考查集合的运算，主要考查学生的运算能力及转化能力，试题容易．有关数集的运算，可将数集表示在数轴上进行求解． 2. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 13 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合图象可得且，从而求得的值，由此得解. 【详解】令，则， 由图可得方程的两根为2和4，则， 又由图象知，即，则， 所以，解得， 所以， 所以，， 则． 故选：A. 4. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 5. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，结合分类讨论，即可求解. 【详解】当时，； 当时，,；此时 当时，,． 故,则的值域为． 故选：A． 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数b的可能取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得的取值，再由二次函数的单调性，列出不等式，即可得到结果. 【详解】由幂函数，可得，即， 解得或， 当时，可得在上单调递减，符合题意； 当时，可得在上单调递增，不符合题意； 又由函数在上不单调，则满足， 即，解得， 结合选项，可得选项BC符合题意. 故选：BC. 10. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 在上为减函数 B. 的最大值是1 C. 的图象关于直线对称 D. 在上 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD正确. 【详解】因为当时，，则函数在上递减， 又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错； 因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，，则， 所以，则，即， 所以以为周期； 则，所以关于直线对称， 因此当时，； 当时，，则，又，所以； 因为偶函数关于轴对称，所以当时，； 综上，当时，； 又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确； 因为，函数为偶函数， 所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确； 因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数， 所以在上也满足恒成立；故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛： 求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， 对于A，，则，即， 解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确； 对于B，，则，解得，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误； 对于C，由选项B知，，， 所以当时，取得最小值，C正确； 对于D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性，分三类讨论即可求解. 【详解】考虑函数. 因为函数的单调递减区间为和. 所以不等式等价于或者或者， 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 13. 已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1） 与已知方程，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得， 令，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用代换，联立方程组，求得是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题. 14. 已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合元素个数可确定非空子集个数，并得到每个元素出现的次数，按照已知中的运算加和可得结果. 【详解】的所有非空子集共有个， 每个元素在集合的所有非空子集中都出现次， 对的所有非空子集，这些和的总和. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围； （2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案. 【小问1详解】 命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或. 16. 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元 【解析】 【分析】（1）由利润，代入即可得； （2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 由得当时，． 所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元． 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式； （2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数为定义域上的奇函数，所以， 当时，，所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以 【小问2详解】 作出在区间上的图象，如图： 可得函数在上为减函数，所以的最小值为， 要使对所有，恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 则，即， 可得：， 所以实数的取值范围是. 18. 定义在上的函数，满足，，当时，. （1）求的值； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 由已知，可得， 任取，，且，即， 所以， 即， 即函数在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可特函数值； （2）利用定义法可得函数单调性； （3）根据函数单调性解不等式. 【小问1详解】 由已知， 令时，， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知， 即， 又， 所以即为， 又函数在上单调递增， 则， 解得. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2） ①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ② 【解析】 【分析】（1）计算，令，即求. （2）①计算，由新定义即可证明. ②求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围. 【小问1详解】 由题意可得，，令，可得. 【小问2详解】 ①略 ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级泉州七中高一年上学期数学期中模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合P={x|x≥0}，Q={x|≥0}，则P∩（∁RQ）=（　　） A. [0，2） B. [0，2] C. （﹣1，0） D. （﹣∞，1] 2. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 13 D. 1 4. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数b的可能取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 10. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 在上为减函数 B. 的最大值是1 C. 的图象关于直线对称 D. 在上 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值范围为______. 13. 已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________ 14. 已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 16. 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 18. 定义在上的函数，满足，，当时，. （1）求的值； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解关于的不等式. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $