第22章 二次函数 精选题练习卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数精选题练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．由二次函数，可知(   ) A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 2．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 4．若，，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 9．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当时，随的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是 ． 10．二次函数的图像如图所示，则 0， 0． 11．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ． 12．当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 13．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，、两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 14．小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 15．抛物线的最低点为，其中，抛物线与轴交于点，，，，则下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根． 三、解答题 16．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 17．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 18．某商城双11促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 19．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上且满足，求的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 20．图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米． 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求： ①游船底部HI在点P，Q之间通行； ②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题： (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)求警戒线之间宽度的最大值．（当最大时，船身H与P重合，或I与Q重合） 21．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B B C D B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可． 【详解】解：由二次函数，可知： A：∵，其图象的开口向上，故此选项错误； B．∵其图象的对称轴为直线，故此选项错误； C．其最小值为1，故此选项正确； D．抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 4．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ， ∴点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，， 由题意得：， 而，则， 抛物线的对称轴平行于轴， 且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ∵四边形的周长，且都是定长， ∴的值最小时，即四边形的周长最小， 则在抛物线中，令，则， ， 令，则， 解得：或， ，， 由平移的性质可得： 点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， ∵点在点下方，且． ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 8．B 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想分析问题，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解题关键．根据图像，观察一次函数在二次函数图像下方时所对应的自变量取值范围，即为该不等式的解集． 【详解】解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 9．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．首先由①得到；由②得到对称轴，只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案． 【详解】解：根据题意，这个二次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据二次函数图像的开口方向可知，结合函数图像的对称轴，可得；根据该二次函数的图像与轴有两个交点，易得． 【详解】解：根据函数图像可知， 该函数图像开口向下， ∴， 又∵函数图像的对称轴， ∴， ∵该二次函数的图像与轴有两个交点， ∴当时，可得， 此时． 故答案为：，． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出是解题的关键．先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线，从而得到以a、b为横坐标的点关于直线对称，进而得到，再把代入，即可求解． 【详解】解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，代数式的值相等， ∴当或时，抛物线的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 即时，代数式的值为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，则， ∴的面积是， ∴， 当时，有最大面积，最大面积是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 15．①②③ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可． 【详解】解：∵的最低点为，其中，抛物线与x轴交于点， ∴函数图像大致如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴，故①②正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，； 当时，； ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的最低点为，， ∴直线与没有交点， ∴关于x的方程没有实数根，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 16．(1)抛物线与y轴交点的坐标为， (2) 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键． （1）将代入中，可得抛物线与轴交点的坐标，再根据可得点与关于抛物线的对称轴对称，即计算即可； （2）根据，可确定出， 结合，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线，进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线： 当 时，； ∴ 抛物线与轴交点的坐标为：； ∵， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， 而， ∴，即， ∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的取值范围． 17．(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 18．(1)商城每次降价的百分率为 (2)要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元 【分析】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程及列出二次函数关系式是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，利用销售利润（售价进价）销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要想获得最大利润，即可得出每个商品的定价，从而求得最大利润． 【详解】（1）解：设商城每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为； （2）解：设每个商品应降价元，则平均每天可售出个， 则利润：， 整理得：， 每个商品的售价不低于进价， ，解得：， 当时，获得利润最大，最大为250元， 此时每个商品的定价为（元）， 答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元． 19．(1)， (2)或或或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键． （1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可； （2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：， 解得：， ， 顶点坐标为：． （2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为， ， 令，则， ， ， 设， ， 整理得：或， 解得：， 点的坐标为或或或； （3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 点，点， ， 解得：． 直线的解析式为：， 当时，， 当的值最小时，点的坐标为：． 20．(1)； (2)最大值为16.6米． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、勾股定理和解一元二次方程， （1）根据题意可知：，，即可设抛物线解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）过点E作，垂足为M，利用勾股定理可求得，有，当距离最大时，求得点E的纵坐标，代入解析式求得对应的点的坐标，则有警戒线之间宽度的最大值． 【详解】（1）解：由题意知：，，设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为． （2）解：）如图，过点E作，垂足为M，由题意知：，， ∴， ∴（米） ∵， ∴ ∴当距离最大时，点E的纵坐标为： ∴，解得 ∴（米） 答：警戒线之间宽度的最大值为16.6米． 21．(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$