专题08 一元一次方程中的含参问题（七大题型突破练）分类专练 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题08 一元一次方程中的含参问题（七大题型突破练） 【解题必备知识】 1.一元一次方程解的三种情形： 若一元一次方程为 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 2.含参的一元一次方程的解法步骤： ① 通过去分母、去括号、移项、合并同类项，把原方程整理成ax=b形式； ② 根据已知条件分类讨论求解。 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 已知方程的解求方程中的字母参数值或另个方程的解 【题型2】 含字母参数的一元一次方程中的解的情形探究 【题型3】 一元一次方程中的整数解的解法 【题型4】 看错或遮盖或污染情形下的一元一次方程的解法 【题型5】 解含绝对值的一元一次方程 【题型6】 新定义中的一元一次方程 【题型7】 解方程法将无限循环小数化为分数 【题型1】 已知方程的解求方程中的字母参数值或另个方程的解 【例1】已知关于的方程的解是，求的值． 【变式1-1】关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【变式1-2】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【变式1-4】 已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 【变式1-5】已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 【变式1-6】已知关于的方程． （1）若该方程与方程同解，试求的值； （2）当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【题型2】 含字母参数的一元一次方程中的解的情形探究 【例2】已知关于的方程，当，为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 【变式2-1】若一元一次方程有无数个解，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】已知关于x的方程有无数多个解，求常数a、b的值． 【变式2-3】阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【变式2-4】已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 【变式2-5】（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 ． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【变式2-6】已知多项式，． （1）若代数式的值与x无关，求m，n的值． （2）在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【题型3】 一元一次方程中的整数解的解法 【例3】若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（   ） A． B．3 C．0 D． 【变式3-1】已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（   ） A．8 B．0 C． D． 【变式3-2】若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 【变式3-4】已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【变式3-5】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是 【变式3-6】当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【题型4】 看错或遮盖或污染情形下的一元一次方程的解法 【例4】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式4-1】小明在解方程时，把方程右边的“”看成了“”，解得，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【变式4-2】小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-4】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【变式4-5】嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； （1）嘉淇猜是，请解一元一次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 【变式4-6】小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； （1）小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【题型5】 解含绝对值的一元一次方程 【例5】先阅读下列解题过程，然后回答问题． 解方程：|x+4|＝3． 解：当x+4≥0时，原方程可化为x+4＝3，解得x＝﹣1； 当x+4＜0时，原方程可化为x+4＝﹣3，解得x＝﹣7． ∴原方程的解是x﹣1或x＝﹣7． 根据上面的解题过程，解方程：|3x﹣3|﹣6＝0． 【变式5-1】解方程|x|﹣2＝0，可以按下面的步骤进行： 解：当x≥0时，得x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝2． 当x＜0时，得﹣x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝﹣2． 所以原方程的解是x＝2或x＝﹣2． 仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1＝0． 【变式5-2】解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝4x﹣3． 【变式5-3】解方程：|2x﹣1|+|x﹣2|＝|x+1|． 【变式5-4】解关于的方程：． 【变式5-5】已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【变式5-6】先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：|x+3|＝2． 解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3＝2，解得x＝﹣1； 当x+3＜0时，原方程可化为：x+3＝﹣2，解得x＝﹣5． 所以原方程的解是x＝﹣1，x＝﹣5． （1）解方程：|3x﹣2|+x＝0； （2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解． 【题型6】 新定义中的一元一次方程 【例6】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【变式6-1】设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为 ． 【变式6-2】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【变式6-3】如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则________； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（），求n的值； （3）当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【变式6-4】解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 【变式6-5】我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【变式6-6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【题型7】 解方程法将无限循环小数化为分数 【例7】阅读与探究． 整数和分数统称为“有理数”，为什么叫“有理数”呢?有理数的英文是“”，“”的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，“比”的古汉语接近“理”．所谓有理数，就是可以写成两个整数之比，即分数形式的数． （1）【探究】是不是有理数?①，②．由②-①，得，所以．由此得______（填“是”或“不是”）有理数． （2）【类比】把下列各数化成分数形式：①；②． （3）【应用】在中，属于非负有理数的是____________． 【变式7-1】你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法． (1)阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设． 方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即7＋x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 可解得，即． 填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ① ② 【变式7-2】阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“”，而“”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“”这个词的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 【变式7-3】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【变式7-4】【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以 转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以 ，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次方程中的含参问题（七大题型突破练） 【解题必备知识】 1.一元一次方程解的三种情形： 若一元一次方程为 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 2.含参的一元一次方程的解法步骤： ① 通过去分母、去括号、移项、合并同类项，把原方程整理成ax=b形式； ② 根据已知条件分类讨论求解。 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 已知方程的解求方程中的字母参数值或另个方程的解 【题型2】 含字母参数的一元一次方程中的解的情形探究 【题型3】 一元一次方程中的整数解的解法 【题型4】 看错或遮盖或污染情形下的一元一次方程的解法 【题型5】 解含绝对值的一元一次方程 【题型6】 新定义中的一元一次方程 【题型7】 解方程法将无限循环小数化为分数 【题型1】 已知方程的解求方程中的字母参数值或另个方程的解 【例1】已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【解答】解：将代入， 得：， 解得：， ． 【变式1-1】关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【答案】1． 【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【解答】解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为， ， 解得， ， 故答案为：1． 【变式1-2】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可． 【解答】解：把方程两边同时乘以整理得：， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-3】已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【答案】． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可． 先将的解求出，然后将的相反数求出后代入原方程求出的值． 【解答】解：，得， 是方程的解， 由，得， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-4】 已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 【答案】6 【分析】先去分母，把方程化为，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【解答】解：， 方程两边都乘6，去分母得 ， 整理得：， ∵无论k为何值，方程的解总是， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【变式1-5】已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 【答案】4/3 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再代入关系式求出，进而把的值代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【解答】解：将代入方程中得， ， 解得， 将代入关系式中得，， ， 解得， ． 【变式1-6】已知关于的方程． （1）若该方程与方程同解，试求的值； （2）当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【解答】（1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【题型2】 含字母参数的一元一次方程中的解的情形探究 【例2】已知关于的方程，当，为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】此题考查了方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【解答】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 【变式2-1】若一元一次方程有无数个解，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】当方程满足时，有无数个解． 【解答】解： 整理得： 方程有无数个解， ，， 解得：，， ． 故选A 【点评】本题考查了解一元一次方程，以及方程解的情况，熟悉方程的解的各种情况是解题关键． 【变式2-2】已知关于x的方程有无数多个解，求常数a、b的值． 【答案】， 【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值，进而得出b的值． 【解答】解：化简得：，即：， 根据题意得：，解得：， ∴，∴． 【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 【变式2-3】阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【答案】(1)时有唯一解；时，无解； (2)且． 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）将方程转化为，根据题干给出的方法，求解即可； （2）根据题意，得到，，求解即可． 理解并掌握题干中的解题方法，是解题的关键． 【解答】（1）解：将方程整理得：， ①当方程无解时： ②当方程有唯一解时： ； （2）由题意，得：当方程有无数解时：且 ∴，． 【变式2-4】已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 【答案】（1） （2）或，. 【分析】（1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程有无数解的条件列式可得m ，n的值． 【解答】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程， ∴，解得：， 当，方程为，解得：， 又∵两个方程同解， ∴，解得：. （2）解：把，代入， 可得：，变形得：， ∵关于的方程有无数解，即与y的取值无关， ∴， ∴或，. 【变式2-5】（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 ． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】（1）． （2）；． （3）． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是 得且，将 代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【解答】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是 ， 且， 将 代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-6】已知多项式，． （1）若代数式的值与x无关，求m，n的值． （2）在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【解答】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 【题型3】 一元一次方程中的整数解的解法 【例3】若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B． 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可． 【解答】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，，不成立， ∴， ∴， ∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解， ∴是正整数，即是大于2的正整数， ∴时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，不符合题意； ∴符合条件的所有整数a之和为， 故选B． 【变式3-1】已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（   ） A．8 B．0 C． D． 【答案】D． 【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的特殊解计算，分类计算解答即可．本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键． 【解答】解：当时，，解得，不是负整数解，不符合题意； 当时，变形得， 若时，方程无解，不符合题意； 当且时，解得， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或， 解得或， ∴整数的所有取值之和为， 故选D． 【变式3-2】若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解，先求出方程的解是，根据方程有整数解和a为整数得出或或1或，求出a的值，再求和即可． 【解答】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 关于的方程有整数解，且a为整数， 或或1或， 或或或， 所有符合条件的整数的和为， 故选：D． 【变式3-3】已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程，得到，再根据解及a的值都为负整数，可得a值． 【解答】解：， ， ， 解得， ∵方程的解为负整数， ∴x可取的值为或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不合题意，舍去， 综上可知，a的值为或或． 【变式3-4】已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 【变式3-5】若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是 【答案】45． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出是整数，进而得到解得或或或或或；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为，由此可得答案． 【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， 解得或或或或或； ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故答案为：45． 【变式3-6】当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【解答】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点评】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【题型4】 看错或遮盖或污染情形下的一元一次方程的解法 【例4】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【解答】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式4-1】小明在解方程时，把方程右边的“”看成了“”，解得，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，依题意，得，把代入，移项合并同类项，得出a的值，即可作答． 【解答】解：∵解方程时，把方程右边的“”看成了“” ∴， 把代入， ∴ 则 ∴ 则 故选：C 【变式4-2】小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【解答】解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 【变式4-3】下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把代入方程中求出m的值即可． 【解答】解：设被墨水遮盖的数为m， 由题意得，方程的解为， ∴， 解得， 故选：C． 【变式4-4】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】． 【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【解答】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4-5】嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； （1）嘉淇猜是，请解一元一次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）运用解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）被污染的常数为k得到，将代入此方程求出k即可． 【解答】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）设被污染的常数为k， 则原方程可化为：， ∵这个方程的解为， ∴将代入得：， 解得：， 即污染的常数为5． 【变式4-6】小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； （1）小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的拓展，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）设被污染的正整数为m，则原方程为，解方程得到，根据方程的解和m都为正整数得到是正整数，据此即可求出答案． 【解答】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：设被污染的正整数为m，则原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵这个方程的解是正整数，且m是正整数， ∴是正整数， ∴当时，则， 当时，则， 当的值越来越大时，则的值越来越小，则只有符合题意． 【题型5】 解含绝对值的一元一次方程 【例5】先阅读下列解题过程，然后回答问题． 解方程：|x+4|＝3． 解：当x+4≥0时，原方程可化为x+4＝3，解得x＝﹣1； 当x+4＜0时，原方程可化为x+4＝﹣3，解得x＝﹣7． ∴原方程的解是x﹣1或x＝﹣7． 根据上面的解题过程，解方程：|3x﹣3|﹣6＝0． 【答案】x＝3或x＝﹣1． 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得． 【解答】解：当3x﹣3≥0时，原方程可化为3x﹣3﹣6＝0，解得x＝3； 当3x﹣3＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣3）﹣6＝0，解得x＝﹣1． 所以原方程的解是x＝3或x＝﹣1． 【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解． 【变式5-1】解方程|x|﹣2＝0，可以按下面的步骤进行： 解：当x≥0时，得x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝2． 当x＜0时，得﹣x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝﹣2． 所以原方程的解是x＝2或x＝﹣2． 仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据绝对值的性质，讨论去掉绝对值符号转化为一般的方程，解方程即可． 【解答】解：当x≥2时，原方程即：x﹣2﹣1＝0， 解得：x＝3； 当x＜2时，原方程即：2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1． 则方程的解是：x＝3或x＝1． 【点评】本题考查了含有绝对值的方程的解法，理解绝对值的性质，正确通过讨论去掉绝对值符号是关键． 【变式5-2】解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝4x﹣3． 【答案】见试题解答内容 【分析】充分利用绝对值的几何意义，采用分类讨论的方法，去掉绝对值再一一计算． 【解答】解：（1）当x时，原方程可化为：﹣3﹣2x+x﹣1＝4x﹣3 ∴5x＝﹣1， 解得：x， 与x不符； （2）当x≥1时，原方程可化为：2x+3﹣x+1＝4x﹣3 ∴3x＝7． ∴x； （3）当x＜1时，原方程可化为：2x+3﹣1+x＝4x﹣3 ∴x＝5与x＜1不相符； 综上所述，方程的解为：x． 【点评】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算．难易适中 【变式5-3】解方程：|2x﹣1|+|x﹣2|＝|x+1|． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【解答】解：当x≤﹣1时，原方程可化为：1﹣2x﹣2+x＝﹣1﹣x， 解得：x≤﹣1的实数； 当时，原方程可化为：1﹣2x﹣2+x＝x+1， 解得：x＝﹣1， 当时，原方程可化为：2x﹣1﹣x+2＝x+1， 解得：x取的实数； 当x≥2时，原方程可化为：2x﹣1+x﹣2＝x+1， 解得：x＝2． 【点评】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算．难易适中． 【变式5-4】解关于的方程：． 【答案】①当时，原方程的解为：或；②当时，原方程无解． 【分析】依据题意，对a进行分类讨论，然后化简绝对值可以得解． 【解答】解：由题意得，， ①当时，即， 由绝对值的意义得，或， ∴或； ②当时，即， 由题意，又， ∴此时方程无解． 综上所述：①当时，原方程的解为：或；②当时，原方程无解． 【点评】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，正确分类讨论是解题关键． 【变式5-5】已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【答案】6 【分析】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵ ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴． 【变式5-6】先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：|x+3|＝2． 解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3＝2，解得x＝﹣1； 当x+3＜0时，原方程可化为：x+3＝﹣2，解得x＝﹣5． 所以原方程的解是x＝﹣1，x＝﹣5． （1）解方程：|3x﹣2|+x＝0； （2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分两种情况：x≥0，x＜0探讨得出答案即可； （2）由题意可知：①无解b+1＜0；②只有一个解b+1＝0；③有两个解b+1＞0，分别求得答案即可． 【解答】解：（1）|3x﹣2|+x＝0； 当x≥0时，此方程不成立； 当x＜0时，原方程化为﹣3x+2+x＝0，解得：x＝1，不合题意， 所以此方程无解； （2）|x﹣2|＝b+1 ①无解b+1＜0，b＜﹣1；②只有一个解b+1＝0，b＝﹣1；③有两个解b+1＞0，b＞﹣1． 【点评】此题考查含绝对值的一元一次方程，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 【题型6】 新定义中的一元一次方程 【例6】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】（1）； （2） ；（3）． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【解答】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【变式6-1】设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 【变式6-2】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【解答】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 【变式6-3】如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则________； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（），求n的值； （3）当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【答案】（1）2； （2） ； （3）-6. 【分析】（1）先分别解方程得，解方程得，再根据“稻香方程”的定义即可求解； （2）解关于x方程得，解关于x的方程得，根据“稻香方程”的定义得到，求出； （3）关于x方程的解是，关于x方程的解是，根据题意得到，整理得，代入即可求解． 【解答】（1）解：解方程得， 解方程得， 因为方程是方程的“稻香方程”， 所以． 故答案为：2； （2）解：解关于x方程得， 解关于x的方程得， 关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（） 所以， 整理得， 因为， 所以， ； （3）解：因为， 所以关于x方程的解是，关于x方程的解是， 因为关于x方程是方程的“稻香方程”， 所以， 整理得， 所以． 【变式6-4】解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】（1）是 （2）5/6 （3）2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【解答】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式6-5】我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）②．（2）；（3）32 【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【解答】（1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． 【变式6-6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】（1）； （2）3或； （3）①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【解答】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 【题型7】 解方程法将无限循环小数化为分数 【例7】阅读与探究． 整数和分数统称为“有理数”，为什么叫“有理数”呢?有理数的英文是“”，“”的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，“比”的古汉语接近“理”．所谓有理数，就是可以写成两个整数之比，即分数形式的数． （1）【探究】是不是有理数?①，②．由②-①，得，所以．由此得______（填“是”或“不是”）有理数． （2）【类比】把下列各数化成分数形式：①；②． （3）【应用】在中，属于非负有理数的是____________． 【答案】（1）是；（2）；（3），16.2 【分析】（1）根据有理数的定义可得答案； （2）根据阅读材料的知识，①可先设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可；②设，方程两边都乘100，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （3）同理得出，再结合非负有理数的概念进行作答即可． 本题考查解一元一次方程、有理数的概念，熟练掌握解一元一次方程的步骤及有理数的定义，如何把无限循环小数化为一元一次方程是解题关键． 【解答】解：（1）， 由此得：得是有理数． 故答案为：是； （2）①设， ， ， ， ， 解得， ， ②设， ， ， ， ， 解得， ； （3）设， ， ， ∴， ∴， 解得， 即， ∴在，，0，，，中，属于非负有理数的是，0，，16.2． 故答案为：，0，，16.2． 【变式7-1】你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法． (1)阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设． 方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即7＋x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 可解得，即． 填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ① ② 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）①设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可．②设，就可以得到，就有，就有，求出其解即可． 【解答】（1）设， 方程两边都乘以10得：， ∴． 故答案为：； （2）①设，方程两边都乘以100，可得. 由，可知， 即7， 解得， 即． ②设，则， ∴， ∴， 解得， 【变式7-2】阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“”，而“”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“”这个词的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数，熟练掌握解一元一次方程的步骤及有理数的定义，如何把无限循环小数化为一元一次方程是解题关键． （1）根据有理数的定义可得答案； （2）根据阅读材料的知识，可先设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （3）设，方程两边都乘100，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （4）设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可． 【解答】（1），由此得：得是有理数． 故答案为：是； （2）设， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （3）是分数，理由如下： 设， ， ， ， ， 解得， 是分数； （4）设， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【变式7-3】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【答案】（1）；（2），；[拓展提升] 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． [拓展提升]根据题干示例进行推导求解即可得解． 【解答】解：（1）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 故答案为：； （2）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； [拓展提升] 设， 则，， 两式相减，得， 解得， ∴． 【变式7-4】【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以 转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以 ，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 【答案】(1)①，② (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练运用一元一次方程是解题关键 （1）①设，则，然后解方程即可； ②设，则，然后解方程即可； （2）设，则，然后解方程即可； （3）由可得，然后根据与的关系列式计算即可． 【解答】（1）①设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； ②设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； （2）设，由可知：， 所以， 解得， 即； （3）∵， ∴扩大1000倍可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$