第四章 图形的相似（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第四章 图形的相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 2．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝16，则DF的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 3．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿DE垂直，然后又在垂直于AB的直线上取点C，并测得BD＝15m，BC＝40m．如果DE＝30m，则河宽AD为（　　） A．30m B．35m C．40m D．45m 4．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为（　　） A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 6．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 7．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中不正确的是（　　） A．DE＝EF B．四边形DFBE是菱形 C． D．S△AOE：S△BCF＝2：3 8．如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点（BG＜GC），点H是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①FH：AF＝1：2；②BE：EF：FD＝4：6：5；③S1+S2+S3＝S；④S6＝S2+S4．正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5） 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，矩形ABCD中，P为AD边上一点（不与A，D重合），连接BP，CP，过C点作CE⊥BP，垂足为E，连接AE，DE，DE与CP相交于点F．则下列结论错误的是（　　） A．若BP＝BC，则PF⊥DE B．若PC＝BC，则△CDE为等腰三角形 C．若AE∥PC，则 D．若AB＝3，BC＝4，则AE最小为2 12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①DE＝EF；②四边形DFBE是菱形；③BC＝4FM；④S△AOE：S△BCF＝2：3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若，且b+d+f＝2，则a+c+e＝ 　 　． 14．如图，在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，，则BE的长为　 　． 15．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 　 　m． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则BD＝　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出与△ABC位似的△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）直接写出△A'B'C'的面积为 　 　． 19．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，AD＝4，CD＝3，BD＝6，求DF的长． 20．（10分）宝严寺塔（图1），俗称“东关塔”，位于西平县城东关，故名．该塔造型古朴，2006年6月被批准为国家级文物保护单位．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量宝严寺塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与宝严寺塔顶点A在同一直线上，已知DE＝1.6米，EF＝1.1米，目测点D与地面的距离DG＝1.3米，到宝严寺塔的水平距离DC＝40米，求宝严寺塔AB的高度． 21．（10分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，连接CG，满足CF平分∠DCG，CG交AD于点H，AG＝3，FG＝6，求CH的长． 22．（11分）已知等边△ABC，E，F分别在边AB、AC上，将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． （1）求证：△BED∽△CDF； （2）若CD＝2BD时，求． 23．（11分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC先向右平移，使点B的对应点与点C重合，得到△DCE，再将△DCE向右平移，使点C的对应点与点E重合，得到△FEG，连接AG，分别交CD，DE，EF于点M，N，P，已知． （1）试判断△ABG的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝2，求AN的长． 24．（13分）如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； （3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 25．（13分）如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 故选：C． 2．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝16，则DF的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∴DF＝＝12． 故选：C． 3．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿DE垂直，然后又在垂直于AB的直线上取点C，并测得BD＝15m，BC＝40m．如果DE＝30m，则河宽AD为（　　） A．30m B．35m C．40m D．45m 【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即：， 解得：AD＝45m． 故选：D． 4．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为（　　） A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∵△ABC与△DEF的面积比4：9， ∴△ABC与△DEF的相似比2：3，即， ∴， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【解答】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当AC2＝AP•AB， 即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A 所以△APC∽△ACB； 当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB， 而∠PAC＝∠CAB， 所以不能判断△APC和△ACB相似． 故选：D． 7．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中不正确的是（　　） A．DE＝EF B．四边形DFBE是菱形 C． D．S△AOE：S△BCF＝2：3 【解答】解：由题意可知∠ABC＝90°， ∵， ∵∠COB＝60°， ∴△BOC是等边三角形， 在△OBF和△CBF中， ， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴∠CBF＝∠OBF，∠CFB＝∠OFB， ∵∠CBO＝60°， ∴∠CBF＝∠OBF＝30°， ∴∠OFB＝∠CFB＝60°， ∴∠DFE＝60°， ∵∠EBF＝∠ABC﹣∠FBC， ∴∠EBF＝60°， ∴∠FEB＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∵∠FBO＝∠EBO＝30°， ∴BO平分∠EBF， ∴OB⊥EF，OF＝OE， ∴OB垂直平分EF， 连接OD， 在矩形ABCD中，O为AC的中点， ∴点O为矩形的中心， ∴D，O，B三点在同一直线上， ∴D在线段EF的垂直平分线上， ∴DF＝DE， ∵∠DFE＝60°， ∴△DFE是等边三角形， ∴DE＝EF， 故A选项正确，不符合题意； ∵△BEF和△DFE是等边三角形， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴DFBE是菱形； 故B选项正确，不符合题意； ∵∠EBF＝60°， ∴∠CBF＝30°， ∴BC＝2CM， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OCB＝60°， ∴∠FCM＝30°， 则FC＝2FM， ∴， ∵∠FBC＝30°， ∴BC＝2CM， ∴； 故C选项正确，不符合题意； 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S△AOE＝S△COF＝2S△CMF， 设FM＝x， ∵∠CMF＝90°，∠FCM＝30°， ∴FC＝2FM＝2x， ∵∠BCD＝90°，∠CBF＝30°， ∴BF＝2CF＝4x， ∵，， ∴S△CMF：S△BFC＝FM：BF＝1：4， ∴S△AOE：S△BCF＝1：2， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点（BG＜GC），点H是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①FH：AF＝1：2；②BE：EF：FD＝4：6：5；③S1+S2+S3＝S；④S6＝S2+S4．正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴△ABF∽△DHF，△ADE∽△GEB， ∵点G是边BC的三等分点（BG＜GC），点H是边CD的中点， ∴， 设BE＝m，则， ∴FH：AF＝1：2，BE：EF：FD＝3：5：4，故①正确，②错误； ∵△ADE∽△GEB， ∴， 同理可得：， ∵， 设S1＝3n，则S4＝9n，S2＝15n，S5＝12n，S＝72n， ∴S3＝6n，S6＝27n， ∴，故③正确，④错误； 故选：B． 9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5） 【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于点H， 则OE∥BH， ∴△PEF∽△PBC， ∴＝， ∵点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1， ∴CB＝2，EF＝1， ∵BC，EF都与x轴平行， ∴BC∥EF， ∴＝＝ ∴＝， ∵OH＝2， ∴OP＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）， 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∵HD⊥AC， ∴∠DHC＝∠ABC＝90°， 又∵∠C＝∠C， ∴△CAB∽△CDH， 故选：B． 11．如图，矩形ABCD中，P为AD边上一点（不与A，D重合），连接BP，CP，过C点作CE⊥BP，垂足为E，连接AE，DE，DE与CP相交于点F．则下列结论错误的是（　　） A．若BP＝BC，则PF⊥DE B．若PC＝BC，则△CDE为等腰三角形 C．若AE∥PC，则 D．若AB＝3，BC＝4，则AE最小为2 【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， 若BP＝BC，则∠BPC＝∠BCP，如图1， ∵AD∥BC， ∴∠DPC＝∠BCP， ∴∠BPC＝∠DPC， ∵CE⊥BP， ∴∠PEC＝∠ADC＝90°， ∴△PEC≌△PDC（AAS）， ∴PE＝PD，CE＝CD， 则PF⊥DE，故A正确； 若PC＝BC，如图2， ∵CE⊥BP，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴BE＝PE，∠PEC＝∠BEC＝90°， ∵∠BAP＝90°， ∴AE＝BE＝PE， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴∠DAE＝∠CBE， ∵∠DAE＝∠CBE，AE＝BE，AD＝BC， ∴△DAE≌△CBE（SAS）， ∴CE＝DE， 则△CDE为等腰三角形，故B正确； 过点E作EN⊥PC交PC于点N，过点P作PM⊥AE交AE于点M，过点B作BG⊥AE交AE延长线于点G，如图3， 若AE∥PC， 则PM＝EN，∠1＝∠2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4， ∵∠3＝∠4，∠G＝∠DHC＝90°，AB＝CD， ∴△ABG≌△CDH（AAS）， ∴BG＝DH， ∵， ∴， ∴， 则，故C正确； 方法二：C选项：如图4，延长AE交BC于点M， ∵AD∥BC，∴△BEM∽△PEA，∴＝ ∵AE∥PC，∴＝，∵AE∥PC，AD∥BC，∴四边形AMCP为平行四边形， ∴MC＝AP，∴BM＝PD， ∴＝， ∴＝＝， 故C选项正确； D选项：∵CE⊥BP， ∴∠BEC＝90°， ∴点E在以BC中点O为圆心，BC为直径的圆上，如图5， ∴OE＝2，AO＝＝， 当O，E，A三点共线时，AE最小， ∴AEmin＝﹣2． 故D选项错误， 故选：D． 12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①DE＝EF；②四边形DFBE是菱形；③BC＝4FM；④S△AOE：S△BCF＝2：3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵O为AC的中点， ∴， ∵∠COB＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB＝BC， 在△OBF和△CBF中， ， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴∠CBF＝∠OBF，∠CFB＝∠OFB， 在等边△BOC中，∠CBO＝60°， ∴∠CBF＝∠OBF＝30°， ∴∠OFB＝∠CFB＝60°， ∴∠DFE＝60°， ∵∠OBA＝∠ABC﹣∠OBC＝30°， ∴∠EBF＝60°， ∴∠FEB＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∵∠FBO＝∠EBO＝30°， ∴BO平分∠EBF， ∴OB⊥EF，OF＝OE， ∴OB垂直平分EF， 如图，连接OD， 在矩形ABCD中，O为AC的中点， ∴D，O，B三点在同一直线上， ∴D在线段EF的垂直平分线上， ∴DF＝DE， ∵∠DFE＝60°， ∴△DFE是等边三角形， ∴DE＝EF， 故①符合题意； 由①得△BEF和△DFE是等边三角形， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴四边形DFBE是菱形； 故②符合题意； ∵△BEF是等边三角形， ∴∠EBF＝60°， ∴∠CBF＝30°， ∴BC＝2CM， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OCB＝60°， ∴∠FCM＝30°， ∴， ； 故③不符合题意； 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴S△AOE＝S△COF， ∵FB垂直平分OC， ∴S△COF＝2S△CMF， 设FM＝x， ∵∠CMF＝90°，∠FCM＝30°， ∴FC＝2FM＝2x， ∵∠BCD＝90°，∠CBF＝30°， ∴BF＝2CF＝4x， ∴BM＝BF﹣FM＝3x， ∵，， ∴S△CMF：S△BMC＝FM：BM＝1：3， ∴S△AOE：S△BCM＝2：3， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若，且b+d+f＝2，则a+c+e＝ 　6　． 【解答】解：∵＝＝＝3， ∴＝3， ∵b+d+f＝2， ∴a+c+e＝6． 故答案为：6． 14．如图，在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，，则BE的长为　　． 【解答】解：作CF⊥AB于点F，连接EF，则∠BFC＝90°， ∵∠CDB＝∠CBD＝30°， ∴BC＝DC，BC＝2CF， ∴BF＝DF，BF＝＝＝CF， ∴＝＝＝， ∵点E为CD中点，点F为BD中点， ∴FE∥BC， ∴∠EFD＝∠CBD＝30°， ∴∠ADC＝∠EFB＝180°﹣30°＝150°， ∵∠ACD＝∠EBD，AC＝， ∴△ACD∽△EBF， ∴＝， ∴＝， ∴BE＝， 故答案为：． 15．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 　77.8　m． 【解答】解：在△DEF和△DCB中， ∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴＝， 即＝， 解得BC＝76（m）， ∵AC＝1.8m， ∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m）， 即“步云阁”的高度为77.8m， 故答案为：77.8． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则BD＝　4　． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵△DAC∽△ABC， ∴∠CAD＝∠CBA， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBA， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACB中， ∵∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×12＝6， ∴BC＝AC＝6， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴CD＝AC＝×6＝2， ∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【解答】解：（1）∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k， ∵a+2b＝42， ∴3k+4k＝42， ∴k＝6， ∴a＝18，b＝12； （2）∵c是a：b的比例中项， ∴c2＝ab＝216， ∵c是线段，c＞0， ∴c＝＝6． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出与△ABC位似的△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）直接写出△A'B'C'的面积为 　8　． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作； （2）△A'B'C'的面积为：4×6﹣×4×4﹣×2×2﹣×2×6＝8． 故答案为：8． 19．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，AD＝4，CD＝3，BD＝6，求DF的长． 【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠EAC， 又∠ADF＝∠BDC＝90°， ∴△AFD∽△BCD， ∴AD：DF＝BD：CD， ∵AD＝4，CD＝3，BD＝6， ∴4：DF＝6：3， 解得DF＝2． 20．宝严寺塔（图1），俗称“东关塔”，位于西平县城东关，故名．该塔造型古朴，2006年6月被批准为国家级文物保护单位．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量宝严寺塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与宝严寺塔顶点A在同一直线上，已知DE＝1.6米，EF＝1.1米，目测点D与地面的距离DG＝1.3米，到宝严寺塔的水平距离DC＝40米，求宝严寺塔AB的高度． 【解答】解：由题意得：BC＝DG＝1.3米，CD⊥AB，FE⊥AD， ∴∠ACD＝∠FED＝90°， ∵∠EDF＝∠ADC， ∴△DEF∽△DCA， ∴＝， ∴＝， 解得：AC＝27.5， ∴AB＝AC+BC＝27.5+1.3＝28.8（米）， ∴宝严寺塔AB的高度为28.8米． 21．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，连接CG，满足CF平分∠DCG，CG交AD于点H，AG＝3，FG＝6，求CH的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△EAF和△EDC中， ， ∴△EAF≌△EDC（ASA）， ∴AF＝DC， ∴AF＝AB； （2）解：由（1）知，AB∥CD，则AF∥CD， ∴△AGH∽△DCH， ∴， ∵AG＝3，FG＝6， ∴AF＝9即CD＝9， ∴， ∴， ∵AF∥CD， ∴∠DCF＝∠F， 又∵CF平分∠DCG， ∴∠DCF＝∠GCF， ∴∠F＝∠GCF， ∴CG＝FG＝6， ． 22．已知等边△ABC，E，F分别在边AB、AC上，将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． （1）求证：△BED∽△CDF； （2）若CD＝2BD时，求． 【解答】解：（1）证明：∵等边△ABC ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° ∵将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． ∴∠EDF＝∠A＝60° ∵∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120° ∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣60°＝120° ∴∠BED＝∠CDF 又∵∠B＝∠C ∴△BED∽△CDF； （2）∵CD＝2BD ∴设BD＝1，则CD＝2， ∵翻折， ∴设ED＝AE＝x，DF＝AF＝y ∴AB＝BC＝AC＝3，BE＝3﹣x，CF＝3﹣y ∵△BED∽△CDF ∴＝＝ ∴＝＝ 由＝得： y＝① 由＝得： y＝② 由①②解得：x＝，y＝ ∴＝ ∴＝． 23．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC先向右平移，使点B的对应点与点C重合，得到△DCE，再将△DCE向右平移，使点C的对应点与点E重合，得到△FEG，连接AG，分别交CD，DE，EF于点M，N，P，已知． （1）试判断△ABG的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝2，求AN的长． 【解答】解：（1）△ABG是等腰三角形，理由如下： 由题意可知：△ABC≌△DCE≌△FEG， ∴BC＝CE＝EG， ∵， ∴， ∴， ∵∠ABC＝∠GBA， ∴△ABC∽△GBA， ∴， ∴，即GA＝GB， ∴△ABG是等腰三角形； （2）∵AB＝2，， ∴， ∵BC＝CE＝EG， ∴， 由（1）可知，， 由平移可知，AC∥DE，CE＝EG， ∴， ∴． 24．如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； （3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点， ∴DC＝EB． 又∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴ED∥BC． ∴∠EDB＝∠FBM． 又∵∠DME＝∠BMF， ∴△EDM∽△FBM； （2）解：∵△EDM∽△FBM， ∴＝， ∵F是BC的中点， ∴DE＝BC＝2BF， ∴DM＝2BM， ∴DB＝DM+BM＝3BM， ∵DB＝12， ∴BM＝DB＝×12＝4； （3）存在，∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴DC＝BC， ∵DP•BP＝BF•CD， ∴， ∴△PDC∽△FBP， ∴∠BPF＝∠PCD， ∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°， ∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴∠PDC＝∠CPF， ∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠EDB＝∠PDC＝30°， ∴∠CPF＝30°． 25．如图，已知，在△ABC中，BA＝BC＝40cm，AC＝60cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当S△BCQ：S△ABC＝1：3时，求S△BPQ：S△ABC的值； （3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，AP＝4x cm，CQ＝3x cm，PB＝（40﹣4x）cm，AQ＝（60﹣3x）cm， ∵PQ∥BC， ∴AP：AB＝AQ：AC， ∴＝， ∴， 即当时，PQ∥BC； （2）∵， ∴CQ：AC＝1：3，， ∴CQ＝20＝3x， ∴， ∴，， ∴＝＝， ∴＝＝×＝， 即S△BPQ：S△ABC＝2：9＝； （3））△APQ能与△CQB相似．理由如下： ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， 要使△APQ∽△CQB， 只需＝． 此时＝， 解得：x＝， ∴AP＝4x＝； 要使△APQ∽△CBQ， ∴＝， ∴＝， ∴x＝﹣20（舍）或x＝10， ∴AP＝4x＝40， 即：AP的长为40或． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$