吉林省长春市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

长春八中2024-2025学年（上）高二期中考试 数学试题 命题人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数a的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或1 3. “”是直线与圆相切的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1､F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 24 D. 18 5. 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相交或相切 D. 内切 8. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 三、填空题 12. 直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为______. 13. 已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为______. 14. 设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为_______ 四、解答题 15. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 16. 已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 17. 已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. （1）若，且四边形是矩形，求的值； （2）若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 18. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点． （1）求椭圆方程的离心率 （2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 长春八中2024-2025学年（上）高二期中考试 数学试题 命题人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】4 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为 【17题答案】 【答案】（1）4 （2）①；② 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）当时，最大，且的最大值为123 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明：设，（且） 根据（1）知，， 则直线， 令，得，即得， 直线， 令，得，即得， 则，， 于是  ， 将代入整理得， 故为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $