第十二章 全等三角形 模型探究（三）半角模型 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第十二章全等三角形 全等三角形 模型探究（三）半角模型（解析版） 【基本模型】 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线,并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。 由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半, 故名半角模型, 又称“角含半角模型”。 其中, 将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”(即图中的△AEF) 半角模型的结论: 半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。即:如图中,EF=BE+DF。 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）如图、已知是等边三角形，在外有一点，，且，点为上一点，点为上一点，且下列结论：；；；其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 2.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，四边形是正方形，点，分别在边，上，且，我们把这种模型称为“半角模型”在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一．在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到点，使，进而解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程． 3.探索发现如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接、、． 线段，，之间的数量关系是______； 根据的结论，写出证明过程； 如图，如果正方形的边长是，求的周长． 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、分别交于、两点，为了探究、、之间的数量关系，小明的思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌从而得到、、之间的数量关系． 提出问题：、、之间的数量关系为______． 知识应用：如图，，，以为顶点的，，、与、分别交于、两点，你认为中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 知识拓展：如图，在四边形中，，，与互补，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______用含、、的式子表示 5.（24-25八年级·江苏盐城·期中）问题背景：“半角模型”问题如图，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．   探究发现：小明同学的方法是延长到点使连结，先证明≌，再证明≌，从而得出结论：______； 拓展延伸：如图，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，请问中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 尝试应用：如图，在四边形中，，，、分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 6.（24-25八年级·湖南怀化·期中）定义：若中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称为“半角三角形”根据此定义，完成下面各题： 若为半角三角形，且，则中其余两个角的度数为______； 若是半角三角形，且，则______； 如图，在四边形中，，，，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点恰好落在边上的点，若，则是半角三角形吗？若是，请说明理由． 7.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接、、  试判断，，之间的数量关系，并写出证明过程    如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程    如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出线段，，之间数量关系 8.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）【探究】如图，正方形中，、分别在边、上，且我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接求证：． 【拓展】如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 9.（24-25八年级·天津东丽·期中）半角模型是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的一类模型．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，解决相应问题． 问题背景：如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且在探究图中线段，，之间的数量关系时，可延长至点，使得，连接，进而通过证明三角形全等来探究线段，，之间的数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 探索延伸：如图，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上题中的结论是否仍然成立？请说明理由； 结论应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且，试求此时两舰艇之间的距离； 能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，若，，试求出的长． 10.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）【问题背景】如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连接，先说明≌，再说明≌，可得出结论，他的结论应是________． 【探索延伸】如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出的周长． 11.（24-25八年级·天津东丽·期中）定义：我们习惯过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且． 在图中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程 如图，当绕点旋转到图的位置时，试探究与，之间有怎样的数量关系． 12.（24-25八年级·湖北武汉·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务。 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点易证得． 大致证明思路：如图，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故EF． 任务： 如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程若不成立，请说明理由． 13.（24-25八年级·江苏泰州·期中）【探索发现】如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，小明将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接从而证明出了． 请你写出小明的证明过程； 【类比延伸】 如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接数，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明． 14.（24-25八年级·天津东丽·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点易证得． 大致证明思路：如图，将延长至点，使，连，可证≌，再证≌，故EF． 任务：如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 15.（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，截长补短是一种常用的方法，如图，延长于点，使得，连接、、．    ，，之间的数量关系是___________________； 、之间的数量关系，并写出证明过程． 如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，若，请直接写出的周长是多少． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 全等三角形 模型探究（三）半角模型（解析版） 【基本模型】 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线,并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。 由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半, 故名半角模型, 又称“角含半角模型”。 其中, 将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”(即图中的△AEF) 半角模型的结论: 半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。即:如图中,EF=BE+DF。 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）如图、已知是等边三角形，在外有一点，，且，点为上一点，点为上一点，且下列结论：；；；其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：延长  到，使得  ，连接    是等边三角形，   ，  ，   ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，  ，   ，   ，  ，   ．   ． 故正确． 连接  ，交  于点，   ， 直线  是线段  的垂直平分线，   ，  ，   ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，   ， 故正确； 无法证明  ，也就无法证明  ，从判断错误， 故选C． 2.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，四边形是正方形，点，分别在边，上，且，我们把这种模型称为“半角模型”在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一．在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到点，使，进而解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程． 【答案】证明：四边形为正方形， ，，   在和中， ≌， ， ，， ， ，  即，   在和中， ≌， ，， ．  3.探索发现如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接、、． 线段，，之间的数量关系是______； 根据的结论，写出证明过程； 如图，如果正方形的边长是，求的周长． 【答案】  【解析】解：；理由如下： 由旋转性质可知：，，， 点、、共线， ， ． 在和中， ， ≌． ， ， ； 证明：由旋转性质可知：，，， 点、、共线， ， ． 在和中， ， ≌． ， ， ； 解：由得； ， 正方形的边长为， ． 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、分别交于、两点，为了探究、、之间的数量关系，小明的思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌从而得到、、之间的数量关系． 提出问题：、、之间的数量关系为______． 知识应用：如图，，，以为顶点的，，、与、分别交于、两点，你认为中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 知识拓展：如图，在四边形中，，，与互补，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______用含、、的式子表示 【答案】解：； 成立，理由如下：延长到点，使，连接， ， ， ，， ≌， ，， ，， ， ， ， ≌， ， ； ．  【解答】 解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ，， ， ， ， ， ≌， ， ； 见答案； 延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ≌， ， ， 的周长为． 5.（24-25八年级·江苏盐城·期中）问题背景：“半角模型”问题如图，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．   探究发现：小明同学的方法是延长到点使连结，先证明≌，再证明≌，从而得出结论：______； 拓展延伸：如图，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，请问中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 尝试应用：如图，在四边形中，，，、分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】解：； 中的结论仍然成立．理由如下： 如图中，延长至，使，连接． ，， ， 在与中， ， ≌． ，． ， ． ，即． 在与中， ， ≌． ，即， ； 结论：理由如下： 如图中，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ≌． ，． ． ． ， ≌， ， ， ．  【【解答】 解：． 延长到点使连接，如图， ，， ≌． ，． ． ． 又， ≌． ． ． ． 故答案为：； 6.（24-25八年级·湖南怀化·期中）定义：若中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称为“半角三角形”根据此定义，完成下面各题： 若为半角三角形，且，则中其余两个角的度数为______； 若是半角三角形，且，则______； 如图，在四边形中，，，，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点恰好落在边上的点，若，则是半角三角形吗？若是，请说明理由． 【答案】，或，；  ，，，，或  ； ，，， 是平行四边形， ，， 由折叠得，， ， ， ， ， 是半角三角形．  【解析】解：若另一个锐角等于的一半，则这个角为，第三角为， 若除以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，则有较小的角为． 那么较大的角为， 故答案为：，或，， 根据题意有以下几种情况： 若，则， 若，则， 若，则，， 若，则，， 若，则， 若，则， 7.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接、、  试判断，，之间的数量关系，并写出证明过程    如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程    如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出线段，，之间数量关系 【答案】证明：如图，四边形是正方形 ， 将绕点顺时针旋转，得到 ≌ 在和中 ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到 四边形是正方形 ， 绕点顺时针旋转，得到 ≌ ， 在和中 ， 即：； 如图， ，，， 将绕点顺时针旋转，得到 ≌ 在和中 ； 8.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）【探究】如图，正方形中，、分别在边、上，且我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接求证：． 【拓展】如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 【答案】证明：将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ； 解：将绕点顺时针旋转得到， ≌，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ≌， ， ， 五边形的周长．  9.（24-25八年级·天津东丽·期中）半角模型是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的一类模型．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，解决相应问题． 问题背景：如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且在探究图中线段，，之间的数量关系时，可延长至点，使得，连接，进而通过证明三角形全等来探究线段，，之间的数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 探索延伸：如图，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上题中的结论是否仍然成立？请说明理由； 结论应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且，试求此时两舰艇之间的距离； 能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1)EF＝BE+DF．  理由：∵∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝90°， ∴∠ADG＝∠B，  在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． ∵， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，  在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF＝FG． ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF．  (2)（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE+DF．  理由：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG，   在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． ∵， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，  在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF＝FG． ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． (3)如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C． ∵∠AOB＝30°+90°+(90°-70°)＝140°，∠EOF＝70°， ∴． ∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°-30°)+(70°+50°)＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×(60+80)＝210（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里．  (4)如图，作CD⊥BC，使CD＝BM，连接AD，DN． ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABM＝∠BCA＝45°， ∴∠ACD＝∠BCD-∠BCA＝90°-45°＝45°， ∴∠ABM＝∠ACD．  在△ABM和△ACD中， ∴△ABM≌△ACD(SAS)， ∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD， ∴∠DAN＝∠CAD+∠CAN＝∠BAM+∠CAN＝90°-∠MAN＝45°．  在△MAN和△DAN中， ∴△MAN≌△DAN(SAS)， ∴MN＝DN．  在Rt△CDN中，DN2＝CN2+CD2＝42+32＝25， ∴DN＝5，∴MN＝5． 10.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）【问题背景】如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连接，先说明≌，再说明≌，可得出结论，他的结论应是________． 【探索延伸】如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出的周长． 【答案】(1)EF＝BE+DF  (2)解：结论EF＝BE+DF仍然成立． 理由：如图（1），延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 因为∠B+∠CDA＝180°，∠ADG+∠CDA＝180°，所以∠B＝∠ADG． 在△ABE和△ADG中，   所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． 因为  ， 所以∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，所以∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中，   所以△AEF≌△AGF(SAS)， 所以EF＝FG． 因为FG＝DG+DF＝BE+DF， 所以EF＝BE+DF．   (3)解：△DEF的周长是10．  【解析】 解：在和中，   所以≌，   所以，．   因为  ，所以， 所以． 在和中，   所以≌，所以． 因为， 所以． 故答案为．  本题考查了全等三角形的判定与性质，延长到点，使，连接 ，即可证明≌ ，可得 ，再证明≌ ，可得 ，即可解题；  解：的周长是． 如图，延长到点，使，连接． 因为四边形是正方形，所以，． 在与中，  所以≌， 所以，． 因为，，所以，所以． 在与中，    所以≌，所以， 所以的周长为． 11.（24-25八年级·天津东丽·期中）定义：我们习惯过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且． 在图中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程 如图，当绕点旋转到图的位置时，试探究与，之间有怎样的数量关系． 【答案】(1)证明: 由旋转可得GB=DF,AF=AG, BAG=DAF,ABG=ADF, 四边形ABCD为正方形, BAD=ADF=ABC=, ABC+ABG=, G,B,C三点在一条直线上, EAF=, BAE+DAF=, GAE=BAG+BAE==EAF, 在AGE和AFE中, AGEAFE(SAS), GE=EF, GE=GB+BE=BE+DF, EF=BE+DF.   (2)结论:EF=DF-BE. 理由:如图,把ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,点E与点G重合, ABEADG, BE=DG, 同(1)可证得AEFAGF(SAS), EF=GF=DF-DG=DF-BE. ​​​​​​​ 12.（24-25八年级·湖北武汉·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务。 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点易证得． 大致证明思路：如图，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故EF． 任务： 如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程若不成立，请说明理由． 【答案】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ≌，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ≌， ， ．  13.（24-25八年级·江苏泰州·期中）【探索发现】如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，小明将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接从而证明出了． 请你写出小明的证明过程； 【类比延伸】 如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接数，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】解：证明如下： 由旋转，可知：，，，， 点、、共线， ， ． 在和中， ， ≌． ， ， ； 证明如下： 在上取，连接， ，， ≌， ，， ， ． 在和中， ， ≌， ， ， ．  14.（24-25八年级·天津东丽·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点易证得． 大致证明思路：如图，将延长至点，使，连，可证≌，再证≌，故EF． 任务：如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ≌，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ≌， ， ．  15.（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，截长补短是一种常用的方法，如图，延长于点，使得，连接、、．    ，，之间的数量关系是___________________； 如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． 如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，若，请直接写出的周长是多少． 【答案】解： ． 理由：在上取连接， ，， ≌， ，， ， ． 在和中， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， 由同理可得≌， ， ． 的周长为  【解答】 解：证明如下： 由旋转，可知： ，，， 点、、共线， ， ． 在和中， ， ， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$