东北三省四市2024-2025学年高三上学期期末联考数学模拟卷A（集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷A （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由得，解得，∴， 由解得，∴，∴，故选C。 2．已知为虚数单位，复数，则它的共轭复数（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵，∴，故选B。 3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）。 A、若、，则 B、若、，则 C、若、，则 D、若、，则 【答案】D 【解析】A选项，由、得或，错， B选项，由若、得或，错， C选项，由、得或，错， D选项，由、得，对， 故选D。 4．已知、满足：、、，则与的夹角为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由得，则， 由得，则，则， ∴，即与的夹角为，故选D。 5．若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】设函数、函数， 两函数图像如图所示，， 若，则，则，此时，∴， 若，则，则，则，则值不存在， 综上所述，，∴实数的取值范围为，故选D。 6．已知为直线：上一动点，过点作抛物线：的两条切线，切点记为、，则原点到直线距离的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设，切点为、，由，得，则， ∴在点处的切线方程为，即，∵，∴， 在点处的切线方程为，即，∵，∴， ∵两切线都过点，∴、， ∴直线的方程为，即， ∴原点到直线距离为： ， 当且仅当时取等号，∴原点到直线距离的最大值为，故选B。 7．设、、、是同一个球面上的四点，是斜边长为的等腰直角三角形。若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】如图所示，作，垂足为点，是斜边长为的等腰直角三角形， 则当位于球中过点的直径（为直径的另一端点）端点， 即图中位置时，三棱锥体积取到最大值， 连接，∵、、，∴斜边上的高、， ∴，解得，则， ∴球的直径为，则球的半径为， ∴该球的表面积，故选C。 8．已知函数的图像与函数（）的图像有公共切线，则实数的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】的定义域为，，设切点，则切线斜率， 的定义域为，，设切点，则切线斜率， ∴，整理得，即， 设，定义域为，则，令，解得， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值，∴， 即，即，即实数的最大值为，故选A。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数、，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算：①乘法运算：；②“”运算：。若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜。则下列结论正确的是（ ）。 A、若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜 B、若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜 C、若小明出，则小明一定获胜 D、若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜 【答案】BCD 【解析】A选项，若取、，则、，此时，小明获胜，错， B选项，若取、，则、，此时，小强获胜，对， C选项，，假设小强获胜，则，即，解得，此时无实数解， ∴假设不成立，∴小明一定获胜，对， D选项，由、及得，即，即， ，则， ∵，∴取， ∴对任意的，总能找到，使得，对， 故选BCD。 10．设直线：与圆：交于不同的两点、（）。已知，且 ，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】BCD 【解析】圆：的圆心为，半径为 ∴圆心到直线：的距离为， 则，∴，则， 又当时，，∴，∴是首项为、公比为的等比数列， ∴，∴ ，A选项错，B选项对， ∴的前项和，C选项对， 由，D选项对， 故选BCD。 11．已知、分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若、，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、椭圆的离心率为 D、直线的斜率的绝对值为 【答案】ABD 【解析】A选项，由题意可知，对， B选项，设，则，由椭圆定义可知， ∴、， ∵，∴，解得， ∴、、， ∵，∴，∴，对， C选项，在中，、、， 则，解得，错， D选项，过点作于点，过点作于点，则， 其中，∴， 由勾股定理得， 则，∴直线的斜率的绝对值为，对， 故选ABD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、、，若，则 。 【答案】 【解析】，∵，∴，解得。 13．已知函数的图像如图所示，、是直线与曲线的两个交点，若，则 。 【答案】 【解析】设、，由可得， 由可得或，， 由图可知，即，∴， ∵，∴，即，， ∴，， ∴或， 又∵，∴，∴。 点睛：本题主要考查根据图像求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键。 14．已知圆锥的母线长为，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 。（本小题每个空为分） 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，，则， 圆锥的体积为， 令，，构造函数，定义域为， ，令，解得， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值， ∴当、时，。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，且。 （1）求； （2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积。 【解析】（1）在中，， 由题意及正弦定理得，即， 2分 由余弦定理得，∵，∴； 4分 （2）∵， ∴， 即①， 7分 由余弦定理得， 即①， 10分 ①①联立解得（舍去）或（可取）， 12分 ∴。 13分 16．（本小题满分分）如图所示，三棱柱中，侧面是边长为的菱形，其对角线的交点为，且、。 （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值。 【解析】（1）证明：∵四边形为菱形，∴，又∵，， 、平面，∴平面，∵平面，∴， 3分 ∵，为的中点，∴，又∵， 、平面，∴平面； 5分 （2）∵，∴直线与平面所成的角就是直线与平面所成的角， ∵平面，∴直线与平面所成的角即为，即， ∵菱形的边长为，∴在正中，、， 则中，， 8分 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、、、， 9分 设平面的法向量为，∴、， 则，即，令，则、，∴， 12分 由题意可知平面即平面的一个法向量为， 13分 则， 14分 设二面角的平面角为，则。 15分 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）当时，证明：； （2）若函数有两个零点、（）且，求的取值范围。 【解析】（1）证明：当时，，定义域为，， 1分 令，解得，当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递减， 3分 ∴在处取得极小值也是最小值，∴； 4分 （2）由题意得，则、， ∴，、， ∴， 7分 ∵，∴，即， 8分 设，则，则， 9分 构造函数，定义域为，则， 10分 设，定义域为，则， 11分 由（1）可知在内恒成立，∴在内单调递增， ∴，∴在内恒成立， ∴在内单调递增，∴、， 13分 ∴，∴， 即的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）已知双曲线：（，）的右焦点为，左､右顶点分别为、，且为上不与、重合的一点，直线、的斜率之积为。 （1）求双曲线的标准方程； （2）平面一点（）且不在上，过的两条直线分别交的右支于、两点和、两点，若、、、四点在同一圆上，求直线的斜率与直线的斜率之和。 【解析】（1）由题意得、，设（），则，∴， ∵直线、的斜率之积为，∴，两式联立得， 3分 又双曲线的右焦点为，∴，∴、， ∴双曲线的标准方程为； 5分 （2）∵、、、四点共圆，∴，∴∽，∴， ∴有， 7分 设直线的方程为，、，设， 联立并整理可得：， 则且，∴、， 10分 又由、可得， 同理可得， ∴，13分 设直线的方程为，、，设， 同理可得， 15分 由已知得，又，则，化简可得， 又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为。 17分 19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。 （1）若（），求、、的值； （2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。 参考数据：。 【解析】（1），则，即，即，解得， 又∵，∴， 1分 ，则，即，即，解得， 又∵，∴， 2分 ，则，即，即，解得， 又∵，∴； 3分 （2）由题意，∴、， 4分 ∴，即，即， 5分 ∵、，∴，即， 6分 ∴数列是公差为（）的等差数列； 7分 （3）构造等比数列，公比为，∴，∴， ∴，∵，∴， ∴是首项为、公比为的等比数列， ∴，∴， 10分 ∴， 11分 当为奇数时，，数列单调递减，∴， ∴，而，∴， 12分 当为偶数时，，数列单调递增，， ∴，而，∴， 13分 ∴， 14分 当为偶数时，，由得， 即，无解， 15分 当为奇数时，，由得， 即，解得，正奇数的最小值为， 16分 ∴存在正整数，使得，正整数的最小值为。 17分 点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷A （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知为虚数单位，复数，则它的共轭复数（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）。 A、若、，则 B、若、，则 C、若、，则 D、若、，则 4．已知、满足：、、，则与的夹角为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知为直线：上一动点，过点作抛物线：的两条切线，切点记为、，则原点到直线距离的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．设、、、是同一个球面上的四点，是斜边长为的等腰直角三角形。若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知函数的图像与函数（）的图像有公共切线，则实数的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数、，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算：①乘法运算：；②“”运算：。若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜。则下列结论正确的是（ ）。 A、若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜 B、若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜 C、若小明出，则小明一定获胜 D、若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜 10．设直线：与圆：交于不同的两点、（）。已知，且 ，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．已知、分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若、，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、椭圆的离心率为 D、直线的斜率的绝对值为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、、，若，则 。 13．已知函数的图像如图所示，、是直线与曲线的两个交点，若，则 。 14．已知圆锥的母线长为，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 。（本小题每个空为分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，且。 （1）求； （2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积。 16．（本小题满分分）如图所示，三棱柱中，侧面是边长为的菱形，其对角线的交点为，且、。 （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值。 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）当时，证明：； （2）若函数有两个零点、（）且，求的取值范围。 18．（本小题满分分）已知双曲线：（，）的右焦点为，左､右顶点分别为、，且为上不与、重合的一点，直线、的斜率之积为。 （1）求双曲线的标准方程； （2）平面一点（）且不在上，过的两条直线分别交的右支于、两点和、两点，若、、、四点在同一圆上，求直线的斜率与直线的斜率之和。 19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。 （1）若（），求、、的值； （2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。 参考数据：。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 东北三省四市2025届 高三上学期期末联考模拟卷A答题卡 学校： 班级： 姓名： 座位号： 注 意 事 项 考号： 1.考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答题时,必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用2B铅笔按图示规范填涂。 3.严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效。 4.保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修正纸和修正带。 5.若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考  违纪  开考15分钟以后，缺考考生由监考老师粘贴条形码，并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 第一部分 客观题(请用2B铅笔填涂) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题 12、 13、 14、 三、解答题 15、（13分） 16、（15分） 17、（15分） 18、（17分） 19、（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 东北三省四市2025届高三上学期期末联考模拟卷A （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、圆锥曲线） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知为虚数单位，复数，则它的共轭复数（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）。 A、若、，则 B、若、，则 C、若、，则 D、若、，则 4．已知、满足：、、，则与的夹角为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知为直线：上一动点，过点作抛物线：的两条切线，切点记为、，则原点到直线距离的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．设、、、是同一个球面上的四点，是斜边长为的等腰直角三角形。若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知函数的图像与函数（）的图像有公共切线，则实数的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数、，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算：①乘法运算：；②“”运算：。若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜。则下列结论正确的是（ ）。 A、若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜 B、若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜 C、若小明出，则小明一定获胜 D、若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜 10．设直线：与圆：交于不同的两点、（）。已知，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．已知、分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若、，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、椭圆的离心率为 D、直线的斜率的绝对值为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、、，若，则 。 13．已知函数的图像如图所示，、是直线与曲线的图像的两个交点，若，则 。 14．已知圆锥的母线长为，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 。（本小题每个空为分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，且。 （1）求； （2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积。 16．（本小题满分分）如图所示，三棱柱中，侧面是边长为的菱形，其对角线的交点为，且、。 （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值。 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）当时，证明：； （2）若函数有两个零点、（）且，求的取值范围。 18．（本小题满分分）已知双曲线：（，）的右焦点为，左､右顶点分别为、，且为上不与、重合的一点，直线、的斜率之积为。 （1）求双曲线的标准方程； （2）平面一点（）且不在上，过的两条直线分别交的右支于、两点和、两点，若、、、四点在同一圆上，求直线的斜率与直线的斜率之和。 19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。 （1）若（），求、、的值； （2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。 参考数据：。 数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$