专题02 一元二次函数、方程和不等式6种常考题型归纳-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（2022秋•海淀区期末）下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2023秋•昌平区期末）对于任意实数，，，下列命题是真命题的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（2022秋•密云区期末）下列不等式成立的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2022秋•丰台区校级期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（2023秋•朝阳区期末）若，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•通州区期末）若，，且，则　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•朝阳区期末）若，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 8．（2023春•海淀区期末）已知，则　　 A． B． C． D． 9．（2022秋•西城区期末）若，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•平谷区期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•延庆区期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 12．（2022秋•西城区期末）设，，且，则　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•石景山区期末）若，则　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•丰台区期末）若，，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•顺义区期末）已知，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•海淀区期末）已知、、，则下列选项可能成立的是　　 A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 解一元二次不等式 17．（2024春•通州区期末）不等式的解集是 　　． 18．（2023秋•西城区期末）已知集合，，则　　 A． B．， C．， D．， 19．（2022秋•石景山区校级期末）若集合，或，则　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•海淀区校级期末）已知集合． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 21．（2023秋•西城区期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 22．（2023秋•东城区期末）设全集，集合，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求； （Ⅲ）若，都有，直接写出一个满足条件的值． 23．（2023秋•丰台区期末）已知集合，． （Ⅰ）若，求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 24．（2024春•朝阳区期末）已知非空集合，集合． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 25．（2023春•朝阳区期末）已知，则关于的不等式的解集是 　　． 由一元二次不等式的解确定参数 26．（2023秋•石景山区期末）已知关于的不等式的解集是则　　 A．0 B． C．1 D． 27．（2023秋•丰台区期末）已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 28．（2021秋•石景山区期末）不等式的解集为，则函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 基本不等式求和与积的最值 29．（2021秋•大兴区期末）当时，的最大值为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 30．（2024春•朝阳区期末）已知，，，的最大值为　　． 31．（2024春•丰台区期末）若，，且，则的最小值为　　 A．9 B．6 C．3 D．12 32．（2023秋•东城区期末）设，则的最小值为　　． 33．（2023秋•平谷区期末）已知函数，那么当　　时，函数取得最小值为 　　． 34．（2023秋•顺义区期末）已知函数，则当　　时，函数取到最大值且最大值为 　　． 35．（2023秋•朝阳区期末）已知，则的最小值为　． 36．（2023秋•西城区期末）已知，则的最小值为　　 A． B．0 C．1 D． 37．（2022秋•东城区期末）已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 38．（2022秋•密云区期末）已知函数，则此函数的最小值等于　　 A． B． C．4 D．6 39．（2023春•延庆区期末）函数的最小值及取得最小值时的值为　　 A．当时最小值为2 B．当时最小值为3 C．当时最小值为4 D．当时最小值为2 40．（2023春•东城区校级期末）设二次函数的值域为，，则的最小值为　　 A．3 B． C．5 D．7 基本不等式“1”的妙用求最值 41．（2023秋•丰台区期末）已知，，，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．8 D．9 42．（2022秋•西城区校级期末）已知实数，且，则的最小值是　　 A．21 B．25 C．29 D．33 基本不等式的实际应用 43．（2021秋•平谷区期末）某人要围一个面积为的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高，新墙的造价为1000元，则当取_____时，总造价最低？（假设旧墙足够长）　　 A．9 B．8 C．16 D．64 44．（2022秋•西城区期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：之间满足的关系为，则当最小时，的值为　　 A．20 B． C．40 D．400 45．（2023秋•石景山区期末）已知命题：若，则．能说明为假命题的一组，的值为　　，　　． 46．（2024春•海淀区期末）已知命题：关于的不等式与的解集相同，命题，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 47．（2022春•北京期末）已知，，则下列大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 48．（2023秋•大兴区期末）已知且，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D． 49．（2024春•东城区校级期末）已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 50．（2022秋•石景山区期末）下列是一道利用基本不等式求最值的习题： 已知，，且，求的最小值． 小明和小华两位同学都巧妙地用了“”，但结果并不相同． 小明的解法：由于，所以，而，．那么．则最小值为． 小华的解法：由于，所以，而．则最小值为． （Ⅰ）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？ （Ⅱ）请说明你判断的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（2022秋•海淀区期末）下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解析】对于：当时，不成立， 对于：当，时，则不成立， 对于：根据不等式的基本性质可得若，，则，故不成立， 对于：若，则，成立， 故选：． 2．（2023秋•昌平区期末）对于任意实数，，，下列命题是真命题的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【解析】当时，显然错误； 当，时，，显然错误； 由可知，结合不等式性质可知，，正确． 故选：． 3．（2022秋•密云区期末）下列不等式成立的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于，当时，，故错误； 对于，在上单调递增， ，（b）（a），即，故正确； 对于，当，时，满足，但，故错误； 对于，当，时，，但是，故错误． 故选：． 4．（2022秋•丰台区校级期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】：当，时，，故错误， ：当，时，，故正确， ：当，，，时，，故错误， ：当，，时，，故错误， 故选：． 5．（2023秋•朝阳区期末）若，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】，，是任意实数，且， 选项，如，则选项不成立， 选项，如，则选项不成立， 选项，如，则选项不成立， 选项，根据增函数，则，选项正确， 故选：． 6．（2023秋•通州区期末）若，，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】当时，显然错误； 因为在上单调递减， 当时，，错误； 因为在上单调递增， 由可得，，正确； 当，时，显然错误． 故选：． 7．（2022秋•朝阳区期末）若，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，当，时，，错误； 对于，当时，，错误； 对于，函数是幂函数，在上为增函数，若，必有，正确； 对于，当，时，，错误； 故选：． 8．（2023春•海淀区期末）已知，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，当，时，，但，错误； 对于，当，时，，但，错误； 对于，当，时，，当，错误； 对于，函数，易得在上为增函数， 若，则有（a）（b），即，正确． 故选：． 9．（2022秋•西城区期末）若，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，若、中有一个为0时，则、中有一个不存在，所以不等式不成立； 对于，若时，则不成立； 对于，若，则，所以不等式一定成立； 对于，若、中有小于或等于0的数时，则不等式不成立． 故选：． 10．（2023秋•平谷区期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 【解析】若，，则： ，故， 故错误，正确； 与的大小无法确定， 故，错误； 故选：． 11．（2022秋•延庆区期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 【解析】由，，取，，可知正确． 故选：． 12．（2022秋•西城区期末）设，，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】令，则，，故选错误； 令，，则，故选项错误； 选项，，，故，故选正确， 故选：． 13．（2023秋•石景山区期末）若，则　　 A． B． C． D． 【解析】对于，当，时，满足，但不成立，故不正确； 对于，，两边都乘以，得，故不正确； 对于，由函数为上的增函数，可知，故不正确； 对于，由于、都是正数，所以， 根据、不相等，可知等号不能成立，故成立，项正确． 故选：． 14．（2023秋•丰台区期末）若，，则下列结论一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，因为，所以，故不正确； 对于，在不等式的两边都加上，可得，故正确； 对于，，当为负数时，，故不正确； 对于，当，，，时，满足，， 此时，故不成立，不正确． 故选：． 15．（2023秋•顺义区期末）已知，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】当时，均不成立， ， 则，， 故，故正确； ，，，满足， 但，故错误． 故选：． 16．（2024春•海淀区期末）已知、、，则下列选项可能成立的是　　 A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【解析】因为、，故，排除； 因为， 所以，， 又， 所以，故错误，正确． 故选：． 解一元二次不等式 17．（2024春•通州区期末）不等式的解集是 　　． 【解析】，解得或， 故所求不等式的解集为或． 故答案为：或． 18．（2023秋•西城区期末）已知集合，，则　　 A． B．， C．， D．， 【解析】因为，或， 则或． 故选：． 19．（2022秋•石景山区校级期末）若集合，或，则　　 A． B． C． D． 【解析】集合， 又或， ． 故选：． 20．（2023秋•海淀区校级期末）已知集合． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ），解得， ， ，解得或，或， 或， ， ． （Ⅱ）关于的不等式的解集为， 由，得， ， ，，解得， 实数的取值范围是． 21．（2023秋•西城区期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【解析】，， 若，且，则，即． 故选：． 22．（2023秋•东城区期末）设全集，集合，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求； （Ⅲ）若，都有，直接写出一个满足条件的值． 【解析】（Ⅰ），， 故或； （Ⅱ）当时，， 故； （Ⅲ）若，都有，则， 所以，即， 故一个满足条件的值可以为3（答案不唯一）． 23．（2023秋•丰台区期末）已知集合，． （Ⅰ）若，求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【解析】当时，，或， 因为，所以，所以． （Ⅱ）由知，又， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为，． 24．（2024春•朝阳区期末）已知非空集合，集合． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【解析】因为非空集合，集合． （Ⅰ）当时，，集合或， ； （Ⅱ）若，则， 又，或， 所以，解得， 故实数的取值范围为，． 25．（2023春•朝阳区期末）已知，则关于的不等式的解集是 　　． 【解析】不等式，， 因式分解为， 对应方程的实数根为和； 因为，所以， 所以关于的不等式的解集为：． 故答案为：． 由一元二次不等式的解确定参数 26．（2023秋•石景山区期末）已知关于的不等式的解集是则　　 A．0 B． C．1 D． 【解析】由题意和1是方程的两根， 所以，，， 所以． 故选：． 27．（2023秋•丰台区期末）已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 【解析】（1）因为的解集为， 所以和为方程的两个实根，二次项系数不为0， 根据韦达定理，则有，解得． 当，时，的解集为，符合题意． 综上，，． （2）由（1）可知，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 28．（2021秋•石景山区期末）不等式的解集为，则函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【解析】不等式的解集为，， 故 的解集为． 和1是方程的两个根，故，，解得，． 故函数，其图象为， 故选：． 基本不等式求和与积的最值 29．（2021秋•大兴区期末）当时，的最大值为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】因为， 所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1． 故选：． 30．（2024春•朝阳区期末）已知，，，的最大值为　　． 【解析】根据题意，，，， 又由，则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为1； 故答案为：1． 31．（2024春•丰台区期末）若，，且，则的最小值为　　 A．9 B．6 C．3 D．12 【解析】因为，，，当且仅当时取等号， 解得． 故选：． 32．（2023秋•东城区期末）设，则的最小值为　　． 【解析】，． 当且仅当，即时上式“”成立． 故答案为：5． 33．（2023秋•平谷区期末）已知函数，那么当　　时，函数取得最小值为 　　． 【解析】因为，，当且仅当时取等号． 故答案为：3，6． 34．（2023秋•顺义区期末）已知函数，则当　　时，函数取到最大值且最大值为 　　． 【解析】， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数取到最大值且最大值为． 故答案为：，． 35．（2023秋•朝阳区期末）已知，则的最小值为　． 【解析】，， ， 当且仅当时，等号成立． 故的最小值为3． 故答案为：3． 36．（2023秋•西城区期末）已知，则的最小值为　　 A． B．0 C．1 D． 【解析】， ， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 37．（2022秋•东城区期末）已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】， ， 当且仅当时，等号成立； 故的最小值为5， 故选：． 38．（2022秋•密云区期末）已知函数，则此函数的最小值等于　　 A． B． C．4 D．6 【解析】因为， 所以， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 故函数的最小值等于6． 故选：． 39．（2023春•延庆区期末）函数的最小值及取得最小值时的值为　　 A．当时最小值为2 B．当时最小值为3 C．当时最小值为4 D．当时最小值为2 【解析】，， 当且仅当时取等号，当时最小值为2． 故选：． 40．（2023春•东城区校级期末）设二次函数的值域为，，则的最小值为　　 A．3 B． C．5 D．7 【解析】由题意知，，△，，， 则，当且仅当时取等号， 则的最小值是 3． 故选：． 基本不等式“1”的妙用求最值 41．（2023秋•丰台区期末）已知，，，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．8 D．9 【解析】，，，可得， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为8． 故选：． 42．（2022秋•西城区校级期末）已知实数，且，则的最小值是　　 A．21 B．25 C．29 D．33 【解析】，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是21． 故选：． 基本不等式的实际应用 43．（2021秋•平谷区期末）某人要围一个面积为的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高，新墙的造价为1000元，则当取_____时，总造价最低？（假设旧墙足够长）　　 A．9 B．8 C．16 D．64 【解析】由题意墙的总造价为：， 当且仅当，即时取等号； 故选：． 44．（2022秋•西城区期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：之间满足的关系为，则当最小时，的值为　　 A．20 B． C．40 D．400 【解析】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当最小时，的值为20． 故选：． 45．（2023秋•石景山区期末）已知命题：若，则．能说明为假命题的一组，的值为　　，　　． 【解析】当，时，满足，但，不满足． 故答案为：，（答案不唯一）． 46．（2024春•海淀区期末）已知命题：关于的不等式与的解集相同，命题，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】若，则可化为， 则与的解集不同，必要性不成立， 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，充分性不成立， 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件． 故选：． 47．（2022春•北京期末）已知，，则下列大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，因为，，所以，故错误； 对于，因为，，所以，又因为，所以， 则，故正确；易知，错误． 故选：． 48．（2023秋•大兴区期末）已知且，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】且， ，，（若，则，，与已知矛盾）， ，正确； ，正确； 由，得， ， ，正确； 中，分子，但分母的符号不确定，故的符号不确定，错误． 故选：． 49．（2024春•东城区校级期末）已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】由，，且， 可得， 当且仅当时，上式取得最小值， 由不等式恒成立，可得， 解得． 故选：． 50．（2022秋•石景山区期末）下列是一道利用基本不等式求最值的习题： 已知，，且，求的最小值． 小明和小华两位同学都巧妙地用了“”，但结果并不相同． 小明的解法：由于，所以，而，．那么．则最小值为． 小华的解法：由于，所以，而．则最小值为． （Ⅰ）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？ （Ⅱ）请说明你判断的理由． 【解析】（Ⅰ）小华的解法正确，小明的解法错误． （Ⅱ）小明的解法中，，等号成立时；，等号成立时， 那么取得最小值时，，这与条件是相矛盾的， 所以小明的解法错误； 小华的解法中，，等号成立的条件为，即，再由已知条件，即可解得满足条件的，的值， 所以小华的解法正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$