专题01 集合与常用逻辑用语9种常考题型归纳-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 集合间的关系及应用 1．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，．若，则　　． 【解析】集合，、，，， 或， 由，解得或或或， 当时，，，，，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，，，，满足，则； 由，解得或或或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，、，，满足，则； 当时，，、，，满足，则， 综上，，． 故答案为：． 2．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，0，，其中，，1，2，3，4，，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为　　 A．6 B．8 C．20 D．36 【解析】依题意，当时，，3，4，5，有序数对有4个； 当时，，3，4，5，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个． 故选：． 3．（2023秋•密云区期末）已知集合，． （Ⅰ）当时，求和； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，集合，， 或，； （Ⅱ）当时，，解得，符合题意； 当时，，解得； 综上可得，实数的取值范围是，． 4．（2023秋•昌平区期末）已知全集，，，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ），，， ， ，，，； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 又，， 故， 即实数的取值范围为． 集合的并集运算 5．（2023秋•昌平区期末）已知集合，，，0，，则集合　　 A． B．， C．，0，1， D． 【解析】因为，，，0，，所以集合，0，1，． 故选：． 6．（2024春•丰台区期末）已知集合，，则　　 A．， B．， C．，， D．， 【解析】，， 则，． 故选：． 7．（2023秋•朝阳区校级期末）已知集合，，，则　　 A． B．， C． D．， 【解析】，，， 则，，． 故选：． 8．（2023秋•通州区期末）已知集合，1，2，，，则　　 A．， B．，2， C．，1，2， D．，0，1，2， 【解析】集合，1，2，，，0，， 则，0，1，2，． 故选：． 集合的交集运算 9．（2023秋•东城区期末）已知集合，，则　　 A． B．， C．，0， D．，，0，1， 【解析】集合，， 则，1，． 故选：． 10．（2023秋•房山区期末）已知集合，0，1，，，则　　 A． B．， C．， D．，0，1， 【解析】集合，0，1，，， 故，． 故选：． 11．（2023秋•石景山区期末）已知集合，0，2，，，则　　 A．，0， B．， C．， D．，2， 【解析】集合，0，2，，， 故，0，． 故选：． 12．（2024春•东城区期末）已知集合，，，，，0，1，，若，则　　 A．， B．，0， C．，1， D．，，0，1， 【解析】因为集合，，，，，0，1，， 若，则或， 故或， 当时，，1，，与集合元素的互异性矛盾， 故，，1，， 则，1，． 故选：． 13．（2024春•怀柔区期末）集合，，则　　 A． B． C．，， D．，，0， 【解析】，， 则． 故选：． 14．（2024春•海淀区校级期末）设集合，0，1，，，，则集合　　 A． B． C．， D． 【解析】集合，，，，3，7，11，，集合，0，1，， 所以． 故选：． 15．（2024春•昌平区期末）已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】集合，， 则，． 故选：． 16．（2023秋•海淀区校级期末）设集合，2，3，4，5，6，7，8，，，，则等于　　 A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8， 【解析】集合，2，3，4，5，6，7，8，，，， 则，4，． 故选：． 17．（2023秋•湖北期末）已知集合，1，2，，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】集合，1，2，，，， 则，． 故选：． 18．（2022秋•西城区校级期末）设全集，集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】解得，， 由得，故， 所以． 故选：． 19．（2023秋•顺义区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】集合，， 则． 故选：． 20．（2023秋•平谷区期末）已知集合，4，，，则等于　　 A． B． C． D．， 【解析】集合，4，， ，， ，． 故选：． 21．（2024春•石景山区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由集合，， 根据集合交集的运算，可得． 故选：． 22．（2023秋•丰台区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】集合，， 既属于，又属于的元素，满足不等式，即． 故选：． 23．（2023秋•石景山区期末）已知集合，，若　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， 故选：． 24．（2023秋•密云区期末）已知集合，2，3，5，，，5，11，，则中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】集合，2，3，5，，，5，11，， 则，，元素个数为2个． 故选：． 集合的补集运算 25．（2023秋•大兴区期末）已知全集，集合，则　　 A． B． C． D． 【解析】，集合，则． 故选：． 26．（2023秋•昌平区期末）已知全集，集合，那么　　 A．， B．， C．， D．，， 【解析】全集，集合，，， ，， 故选：． 27．（2024春•通州区期末）已知全集，，，0，1，2，，集合，则　　 A．， B．， C．，0， D．，，2， 【解析】全集，，，0，1，2，，集合，0，， 则，，2，． 故选：． 28．（2023秋•海淀区期末）已知全集，，0，1，，集合，，，则　　 A．，2， B．， C． D． 【解析】全集，，0，1，，集合，，， ，． 故选：． 29．（2023秋•通州区期末）已知全集，，则　　 A． B． C．或 D．或 【解析】全集，， 则或． 故选：． 30．（2023秋•东城区期末）已知全集，集合，则　　 A． B． C． D． 【解析】全集，集合， ． 故选：． 集合的交并补混合运算 31．（2023秋•丰台区期末）已知集合，，，0，1，，，0，，，，则　　 A．， B．，，1， C．，，，0， D．，，，0， 【解析】集合，，，0，1，，，0，，，， ，0，1，， 则，． 故选：． 32．（2023秋•海淀区期末）已知集合，2，3，4，5，，，3，，，2，，则　　 A．，4，5， B．， C．，4， D．，5， 【解析】，3，，，2，， ，， 又集合，2，3，4，5，， ，4，5，． 故选：． 33．（2023春•东城区校级期末）集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：． 集合新定义问题 34．（2024春•海淀区校级期末）设，表示与的最大值．若，都是正数，，则的最小值为　　 A． B．3 C．8 D．9 【解析】因为，所以， 又，都是正数， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以． 故选：． 35．（2023秋•丰台区期末）记（A）为非空集合中的元素个数，定义．若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由定义得（A），结合，可知（B）或（B）， 由方程，得或， 当（B）时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此． 当（B）时，必有，方程有两个不相等的实数根，， 并且，都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于，，于是△，解得或． 当时，方程的根为，，满足题意， 当时，方程的根为，，满足题意， 因此或，所以，故． 故选：． 36．（2024春•朝阳区期末）已知是正整数，集合．若集合且中元素个数为，则称是的元子集．若是的一个元子集，且对任意：，都存在中若干个不同元素，，，，满足，则称是的元基子集． （Ⅰ）判断，，1，是否是的4元基子集，说明理由； （Ⅱ）设是的7元子集，判断是否一定是的7元基子集，说明理由； （Ⅲ）若的任意元子集均是元基子集，求的最小值． 【解析】（Ⅰ）由于，，，0，1，2，， 因为，，1，且，，， 所以，，1，是的4元基子集． （Ⅱ）不一定是的7元基子集，理由如下： ，，，，0，1，2，3，， 取，，0，1，2，3，，则， 故4不能写成中若干个元素之和， 所以，，0，1，2，3，不是的7元基子集． （Ⅲ）当时，考虑的元子集，，，，， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为． 故不能写成中若干个元素之和， 所以， 设，，， 则， 任取的15元子集，因为，所以或存在使得， 所以0可以表示为中若干个元素之和， 由对称性，只需要证明整数，2，，，均可表示为中若干个元素之和， 设，2，，，，，， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明，，，，这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， ①若，，，中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则， 所以，，，，中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和； ②若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中，小于的最大数为． 则， 所以，解得， 设，，，是，，，在中的补集， 则对于任意的，2，，，均有， 即，，，，中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和， 设，，，，，，，，，可表示为中若干不同元素之和， 因为的元素个数，中的元素个数， 又， 所以， 即不为空集， 设，则可表示为中若干个不同元素之和， 所以可表示为中若干个不同元素之和． 综上可得：最小值为15． 37．（2023秋•平谷区期末）已知集合，2，3，，，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集． （Ⅰ）若，写出的所有（4）子集； （Ⅱ）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值． 【解析】（1）当时，，2，3，4，， 则当时，，时，满足条件，即，， 当时，，时，满足条件 故的所有（4）子集有，2，3，，，2，3，，，3，4，，，3，4，； （2）当时，取，，，是的（2）子集，此时， 若，设，，，且， 根据题意，，，， ，，，， ，， ， ， ， ，与矛盾， 综上，． 充分条件与必要条件 38．（2024春•通州区期末）已知，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，，， 则，当且仅当时，等号成立， 故充分性成立， 当，，满足，，，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 39．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 　　． 【解析】根据题意，因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 又由集合，、，． 所以，则的取值范围为． 故答案为：． 全称量词命题的否定 40．（2023秋•朝阳区校级期末）若，，则为 　，　． 【解析】若，，则为“，”． 故答案为：，． 41．（2023秋•湖北期末）命题“，都有”的否定为　　 A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【解析】“，都有”的否定为：，使得． 故选：． 42．（2024春•石家庄期末）命题，都有，则命题的否定为　　 A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 【解析】，都有， 则命题的否定为：，都有． 故选：． 43．（2023春•顺义区校级期末）设命题，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据题意，因为，，是全称量词命题， 所以为：，． 故选：． 44．（2023秋•丰台区期末）命题“对任意，都有”的否定为　，　． 【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即，． 故答案为：，． 45．（2015秋•朝阳区期末）命题：，的否定为　，　． 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定为：命题“，”． 故答案为：，． 46．（2024春•昌平区期末）若，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为，， 所以为：，． 故选：． 存在量词命题的否定 47．（2023秋•顺义区期末）命题“，使得”的否定为　　 A．， B．，都有 C．， D．，都有 【解析】“，使得”的否定为：，都有． 故选：． 48．（2023秋•西城区期末）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据含有量词的命题的否定， 则“，”的否定是“，”． 故选：． 49．（2023秋•海淀区期末）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题，，则命题的否定是：，． 故选：． 50．（2023秋•海淀区校级期末）已知，其中．若，，则的取值范围是 　　；若，，，则的取值范围是 　　． 【解析】当时，，，当且仅当，即时取等号， 由题意得，即； 当，时， 若，即时，在，上单调递减，（1）， 若，，，则，即， 此时，符合题意； 当，即时，在，上单调递增，（2）， 若，，，则，即， 此时不存在，不符合题意； 当，即时，若，，， 则 解得，， 综上，的范围为． 故答案为：，． 51．（2023秋•朝阳区期末）已知集合，，，，其中且，，2，，，非空集合，记（B）为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，（B）． （Ⅰ）若，2，5，6，7，，（B），写出所有可能的集合； （Ⅱ）若，4，5，9，10，，，，，且（B）是12的倍数，求集合的个数； （Ⅲ）若，2，3，，，2，，，证明：存在非空集合，使得（B）是的倍数． 【解析】（Ⅰ）所有可能的集合为：，，，，，，2，． （Ⅱ）不妨设：，由于，且，，， 所以（B）． 由题意，（B）是12的倍数时，（B）或（B）． 当（B）时，因为， 所以当且仅当，4，时，（B）成立，故，4，符合题意． 当（B）时， 若，则，故，10，或，9，符合题意； 若，则，故，9，符合题意； 若，则，无解． 综上，所有可能的集合为，4，，，10，，，9，，，9，． 故满足条件的集合的个数为4． （Ⅲ）（1）当时，设， 则，，，，，，，，2，3，，，， 这个数取个值，故其中有两个数相等． 又因为，于是， 从而，，，互不相等，，，，互不相等， 所以存在，，2，，使得． 又因，故． 则，，则（B），结论成立． （2）当时，不妨设， 则，，，，在这个数中任取3个数，． 若与都是的倍数，， 这与，，，矛盾． 则，，至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数． 考虑这个数：，，，，，． ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得． 若为偶数，取，，，，则（B），结论成立； 若为奇数，取，，，，，则（B），结论成立． ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得． 若为偶数，取，，，，则（B），结论成立； 若为奇数，取，，，，，则（B），结论成立． 综上，存在非空集合，使得（B）是的倍数． 52．（2024春•昌平区期末）已知集合，，，或0，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，，记．若集合，，，均满足，则中元素个数最多为　　 A．10 B．11 C．1023 D．1024 【解析】依题意，对于中元素，，，和，，，， 当和同时为1时，， 当和至少有一个为0时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、均满足， 设集合中的元素记为，，，， 则的所有元素的，2，3，，位置至多有1个1， 若，2，3．，位置为1，其它位置为0的元素有10个， 若，2，3，，全为0的有1个， 综上中元素最多有个． 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 集合间的关系及应用 1．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，．若，则　　． 2．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，0，，其中，，1，2，3，4，，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为　　 A．6 B．8 C．20 D．36 3．（2023秋•密云区期末）已知集合，． （Ⅰ）当时，求和； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 4．（2023秋•昌平区期末）已知全集，，，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 集合的并集运算 5．（2023秋•昌平区期末）已知集合，，，0，，则集合　　 A． B．， C．，0，1， D． 6．（2024春•丰台区期末）已知集合，，则　　 A．， B．， C．，， D．， 7．（2023秋•朝阳区校级期末）已知集合，，，则　　 A． B．， C． D．， 8．（2023秋•通州区期末）已知集合，1，2，，，则　　 A．， B．，2， C．，1，2， D．，0，1，2， 集合的交集运算 9．（2023秋•东城区期末）已知集合，，则　　 A． B．， C．，0， D．，，0，1， 10．（2023秋•房山区期末）已知集合，0，1，，，则　　 A． B．， C．， D．，0，1， 11．（2023秋•石景山区期末）已知集合，0，2，，，则　　 A．，0， B．， C．， D．，2， 12．（2024春•东城区期末）已知集合，，，，，0，1，，若，则　　 A．， B．，0， C．，1， D．，，0，1， 13．（2024春•怀柔区期末）集合，，则　　 A． B． C．，， D．，，0， 14．（2024春•海淀区校级期末）设集合，0，1，，，，则集合　　 A． B． C．， D． 15．（2024春•昌平区期末）已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D．， 16．（2023秋•海淀区校级期末）设集合，2，3，4，5，6，7，8，，，，则等于　　 A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8， 17．（2023秋•湖北期末）已知集合，1，2，，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2022秋•西城区校级期末）设全集，集合，，则　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•顺义区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•平谷区期末）已知集合，4，，，则等于　　 A． B． C． D．， 21．（2024春•石景山区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•丰台区期末）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•石景山区期末）已知集合，，若　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•密云区期末）已知集合，2，3，5，，，5，11，，则中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 集合的补集运算 25．（2023秋•大兴区期末）已知全集，集合，则　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•昌平区期末）已知全集，集合，那么　　 A．， B．， C．， D．，， 27．（2024春•通州区期末）已知全集，，，0，1，2，，集合，则　　 A．， B．， C．，0， D．，，2， 28．（2023秋•海淀区期末）已知全集，，0，1，，集合，，，则　　 A．，2， B．， C． D． 29．（2023秋•通州区期末）已知全集，，则　　 A． B． C．或 D．或 30．（2023秋•东城区期末）已知全集，集合，则　　 A． B． C． D． 集合的交并补混合运算 31．（2023秋•丰台区期末）已知集合，，，0，1，，，0，，，，则　　 A．， B．，，1， C．，，，0， D．，，，0， 32．（2023秋•海淀区期末）已知集合，2，3，4，5，，，3，，，2，，则　　 A．，4，5， B．， C．，4， D．，5， 33．（2023春•东城区校级期末）集合，，则　　 A． B． C． D． 集合新定义问题 34．（2024春•海淀区校级期末）设，表示与的最大值．若，都是正数，，则的最小值为　　 A． B．3 C．8 D．9 35．（2023秋•丰台区期末）记（A）为非空集合中的元素个数，定义．若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2024春•朝阳区期末）已知是正整数，集合．若集合且中元素个数为，则称是的元子集．若是的一个元子集，且对任意：，都存在中若干个不同元素，，，，满足，则称是的元基子集． （Ⅰ）判断，，1，是否是的4元基子集，说明理由； （Ⅱ）设是的7元子集，判断是否一定是的7元基子集，说明理由； （Ⅲ）若的任意元子集均是元基子集，求的最小值． 37．（2023秋•平谷区期末）已知集合，2，3，，，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集． （Ⅰ）若，写出的所有（4）子集； （Ⅱ）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值． 充分条件与必要条件 38．（2024春•通州区期末）已知，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（2024春•海淀区期末）已知集合，、，．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 　　． 全称量词命题的否定 40．（2023秋•朝阳区校级期末）若，，则为 　　． 41．（2023秋•湖北期末）命题“，都有”的否定为　　 A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 42．（2024春•石家庄期末）命题，都有，则命题的否定为　　 A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 43．（2023春•顺义区校级期末）设命题，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 44．（2023秋•丰台区期末）命题“对任意，都有”的否定为　 　． 45．（2015秋•朝阳区期末）命题：，的否定为　 　． 46．（2024春•昌平区期末）若，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 存在量词命题的否定 47．（2023秋•顺义区期末）命题“，使得”的否定为　　 A．， B．，都有 C．， D．，都有 48．（2023秋•西城区期末）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 49．（2023秋•海淀区期末）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 50．（2023秋•海淀区校级期末）已知，其中．若，，则的取值范围是 　　；若，，，则的取值范围是 　　． 51．（2023秋•朝阳区期末）已知集合，，，，其中且，，2，，，非空集合，记（B）为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，（B）． （Ⅰ）若，2，5，6，7，，（B），写出所有可能的集合； （Ⅱ）若，4，5，9，10，，，，，且（B）是12的倍数，求集合的个数； （Ⅲ）若，2，3，，，2，，，证明：存在非空集合，使得（B）是的倍数． 52．（2024春•昌平区期末）已知集合，，，或0，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，，记．若集合，，，均满足，则中元素个数最多为　　 A．10 B．11 C．1023 D．1024 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$