第24章圆精选题练习卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第24章圆精选题练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的弧的度数相等．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，的弦与半径互相垂直，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是圆的直径，点，，在圆上，记为，为．若，则的度数和为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．内一点到上的最近点的距离为2，最远点的距离为10，则的半径为 ． 8．如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是 ． 9．如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 10．如图，正方形的边长为6，E是的中点， F是边上的动点， 连接，以点F为圆心，长为半径作． 当与正方形的边相切时，的长为 ． 11．如图，点、、都在上，，，的度数 ． 12．如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 13．如图，，是的切线，若，， ． 14．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)直接写出点的坐标： (3)求点B经过的路径的长（结果保留）． 16．如图，经过A，B，C三点，，连接． (1)求证：； (2)，的半径为25，求的长． 17．如图（1），为的两条弦，且，连，． (1)求证：； (2)如图（2），若，作于，求证：． 18．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 19．如图1，在中，以为直径作交于点，已知，． (1)求证：； (2)如图2，将点关于作轴对称得到点，连结，得到四边形，设．四边形的面积为． ①求关于的函数关系式： ②四边形的面积是否有最大值，若有，请你求出的最大值． 20．（1）课本再现：如图1，，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点A、B、C，且，连接、，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D D C B 1．B 【分析】本题考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．根据圆的基本概念，即可判断答案． 【详解】因为“直径是弦”是真命题，所以①正确； 因为“经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆”，所以②错误； 因为“三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等”是真命题，所以③正确； 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧的度数才相等，所以④错误； 所以其中正确的有2个． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出，然后用即可得到． 【详解】解：连接，如图， ， ， 在中，，， ， ． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由圆周角定理知，．由圆内接四边形的对角互补知，． 【详解】解：四边形内接于 ． 故选：D 4．D 【分析】本题考查直径所对圆周角定理．根据圆周角定理求得，和，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，尺规作角平分线等知识点，根据直角所对的圆周角是得出的度数，再由得出的度数，最后根据所画射线为的角平分线即可解决问题，熟练掌握圆周角定理的推论，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 根据作图步骤可知，平分， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 7．6 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据直径等于最近点的距离加最远点的距离，即可求解． 【详解】解：当点在定圆内时，最近点的距离为2，最远点的距离为10， 则直径是，因而半径是6， 故答案为：6． 8．/95度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、邻补角等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 根据圆内接四边形的对角互补得到，而和为邻补角，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，是四边形的一个外角， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．5 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为r，则，．根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的r值． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r，则， ， ， ∵为的直径，弦于点E， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， ∴的半径为5． 故答案为：5． 10．或 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ． 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 故答案为：或． 11．/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平行线的性质和已知条件可得，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． （1）根据要求作图即可； （2）由图即可判断； （3）先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可知，点的坐标为． （3）解：由图可知，， ∴， 答：的长． 16．(1)见解析 (2)的长为40 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理． （1）证得，得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得； （2）由（1）得，故，根据垂径定理得，由勾股定理得，再由勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∴在和， ∴， ， ∵， ； （2）解：如图，延长交于点D， 由（1）得， ∴， 又∵，， ∴， ∵的半径为25， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即的长为40． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点分别作，于点，，连接，，，根据垂径定理可推出，从而证明，得到，利用角的和差得到，即可证明； （2）连接，，，由（1）可知，结合可得到，然后根据圆周角定理的推论可得到，最后利用垂径推出为斜边上的中线，即可证明． 【详解】（1）证明：过点分别作，于点，，连接，，，如图所示， 则有，， 又 ，即 （2）证明：连接，，，如图所示， 由（1）可知， 又 为斜边上的中线 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的证明与性质，圆周角定理及其推论，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 18．(1) (2)2 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 19．(1)证明见解析 (2)①，②16 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得，结合已知即可知为中垂线，则； （2）①由（1）得，利用勾股定理求得，则，结合和轴对称可知四边形为菱形，即有； ②方法一：由题意得，连结，过点作，则，当且仅当时，菱形面积最大，此时，最大面积为． 方法二：由①，菱形面积，则当且仅当，可以取得最大值64． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， 又， 为中垂线， ； （2）①解：由（1）得， 由轴对称可知，四边形为菱形， ， ②解：方法一：由题意得， 连结，过点作，则， 当且仅当时，菱形面积最大， 此时，最大面积为． 方法二： 由①，菱形面积， 当且仅当，即时，可以取得最大值64， 菱形面积． 【点睛】本题主要考查圆的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、对称的性质、菱形的性质和最值的求解，解题的关键是熟悉圆的性质和菱形的性质． 20．（1）  （2）①见解析  ②的半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等. （1）连接和， 根据切线的性质， 可得， 即可得出结论； （2）①根据题意求证， 即可得出， 即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案. 【详解】(1) 证明： 如图， 连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) ①证明： ∵分别与相切于点、、， ∴分别平分、， 又∵， ∴， ， ∴. ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点， ∴是的切线. ②解： 连接， 则， ∵， ， ， ∴， 即的半径为． ， 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$