专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷6大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷6大题型） 【题型一】共面问题 【题型二】空间向量基本定理 【题型三】空间直角坐标系的坐标表示 【题型四】空间向量的平行与垂直 【题型五】空间向量的数量积、模长、夹角 【题型六】空间向量的投影向量 【题型一】共面问题 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】由空间向量共面的基本定理求解即可； 【详解】因为共面，所以， 即， 则解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 故选：B. 【题型二】空间向量基本定理 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）在正方体中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解． 【详解】由已知 . 故选：D． 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量、、表示向量，进而求得、、的值，即可求得的值. 【详解】由 又，则，所以， 故选：C． 4．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体，利用空间向量的几何运算，得到，利用数量积的运算得，再利用条件，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以，得到， 故选：A. 5．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 【题型三】空间直角坐标系的坐标表示 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知点关于轴的对称点为，则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据点对称的性质可得，进而可得 【详解】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D 3．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（    ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算以及向量相等，即可求得答案. 【详解】由题意可分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则可得， 即得，解得， 故选：B 【题型四】空间向量的平行与垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【详解】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4．（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【题型五】空间向量的数量积、模长、夹角 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知正方体的棱长为2，且，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】向量数量积分配律展开，再根据已知条件，用数量积公式计算即可. 【详解】根据向量数量积的分配律，将展开为. 因为正方体棱长为，且，，，与夹角为， 根据向量数量积定义（为两向量夹角），所以. 同理与夹角为，所以. 而，所以. 将各项计算结果代入可得：. 故选：D. 4．设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解. 【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误. 故选：D. 6．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 【题型六】空间向量的投影向量 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷6大题型） 【题型一】共面问题 【题型二】空间向量基本定理 【题型三】空间直角坐标系的坐标表示 【题型四】空间向量的平行与垂直 【题型五】空间向量的数量积、模长、夹角 【题型六】空间向量的投影向量 【题型一】共面问题 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型二】空间向量基本定理 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）在正方体中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【题型三】空间直角坐标系的坐标表示 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知点关于轴的对称点为，则等于（   ） A． B． C．2 D． 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（    ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 【题型四】空间向量的平行与垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 2．（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【题型五】空间向量的数量积、模长、夹角 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知正方体的棱长为2，且，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 4．设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型六】空间向量的投影向量 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$