专题6-1一次函数的图象与性质（考点清单，知识导图+11个考点清单&17种题型解读+6种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单6-1 一次函数的图象与性质 （11个考点梳理+17种题型解读+6种方法解读） 【清单01】变量与函数的相关概念 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数的解析式 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式或函数关系式. 【清单02】正比例函数与一次函数 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【清单03】待定系数法 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 【清单04】正比例函数与一次函数的图象与性质 【清单05】k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 【清单06】同一个平面直角坐标系中两直线：，：的位置关系如下： 【清单07】一次函数的平移变换 【清单08】一次函数的对称变换 【清单09】一次函数与一元一次方程 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 【清单10】一次函数与二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【清单11】一次函数与一元一次不等式 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 【考点题型一】函数的基础知识 1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（　   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：A，B，D的图象都满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故A、B、C的图象是函数， D的图象不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故D错误； 故选：C． 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 2．（21-22八年级上·江苏镇江·期末）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程S（千米）与时间t（小时）之间的关系．下列说法错误的是（    ） A．乙晚出发1小时 B．甲的速度是4千米/小时 C．乙出发3小时后追上甲 D．乙先到达B地 【答案】C 【分析】根据函数图象横、纵坐标的实际意义逐一判断，即可求解， 本题考查了，函数图像的意义，解题的关键是：正确理解题意，熟练掌握函数图像所表达的信息． 【详解】解：由图象可知：乙比甲晚出发1小时，故A正确； 由图象可知：甲的速度是千米/小时，故B正确； 由图象可知：乙出发小时后追上甲，故C错误； 乙的速度为千米/小时 ∴乙到达B地对应的横坐标，甲到达B地对应的横坐标， ∵， ∴乙先到达B地，故D正确． 故选：C． 3．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）弹簧的自然长度为，在弹簧的弹性限度内，所挂的物体的质量x每增加，弹簧的长度y增加，则y与x之间的函数关系式是 ． 【答案】/y=5+0.5x 【分析】根据题意直接列出函数关系即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查列函数解析式，理解题意是解题关键． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 (1)求出两个变量之间的函数关系； (2)请估计销售量为千克时销售额是多少？ 【答案】(1) (2)销售量为千克时销售额是元 【分析】此题考查的是函数的表示方法：列表法，解析法，以及已知自变量求函数值； （1）观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，据此列出函数关系式； （2）由题意可知将自变量代入（1）中函数关系式求出函数的值． 【详解】（1）解：由表格得两个变量的函数关系为：， （2）当时，， 答：销售量为千克时销售额是元． 【考点题型二】一次函数的定义 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的式子是正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：函数是关于x的正比例函数， ， 解得：， 故选：C． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A．自变量次数为，不是一次函数，故A不符合题意； B．分母中含有未知数，不是一次函数，故B不符合题意； C．自变量次数为，是一次函数，故C符合题意； D．分母中含有未知数，不是一次函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为． 3．（21-22八年级下·重庆九龙坡·期末）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　） A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4 【答案】B 【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围． 【详解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0， 解得m＝3或m＝﹣3， ∵m+3≠0， ∴m＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，注意一次函数一次项系数不为0． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是灵活运用待定系数法建立函数解析式． （1）已知与成正比例，可设，把，代入求出k的值，从而可得函数解析式； （2）在解析式中，令求出x即可． 【详解】（1）解：因为与成正比例， 所以可设， 将代入，得， 解得：， 所以与之间的函数关系式为：，即； （2）解：将代入得：， 解得：． 【考点题型三】判断一次函数经过象限 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，一次函数图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决． 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】∵一次函数，，， ∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由一次函数中与的特点能确定函数图象经过第二、三、四象限，即可求解．本题考查一次函数的解析式与函数图象的关系，牢记一次函数解析式中与与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：一次函数， ， 一次函数图象经过第二、四象限， ， 一次函数图象与轴的交点在轴下方， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 一次函数图象不经过第一象限， 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大；一次函数图象与轴的正半轴相交；一次函数图象与轴的负半轴相交；一次函数图象过原点． 先根据函数随的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限图象与轴的交点在轴的正半轴上或原点，即，进而可求出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限， 且 解得， 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 【答案】(1) (2)一、三、四 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得； （2）解： ， 函数值随着的增大而增大，，即该函数图像经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【考点题型四】待定系数法求一次函数解析式 1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)该函数图像与轴的交点坐标为 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、已知函数值求自变量值等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键 （1）根据题意，一次函数解析式为，把点和点代入，解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中求得解析式，令，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把点和点代入得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：令，则， 解得：， 该函数图像与轴的交点坐标为． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数（是常数，）的图象经过点，且与x轴、y轴分别交于点B、点    (1)求k的值； (2)若点在此一次函数的图象上，求a的值； (3)此一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图像性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）把代入函数解析式即可求解； （3）先求出点B和点C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴； （2）解：∵， ∴， 把代入，得 ， ∴； （3）解： 当时，， 解得， 当时，， 点B和点C的坐标分别为，， 的面积为 故答案为：1． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，掌握待定系数法的步骤是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， 把和代入，得 ， 解得：， 所以y与x之间的函数表达式为； （2）∵， ∴y随x的增大而减小． 当时，， 当时，， ∴当时，函数y的取值范围是：， 故答案为：． 【考点题型五】判断一次函数增减性 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知点和点都在直线上，若，则的关系（　　） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数解析式可得在中y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴在中y随x增大而增大， ∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选C． 2．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， ， ， A、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为负数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； B、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， ，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； C、若，则，即与同号（同时为正或同时为负）， ， 若取与同为正数，由不能确定的正负， ，为直线上的三个点， 正负不能确定，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意； D、若，则，即与异号（一正一负）， ， ，，由确定的正负， ，为直线上的三个点， ，，则，该选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图像与性质，由题中条件判断出正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知点在直线上，则a b（填“”、“”或“”）． 【答案】＞ 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一次函数的增减性． 首先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，然后根据即可得出结论． 【详解】∵一次函数y中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（22-23八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象过点，，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较一次函数值的大小，熟知对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小是解题的关键． 【考点题型六】根据一次函数增减性求参数 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图象过点，且y随x的增大而减小，则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象过点，求出或，再根据y随x的增大而减小得到，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴或， 解得或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大，可知，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：∵在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）当时，一次函数（为常数）图像在轴上方，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：当，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，一次函数（为常数）图像在轴上方， ∴， 解得：， ∴此时； 当，即时，y随x的增大而减小， ∵当时，一次函数（为常数）图像在轴上方， ∴， 解得：， ∴此时， 当，即时，； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数表达； (2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和． ∴ 解得： ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点在该一次函数的图像上，且， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【考点题型七】判断正比例函数的性质 1．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知正比例函数的函数值随x的增大而增大，则一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】由正比例函数的函数值随x的增大而增大，可得 结合 可得的图象经过一，二，四象限，从而可得答案. 【详解】解： 正比例函数的函数值随x的增大而增大， 则一次函数的图像经过一，二，四象限， 故选C 【点睛】本题考查的是正比例函数图象的性质，一次函数的图象与性质，掌握“一次函数的图象与性质”是解本题的关键. 2．如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ．（按从大到小的顺序用“＞”连接）    【答案】 【分析】根据函数图象所在象限可判断出，，再根据直线上升的快慢可得，进而可得答案． 【详解】解：由图像可知，正比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵的图象比的图象上升得快， ∴， ∵的图象在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，依据题意，先由是正比例函数，求出，从而，再利用正比例函数的性质，可得出随的增大而减小，最后结合，即可得出． 【详解】解：∵是正比例函数， ，且． ． ． 正比例函数的函数值随的增大而减小， 又点，都在正比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图为正比例函数（为常数）的图像，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质；由正比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵的图象位于第二、四象限， ∴ 故答案为：． 【考点题型八】已知一次函数解析式判断其性质 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）关于函数，下列说法不正确的是（　　） A．它的图象过点 B．随的增大而增大 C．它的图象不经过第三象限 D．它的图象与轴交于点 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据函数图象上点的坐标特征可判断A；根据一次函数的增减性可判断B；根据一次函数的解析式可判断C；求出当时对应的的值可判断D．熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象如图所示， A．将代入得：， ∴它的图象过点，故此选项不符合题意； B．由函数图象可知：随的增大而减小，故此选项符合题意； C．由函数图象可知：它的图象不经过第三象限，故此选项不符合题意； D．将代入得：， ∴它的图象与轴交于点，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数的说法中，不正确的是（） A．图像经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图像和性质逐项分析即可． 【详解】解∶当时，， 图象经过点，故A不符合题意； ， 图象经过第一、三、四象限，故B不符合题意； 当时，，当时，，故C不符合题意； 函数随自变量的增大而增大，故D符合题意． 故选∶D． 3．（22-23八年级上·福建漳州·期末）将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，解题关键是根据变换规律（左加右减，上加下减）得出新直线方程，然后根据一次函数的性质进行分析即可． 【详解】解：解：将直线向上平移个单位长度后得到直线， A．直线经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意； B．直线与轴交于，故此选项不符合题意； C．直线与轴交于，故此选项符合题意； D．直线，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 【考点题型九】与一次函数有关的平移问题 1．（22-23八年级下·四川达州·期中）若直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的，则直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的， ∴直线向右平移个单位长度再向上平移个单位长度可得到直线， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·四川南充·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为6． 【分析】本题是两条直线平行问题，考查了待定系数法求一次函数和一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式． （1）根据一次函数与平行，可求得的值，再把点代入即可求得一次函数的解析式； （2）把点代入中，即可确定的值． 【详解】（1）解：一次函数与平行， ， 又一次函数的图象经过点， ，解得：， 函数的表达式为； （2）解：把点代入中，得， 故的值为6． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 4．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数的图像经过点、．    (1)根据图像，求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移5个单位后经过点，求的值． (3)为轴上的一动点，当的面积为15时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或8 【分析】（1）由题意可得，，，然后利用待定系数法解该函数解析式即可； （2）首先根据平移的性质“一次函数的图像向左平移个单位是，向右平移个单位是；向上平移个单位是，向下平移个单位是”求得直线平移后的解析式，然后将点代入，求解即可； （3）设该一次函数与轴交于点，首先求得点坐标，然后结合的面积为15，可得，然后整理并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 将点的坐标代入， 可得，解得， ∴该函数解析式为； （2）将直线向下平移5个单位后得到，即， ∵经过点， ∴， 解得； （3）设该一次函数与轴交于点，如下图，    对于一次函数， 令，则有， 即， 根据题意，的面积为15， 则有， 即， ∴， 解得或8． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数平移的性质等知识，正确求得一次函数解析式并运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 【考点题型十】与一次函数有关的对称问题 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）若点关于x轴的对称点在一次函数的图象上，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了点的对称，图象与坐标，先计算关于x轴的对称点，代入解析式计算即可． 【详解】∵点关于x轴的对称点为， ∴， 解得， 故选D． 2．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．    (1)求线段的长； (2)求点D的坐标及直线的函数表达式． 【答案】(1)10； (2)，． 【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线解析式． 【详解】（1）∵点B的坐标是， ∴，， 在中，由勾股定理得： ； （2）∵与关于直线对称， ∴，，， 在中，设，则，，， 由勾股定理得得，， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴的解析式为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算． 3．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 【答案】操作思考：见解析； 猜想验证：；见解析； 应用拓展： 【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象． 猜想验证：作，，点P、Q关于函数的图像对称，可证明得到，从而得到，，进而可得到点坐标； 应用拓展：在中，平分，构造全等三角形，可得点在关于的对称线上，又因为点C在射线上，所以点为直线和直线的交点坐标．求出直线和直线的解析式，即可得到答案． 【详解】操作思考： 猜想验证： 猜想点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为 证明：作轴，垂足为I，连接． 点P、Q关于函数的图像对称， ，， ， ， ，即． 在和中， ， ，， ． 应用拓展： 如图3，过作交延长线于，交直线于 ∵ ∴直线为的图象 ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴、关于直线对称 ∵， ∴ 设直线为 ∴ ∴， ∴直线为 又∵直线为 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）（1）将一次函数的图像沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式为 ； [进一步思考] （2）将一次函数的图像沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得到的图像对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图像的平移就是点的平移，因此，只需要在图像上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为 、 ，从而求出过点、的直线对应的函数表达式为 ；   [深度思考] （3）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线对称、旋转后对应的函数表达式吗？ ①将一次函数的图像关于x轴对称，求所得到的图像对应的函数表达式（写出解答过程）； ②如图①，若一次函数的图像与y轴的交点为点A，则将直线绕点A逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式为 ； ③如图②，若一次函数的图像与y轴的交点为点A，则将直线绕点A逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】（1） （2） （3）①，②，③ 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度， 所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为： （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点， ， 当时，， 点， 当时，，， 点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； 故答案为： ③如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； 故答案为： 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【考点题型十一】一次函数的最值问题 1．（23-24八年级上·重庆·期中）已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 【答案】9.5 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得当时，函数取得最大值，进一步求解即可． 【详解】， 随着增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 即， 解得， 故答案为：9.5 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一次函数的增减性．掌握系数与增减性的关系是解题关键． 3．（2021·浙江杭州·二模）一次函数y＝ax﹣a＋1（a为常数，且a＜0）． (1)若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a＋1的图象上，求a的值； (2)当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值． 【答案】(1)a＝﹣4 (2)a＝ 【分析】（1）直接把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1，求解即可； （2）根据a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1，y=2代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1得 2a﹣a+1＝﹣3，解得a＝﹣4； （2）解：∵a＜0时，y随x的增大而减小， 则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得 2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣， 所以a＝﹣． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值． 【详解】（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N， ∴， ∴． 【考点题型十二】一次函数恒过定点问题 1．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）不论实数k取何值时，直线恒过一定点，则该点的坐标是 ． 【答案】 【分析】化简等式，得出与的值无关，得出，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ 即 ∵不论实数k取何值时，直线恒过一定点， ∴ 解得： ∴该点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数（为常数且）． （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值8，则的值为 ． 【答案】 2或 【分析】（1）把原解析式变形为，可得当时，，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）当时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最大值8， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，函数有最大值8， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故答案为：2或 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②1或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 4．（20-21八年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b﹣2(k≠0)的图象经过点(1，3k)． （1）请用含k的式子表示b； （2）当﹣1≤x≤2时，函数y的最大值与最小值相差5，求该一次函数的解析式； （3）如果无论m取何值，直线l恒不经过点P(2m﹣3，﹣3m+2)，求k应满足的条件． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）直接将点(1，3k)代入y＝kx+b﹣2中计算即可； （2）分和两种情况，分别计算即可； （3）将点P代入函数解析式整理得，根据直线l恒不经过点P(2m﹣3，﹣3m+2)可得k的值． 【详解】解：（1）将点(1，3k)代入y＝kx+b﹣2中，得：， 则； （2）由（1），即， 当时，y随x增大而增大， 时，为最大值， 时，为最小值， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 当时，y随x的增大而减小， 即最大值为：， 最小值为：， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （3）∵l恒不经过点P(2m﹣3，﹣3m+2)， ∴， ①当时成立， ②当时，， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及到求一次函数解析式，点的坐标，函数增减性等知识点，解题的关键是明确题意，根据函数上的点的特征解答． 【考点题型十三】一次函数与一元一次方程 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点． (1)求线段的长； (2)若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点M坐标，再求出直线解析式，令，求出x的值，令，求出y的值，即可求得A、B的坐标，进而求得的长． （2）根据，设设C点坐标为点坐标为，列出关于a方程，解方程即可求得D的坐标． 【详解】（1）点在直线的图象上，且点的横坐标为2， ∴， 点的坐标为， 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 点坐标为， 把代入得， 点坐标为， ； （2）点坐标为， ， ， 轴， 设C点坐标为点坐标为， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，勾股定理，掌握图象上的点满足图象的解析式是本题的关键． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【考点题型十四】一次函数与一元一次不等式 解题方法：谁高谁大，对应的x的范围即为解集. 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是，故②错误； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 故答案为：①④． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数 (1)为何值时，函数随的增大而减小？ (2)为何值时，它的图像与轴的交点在轴上方？ 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数的性质； （1）根据一次函数性质得到，然后解不等式； （2）根据一次函数与系数的关系得到且，然后解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ （2）解：依题意，且 解得：且 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，结合图象回答下列问题： (1)求的值和一次函数的表达式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的识别图象是解题的关键． （1）把点的坐标代入求得的值，即可用待定系数法求解； （2）由解析式求得的坐标，根据图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：中，当时，解得， ∴， 由图象知，当时，则、异号， ∴当时，． 【考点题型十五】一次函数与二元一次方程 1．（11-12八年级上·黑龙江·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：直线与的交点为，即，满足两个解析式， 则是，即方程组的解． 因此方程组的解是， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，函数的增减性，是解决问题的关键． 联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较得出结论即可． 【详解】联立两函数的解析式，得，， 解得，， ∴两函数图象交点为， ∵当时，，且的值随x的增大而减小， ∴当时，； ∵当时，，且的值随x的增大而增大， ∴当时，； ∴在的范围内，m的最大值为14． 故答案为：14．    3．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． (1)求点A的坐标； (2)如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 【答案】(1) (2)面积为42，点、 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，设出与坐标，表示出，由已知与关系，及的长求出的长，求出的值，过作垂直于，求出三角形面积；由的值确定出与坐标即可； 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， 则点的坐标为； （2）解：根据勾股定理得：， ， ， 设点， ， 解得：， 过点作，如图所示， ， 当时，， ． 4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 把，代入得，解得， 直线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ， 点在轴上，的面积为6，， ，即， ，即，解得或， 或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积求交点坐标，利用数形结合是解题的关键． 【考点题型十六】求一次函数与坐标轴围城的图形面积 1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点C． (1)求一次函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求这两个函数图象与轴所围成的的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题综合考查了两条直线相交问题，待定系数法求解析式，直线与坐标轴围成的三角形的面积， （1）用待定系数法可得一次函数的表达式； （2）联立解析式解方程组，可得C的坐标； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）由 得： ∴点C的坐标为； （3）解：∵， ∴ 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与过点的直线交于点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)若点M在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标； (3)若点Q在直线上且的面积是9，则点Q坐标为______． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数图象的性质． （1）将点代入中，求出的值，进而得出点的坐标；然后用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）先求出点的坐标，得出；由轴，，得出点；然后根据列方程求解即可； （3）点的坐标为，根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴点， 设直线的函数表达式为：， 将和代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：设点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴，∴， 由题意得， 整理得， 解得：或， 故点的坐标为或； （3）解：在直线中，当时，则， 解得：， ∴点， ∴， 设点的坐标为， 根据题意得，， 即， 解得或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）先求出C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点A，点D的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先求出M的纵坐标为，再代入的解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴ 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ，解得 ∴的函数表达式为． （2）令，代入，得：， 解得： ∴， 令，代入，得：， 解得：， ∴， ∴． （3）∵，， ∴M的纵坐标为， ∵为直线上一动点， ∴，解得：或6， ∴或 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． (1)分别求出直线和直线解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为：或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴点B的坐标为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 联立， 解得：， ∴点D的坐标为， ∵，， ， 设点P的坐标为， 当点P在、D之间时， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在点上面时， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． （3）解：∵，， ∴；， 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【考点题型十七】一次函数与将军饮马问题 1．（22-23八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，分别是的中点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称——最短路径问题，由直线求出坐标，进而求得坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，然后根据待定系数法求得直线的解析式，进一步即可求得的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点， ∴，， ∵分别是的中点, ∴，， 作点关于轴的对称点，连接交轴于， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点的坐标为， 故选：． 2．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，首先得到当点B，C，D三点共线时，最小，然后求出所在直线的表达式为，然后当时求出，即可求出点C的坐标． 【详解】如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C， ∴ ∴当点B，C，D三点共线时，最小． ∵ ∴ ∴设所在直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∴当时， 解得 ∴点的坐标是． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像中的最短距离问题，正确作出图形找到相应的点是求解的关键．先作点M关于x的对称点，过点作轴于点，交轴与,此时距离最短，根据中点可求出、的坐标，先求出、坐标，再证得是的中位线，进而求出的值，可求出点坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴，， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， 作点M关于x的对称点，过点作轴于点，则，， ∵， ∴N，关于x轴对称， ∴, 则有，根据三角形三边关系有： ∴当时，取最小值， 此时三点共线，如图中的点， ∵为中点，且, ∴是的中位线， ∵ ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单6-1 一次函数的图象与性质 （11个考点梳理+17种题型解读+6种方法解读） 【清单01】变量与函数的相关概念 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数的解析式 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式或函数关系式. 【清单02】正比例函数与一次函数 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【清单03】待定系数法 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 【清单04】正比例函数与一次函数的图象与性质 【清单05】k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 【清单06】同一个平面直角坐标系中两直线：，：的位置关系如下： 【清单07】一次函数的平移变换 【清单08】一次函数的对称变换 【清单09】一次函数与一元一次方程 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 【清单10】一次函数与二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【清单11】一次函数与一元一次不等式 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 【考点题型一】函数的基础知识 1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（　   ） A．B．C． D． 2．（21-22八年级上·江苏镇江·期末）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程S（千米）与时间t（小时）之间的关系．下列说法错误的是（    ） A．乙晚出发1小时 B．甲的速度是4千米/小时 C．乙出发3小时后追上甲 D．乙先到达B地 3．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）弹簧的自然长度为，在弹簧的弹性限度内，所挂的物体的质量x每增加，弹簧的长度y增加，则y与x之间的函数关系式是 ． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 (1)求出两个变量之间的函数关系； (2)请估计销售量为千克时销售额是多少？ 【考点题型二】一次函数的定义 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·重庆九龙坡·期末）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　） A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【考点题型三】判断一次函数经过象限 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，一次函数图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（） A． B． C． D．或 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 【考点题型四】待定系数法求一次函数解析式 1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知一次函数的图像经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与轴的交点坐标． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数（是常数，）的图象经过点，且与x轴、y轴分别交于点B、点    (1)求k的值； (2)若点在此一次函数的图象上，求a的值； (3)此一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为______． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 【考点题型五】判断一次函数增减性 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知点和点都在直线上，若，则的关系（　　） A． B． C． D．不能比较 2．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知点在直线上，则a b（填“”、“”或“”）． 4．（22-23八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象过点，，则 （填“”、“”或“”）． 【考点题型六】根据一次函数增减性求参数 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图象过点，且y随x的增大而减小，则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 2．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）当时，一次函数（为常数）图像在轴上方，则的取值范围 ． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数表达； (2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围． 【考点题型七】判断正比例函数的性质 1．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知正比例函数的函数值随x的增大而增大，则一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2．如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ．（按从大到小的顺序用“＞”连接）    3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图为正比例函数（为常数）的图像，那么的取值范围是 ． 【考点题型八】已知一次函数解析式判断其性质 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）关于函数，下列说法不正确的是（　　） A．它的图象过点 B．随的增大而增大 C．它的图象不经过第三象限 D．它的图象与轴交于点 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数的说法中，不正确的是（） A．图像经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 3．（22-23八年级上·福建漳州·期末）将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【考点题型九】与一次函数有关的平移问题 1．（22-23八年级下·四川达州·期中）若直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的，则直线的表达式为 ． 2．（22-23八年级下·四川南充·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 4．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数的图像经过点、．    (1)根据图像，求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移5个单位后经过点，求的值． (3)为轴上的一动点，当的面积为15时，求的值． 【考点题型十】与一次函数有关的对称问题 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）若点关于x轴的对称点在一次函数的图象上，则（    ） A． B．2 C． D．6 2．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．    (1)求线段的长； (2)求点D的坐标及直线的函数表达式． 3．（22-23八年级上·江苏常州·期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的． 【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H． 【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________． 4．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）（1）将一次函数的图像沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式为 ； [进一步思考] （2）将一次函数的图像沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得到的图像对应的函数表达式． 数学活动小组发现，图像的平移就是点的平移，因此，只需要在图像上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为 、 ，从而求出过点、的直线对应的函数表达式为 ；   [深度思考] （3）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线对称、旋转后对应的函数表达式吗？ ①将一次函数的图像关于x轴对称，求所得到的图像对应的函数表达式（写出解答过程）； ②如图①，若一次函数的图像与y轴的交点为点A，则将直线绕点A逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式为 ； ③如图②，若一次函数的图像与y轴的交点为点A，则将直线绕点A逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式为 ． 【考点题型十一】一次函数的最值问题 1．（23-24八年级上·重庆·期中）已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 3．（2021·浙江杭州·二模）一次函数y＝ax﹣a＋1（a为常数，且a＜0）． (1)若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a＋1的图象上，求a的值； (2)当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【考点题型十二】一次函数恒过定点问题 1．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）不论实数k取何值时，直线恒过一定点，则该点的坐标是 ． 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数（为常数且）． （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值8，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 4．（20-21八年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b﹣2(k≠0)的图象经过点(1，3k)． （1）请用含k的式子表示b； （2）当﹣1≤x≤2时，函数y的最大值与最小值相差5，求该一次函数的解析式； （3）如果无论m取何值，直线l恒不经过点P(2m﹣3，﹣3m+2)，求k应满足的条件． 【考点题型十三】一次函数与一元一次方程 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点． (1)求线段的长； (2)若，求点D坐标． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【考点题型十四】一次函数与一元一次不等式 解题方法：谁高谁大，对应的x的范围即为解集. 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有 （填序号）． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数 (1)为何值时，函数随的增大而减小？ (2)为何值时，它的图像与轴的交点在轴上方？ 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，结合图象回答下列问题： (1)求的值和一次函数的表达式； (2)当为何值时，？ 【考点题型十五】一次函数与二元一次方程 1．（11-12八年级上·黑龙江·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是 ． 2．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ． 3．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． (1)求点A的坐标； (2)如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【考点题型十六】求一次函数与坐标轴围城的图形面积 1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点C． (1)求一次函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求这两个函数图象与轴所围成的的面积． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与过点的直线交于点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)若点M在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标； (3)若点Q在直线上且的面积是9，则点Q坐标为______． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． (1)分别求出直线和直线解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 【考点题型十七】一次函数与将军饮马问题 1．（22-23八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，分别是的中点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 3．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$