原创评估提优卷(4)-【培优期末状元卷】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

４９ ５０ ５１ ! " : # $ : % & : ! " # $ % # ! " # $ % 　　　　　　　　　　原创评估提优卷（四） 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 　　　　　　　　时间：１００分钟　　　　　　　满分：１２０分 　　　　　　　　　　　八年级上册·数学 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．下列各数中，３．１４１５９，－槡２６，０．１３１１３１１１３…，－π， ３ 槡８， ２２ ７ ，无理数有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．估计槡６５的值在 （　　） Ａ．５和６之间 Ｂ．６和７之间 Ｃ．７和８之间 Ｄ．８和９之间 ３．三角形的三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，且满足（ａ＋ｂ）２＝ｃ２＋２ａｂ，则这个三角形是 （　　） Ａ．等边三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．锐角三角形 ４．用反证法证明“在△ＡＢＣ中，如果∠Ｂ≠∠Ｃ，那么ＡＢ≠ＡＣ”时，应假设 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＡＣ Ｂ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｃ．ＡＢ≠ＡＣ Ｄ．∠Ｂ≠∠Ｃ ５．如图，射线ＡＢ交ＣＤ于点Ｏ，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则图中全等三角形的对数是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ６．聪聪计算一道整式乘法的题：（ｘ＋ｍ）（５ｘ－４），由于聪聪将第一个多项式中的“＋ｍ”抄成“－ｍ”， 得到的结果为５ｘ２－３４ｘ＋２４．这道题的正确结果是 （　　） Ａ．５ｘ２＋２６ｘ－２４ Ｂ．５ｘ２－２６ｘ－２４ Ｃ．５ｘ２＋３４ｘ－２４ Ｄ．５ｘ２－３４ｘ－２４ ７．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图１及条形图２（条形的高度 从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图２中“（　　）”内应填的颜色是 （　　） Ａ．蓝 Ｂ．粉 Ｃ．黄 Ｄ．红 第５题图 　 第７题图 　 第８题图 　 第１０题图 ８．如图所示，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，点Ｅ为ＡＤ上一点，∠ＣＥＤ＝５０°，则∠ＡＢＥ等于 （　　） Ａ．１０° Ｂ．１５° Ｃ．２０° Ｄ．２５° ９．如果一个数大于０且等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为 “幸福数”的是 （　　） Ａ．２０５ Ｂ．２５０ Ｃ．５０２ Ｄ．５２０ １０．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝５，∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１２．５ Ｃ．１４．５ Ｄ．１７ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．已知ａｍ＝３，ａｎ＝２，则ａ２ｍ－ｎ的值为　　　　． １２．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是３６°，则该等腰三角形的底角的度数是　　　　． １３．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，ＢＣ＝１０，ＣＤ＝８，则∠ＡＤＣ的度数为　　　　． １４．已知Ａ＝１２３４５６７×１２３４５６９，Ｂ＝１２３４５６８２，比较Ａ，Ｂ的大小：Ａ　　　　Ｂ（填“＞”“＜”或“＝”）． 第１３题图 　　　　　　　　 第１５题图 １５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，点 Ｄ在边 ＢＣ上，以 ＡＤ为折痕，△ＡＢＤ经 折叠得到△ＡＢ′Ｄ，ＡＢ′与边ＢＣ交于点Ｅ．若△ＤＥＢ′为直角三角形，则ＢＤ的长是　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，满分７５分） １６．（８分）计算： （１） ３ （－１）槡 ３＋３－槡 ２７＋ （－２）槡 ２－１－槡３；　　　　（２） ３－槡 １２５＋－３－槡６４× １ ４ ． １７．（９分）已知有理数ａ，ｂ，ｃ满足 ａ－ｂ－３＋（ｂ＋１）２＋ｃ－１＝０，求（－３ａｂ）·（ａ２ｃ－６ｂ２ｃ）的值． １８．（９分）如图，已知△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，连接ＣＤ并延长，交ＡＢ的延长线于 点Ｅ，求∠Ｅ的度数． １９．（９分）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是边 ＡＢ的中点，点 Ｆ是边 ＢＣ的中点，连接 ＣＥ，ＤＦ．求 证：ＣＥ＝ＤＦ．                                                                                                                                             ５２ ５３ ５４ ２０．（９分）学校举办新年游艺晚会，“竞技园”中设有“投圈”“钓鱼”“扔沙包”“猜谜语”“射击”５ 项活动，每个同学只准参加其中的一项活动，报名参加“竞技园”活动的同学有６００名，小刚根 据报名情况画出了统计图．请根据统计图回答． （１）参加“钓鱼”和“射击”活动的同学各有多少名？ （２）参加“投圈”和“扔沙包”活动的同学人数分别占参加“竞技园”活动 总人数的百分之几？ （３）在统计图中，表示“猜谜语”活动的扇形的圆心角为多少度？ ２１．（１０分）操作探究：已知在纸面上有一数轴，如图所示． （１）折叠纸面，使表示１与－１的点重合，则表示－２的点与表示　　　　的点重合； （２）折叠纸面，使表示－１的点与表示３的点重合，回答以下问题． ①表示５的点与表示数　　　　的点重合； ②表示槡３的点与表示数　　　　的点重合； ③若数轴上Ａ，Ｂ两点之间的距离为９（Ａ在Ｂ的左侧），且Ａ，Ｂ两点经折叠后重合，则点Ａ 表示的数是　　　　，点Ｂ表示的数是　　　　； （３）已知在数轴上点Ｃ表示的数是ａ，若点Ｃ移动４个单位后所表示的数和ａ互为相反数，求 ａ的值． ２２．（１０分））数学课上，张老师举了下面的例题． 例１：等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝１１０°，求∠Ｂ的度数．（答案：３５°） 例２：等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝４０°，求∠Ｂ的度数．（答案：４０°或７０°或１００°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式：等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝８０°，求∠Ｂ的度数． （１）请你解答上面的变式题； （２）解答（１）后，小敏发现，∠Ａ的度数不同，得到∠Ｂ的度数的个数也可能不同，如果在等腰 三角形ＡＢＣ中，设∠Ａ＝ｘ°，当∠Ｂ有三个不同的度数时，请你探索ｘ的取值范围． ２３．（１１分）在△ＡＢＣ中，点Ｄ在直线 ＡＢ上，点 Ｅ是平面内一点，点 Ｆ在 ＢＣ的延长线上，∠Ｅ＝ ∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°． （１）如图１，若点Ｄ在边ＢＡ的延长线上，求证：ＡＤ＋ＢＣ＝ＢＥ； （２）如图 ２，若点 Ｄ在线段 ＡＢ上，请探究线段 ＡＤ，ＢＣ与 ＢＥ之间存在怎样的数量关系，并 证明； （３）如图３，若点Ｄ在线段ＡＢ的延长线上，请直接写出线段ＡＤ，ＢＣ与ＢＥ之间的数量关系． 　                                                                                                                                             ８３ ８４ ８５ ８６ 答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为５．３１万人． （３）小明分析数据的方法不合理． 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 １７８ ８９６＋７０２＋２２４＋１７８ ×１００％＝８．９％． 宣传活动前骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 １７７ １０００ ×１００％＝１７．７％． ８．９％＜１７．７％． 因此交警部门开展的宣传活动有效果． ２２．解：分下列三种情况． ①如图１当点Ｅ在线段ＡＣ上时， ∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ）． ∵ＤＥ垂直平分ＡＢ， ∴ＥＡ＝ＥＢ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＣ． ∵∠ＥＢＣ＋∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ，∴４２°＋∠ＢＡＣ＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ），解得∠ＢＡＣ＝３２°； ②如图２，当点Ｅ在线段ＣＡ的延长线上时， 可得４２°－（１８０°－∠ＢＡＣ）＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ），解得∠ＢＡＣ＝１５２°； ③如图３，当点Ｅ在线段ＡＣ的延长线上时， 可得∠ＢＡＣ－４２°＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ）， 解得∠ＢＡＣ＝８８°． 综上所述，∠ＢＡＣ＝３２°或１５２°或８８°． ２３．解：问题情境：ＰＥ＝ＰＦ．证明：如图１，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＯＡ于点Ｎ． ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＰＯＮ＝∠ＰＯＭ． 在△ＰＮＯ和△ＰＭＯ中， ∠ＰＮＯ＝∠ＰＭＯ， ∠ＰＯＮ＝∠ＰＯＭ， ＰＯ＝ＰＯ， { ∴△ＰＮＯ≌△ＰＭＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＰＮ＝ＰＭ． ∵∠ＰＭＯ＝∠ＰＮＯ＝∠ＭＯＮ＝９０°，∴∠ＭＰＮ＝３６０°－３×９０°＝９０°． ∵∠ＭＰＮ＝∠ＥＰＦ＝９０°，∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ． 在△ＰＭＦ和△ＰＮＥ中， ∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ， ＰＭ＝ＰＮ， ∠ＰＭＦ＝∠ＰＮＥ＝９０°， { ∴△ＰＭＦ≌△ＰＮＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＰＦ＝ＰＥ． 变式拓展：ＰＥ＝ＰＦ． 理由如下：如图２，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＯＡ于点Ｎ． ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ． 在△ＰＯＭ和△ＰＯＮ中， ∠ＰＭＯ＝∠ＰＮＯ， ∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ， ＰＯ＝ＰＯ， { ∴△ＰＯＭ≌△ＰＯＮ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＰＭ＝ＰＮ． ∵∠ＭＯＮ＝１２０°，∴∠ＭＰＮ＝３６０°－２×９０°－１２０°＝６０°． ∵∠ＭＰＮ＝∠ＥＰＦ＝６０°，∵∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ． 在△ＰＭＦ和△ＰＮＥ中， ∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ， ＰＭ＝ＰＮ， ∠ＰＭＦ＝∠ＰＮＥ＝９０°， { ∴△ＰＭＦ≌△ＰＮＥ（Ａ．Ｓ．Ａ），∴ＰＦ＝ＰＥ． 原创评估提优卷（四） １．Ｃ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ａ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｄ　８．Ｃ ９．Ｄ　【解析】设两个连续奇数中的一个奇数为 ｘ，另一个奇数为 ｘ＋２，则由这两个奇数得到的“幸福 数”为（ｘ＋２）２－ｘ２＝２（２ｘ＋２）＝４（ｘ＋１）．观察四个选项可知，只有选项 Ｄ中的５２０能被４整除，且 ５２０÷４＝１３０，１３０－１＝１２９，是奇数，符合要求，故选Ｄ． １０．Ｂ　【解析】如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＡＣ，交ＣＢ的延长线于点Ｅ． ∵∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°，∴∠Ｄ＋∠ＡＢＣ＝１８０°＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ， ∴∠Ｄ＝∠ＡＢＥ． 又∵∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＢ． 又∵ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＣＤ≌△ＡＥＢ，∴ＡＣ＝ＡＥ， 即△ＡＣＥ是等腰直角三角形，∴四边形ＡＢＣＤ的面积与△ＡＣＥ的面积相等． ∵Ｓ△ＡＣＥ＝５×５× １ ２ ＝１２．５，∴四边形ＡＢＣＤ的面积为１２．５．故选Ｂ． １１．４．５　１２．６３°或２７° １３．１５０°　【解析】连接ＢＤ， ∵ＡＢ＝ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，∴△ＡＢＤ是等边三角形， ∴ＢＤ＝６，∠ＡＤＢ＝６０°． ∵ＢＣ＝１０，ＣＤ＝８， ∴ＢＤ２＋ＣＤ２＝６２＋８２＝１００，ＢＣ２＝１０２＝１００， ∴ＢＤ２＋ＣＤ２＝ＢＣ２．∴∠ＢＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＋∠ＢＤＣ＝６０°＋９０°＝１５０°． １４．＜　【解析】∵Ａ＝１２３４５６７×１２３４５６９＝（１２３４５６８－１）×（１２３４５６８＋１）＝１２３４５６８２－１，Ｂ＝１２３４５６８２， ∴Ａ＜Ｂ． １５．２或５　【解析】在 Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝ ８，∴ＡＢ＝１０． 以ＡＤ为折痕△ＡＢＤ经折叠得到△ＡＢ′Ｄ，∴ＢＤ＝ＤＢ′，ＡＢ′＝ ＡＢ＝１０． 如图１所示，当∠Ｂ′ＤＥ＝９０°时，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｆ⊥ＡＦ，垂足为 点Ｆ．设ＢＤ＝ＤＢ′＝ｘ，则ＡＦ＝６＋ｘ，ＦＢ′＝８－ｘ．在Ｒｔ△ＡＦＢ′中，由勾股定理得ＡＢ′２＝ＡＦ２＋ＦＢ′２，即（６＋ ｘ）２＋（８－ｘ）２＝１０２，解得ｘ＝２或０（舍去），∴ＢＤ＝２；如图２所示，当∠Ｂ′ＥＤ＝９０°时，点Ｃ与点Ｅ重 合．∵ＡＢ′＝１０，ＡＣ＝６，∴Ｂ′Ｅ＝４．设ＢＤ＝ＤＢ′＝ｘ，则ＣＤ＝８－ｘ．在Ｒｔ△Ｂ′ＤＥ中，Ｂ′Ｄ２＝ＤＥ２＋Ｂ′Ｅ２，即 ｘ２＝（８－ｘ）２＋４２，解得ｘ＝５，∴ＢＤ＝５．综上所述，ＢＤ的长是２或５．故答案为２或５． １６．解：（１）原式＝－１－３＋２－槡３＋１＝－１－槡３． （２）原式＝－５＋３－８× １ ４ ＝－４． １７．解：由 ａ－ｂ－３＋（ｂ＋１）２＋ｃ－１＝０，得ａ－ｂ－３＝０，ｂ＋１＝０，ｃ－１＝０，∴ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝１． ∵（－３ａｂ）·（ａ２ｃ－６ｂ２ｃ）＝－３ａ３ｂｃ＋１８ａｂ３ｃ，∴原式＝－３×２３×（－１）×１＋１８×２×（－１）３×１＝２４－３６＝－１２． １８．解：∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＡＤ＝ １ ２∠ ＢＡＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，∴∠ＣＡＤ＝３０°．∵ＡＤ＝ＡＣ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ， ∵在△ＡＣＤ中，∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＤ＝７５°， ∵在△ＡＣＥ中，∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＥ＋∠Ｅ＝１８０°， ∴∠Ｅ＝４５°． １９．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠ＤＣＦ＝９０°． 又∵点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝ＣＦ． 在△ＣＥＢ和△ＤＦＣ中， ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠ＤＣＦ， ＢＥ＝ＣＦ， { ∴△ＣＥＢ≌△ＤＦＣ，∴ＣＥ＝ＤＦ． ２０．解：（１）参加“钓鱼”活动的人数为６００×３０％＝１８０（名）． 参加“射击”活动的人数为６００×１２％＝７２（名）． 答：参加“钓鱼”活动的同学有１８０名，参加“射击”活动的同学有７２名． （２）参加“投圈”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的百分比为 １５０ ６００ ×１００％＝２５％，参加 “扔沙包”活动的同学人数为６００－１８０－７２－６０－１５０＝１３８（名）， 参加“扔沙包”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的百分比为 １３８ ６００ ×１００％＝２３％． 答：参加“投圈”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的２５％，参加“扔沙包”活动的同学 人数占参加“竞技园”活动总人数的２３％． （３）３６０°× ６０ ６００ ＝３６°． 答：表示“猜谜语”活动的扇形的圆心角为３６°． ２１．解：（１）２． （２）①－３．　②２－槡３．　③－３．５；５．５． （３）分两种情况：①当Ｃ向左移动４个单位时，（ａ－４）＋ａ＝０，解得ａ＝２；②当Ｃ向右移动４个单位 时，（ａ＋４）＋ａ＝０，解得ａ＝－２．综上，ａ的值为２或－２． ２２．解：（１）若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝（１８０－∠Ａ）÷２＝５０°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为顶角，则∠Ｂ＝１８０°－２× ８０°＝２０°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为底角，则∠Ｂ＝８０°．故∠Ｂ＝５０°或２０°或８０°． （２）由题可知，分两种情况：①当９０≤ｘ＜１８０时，∠Ａ只能为顶角，∠Ｂ的度数只有一个；②当０＜ｘ＜ ９０时，若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝（ １８０－ｘ ２ ）°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为顶角，则∠Ｂ＝（１８０－２ｘ）°；若∠Ａ为 底角，∠Ｂ为底角，则∠Ｂ＝ｘ°．当 １８０－ｘ ２ ≠ １８０－２ｘ且１８０－２ｘ≠ｘ且 １８０－ｘ ２ ≠ ｘ，即ｘ≠６０时，∠Ｂ有三 个不同的度数．综上所述，当０＜ｘ＜９０且ｘ≠６０时，∠Ｂ有三个不同的度数． ２３．（１）证明：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ， ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＡＢ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＡＤ＋ＢＣ＝ＢＥ． （２）解：ＢＣ－ＡＤ＝ＢＥ． 证明如下：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ． ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＢＣ－ＡＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＢＣ－ＡＤ＝ＢＥ． （３）解：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ． ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＤ－ＢＣ＝ＡＤ－ＡＢ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＡＤ－ＢＣ＝ＢＥ． 仿真模拟冲刺卷（一） １．Ｄ　２．Ａ　３．Ｂ　４．Ｄ　５．Ｂ　６．Ｂ　７．Ｄ　８．Ｃ ９．Ｃ　【解析】由勾股定理可知，大正方形的面积等于两个较小的正方形的面积之和，故阴影部分的 面积等于较小的两个正方形重叠部分的面积．故选Ｃ． １０．Ｄ　【解析】①作ＰＤ⊥ＡＣ于点Ｄ． ∵ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＡＰ平分∠ＥＡＣ，ＰＭ⊥ＢＥ，ＰＮ⊥ＢＦ，ＰＤ⊥ＡＣ， ∴ＰＭ＝ＰＮ．ＰＭ＝ＰＤ，∴ＰＮ＝ＰＤ， ∴点Ｐ在∠ＡＣＦ的平分线上，故①正确； ②∵ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＮ⊥ＢＣ，∴∠ＡＢＣ＋９０°＋∠ＭＰＮ＋９０°＝３６０°． ∴∠ＡＢＣ＋∠ＭＰＮ＝１８０°． 在Ｒｔ△ＰＡＭ和Ｒｔ△ＰＡＤ中， ＰＡ＝ＰＡ， ＰＭ＝ＰＤ，{ ∴Ｒｔ△ＰＡＭ≌Ｒｔ△ＰＡＤ（Ｈ．Ｌ．）， ∴∠ＡＰＭ＝∠ＡＰＤ，同理，Ｒｔ△ＰＣＤ≌Ｒｔ△ＰＣＮ（Ｈ．Ｌ．），∴∠ＣＰＤ＝∠ＣＰＮ，∴∠ＭＰＮ＝２∠ＡＰＣ， ∴∠ＡＢＣ＋２∠ＡＰＣ＝１８０°，故②正确； ③∵ＡＰ平分∠ＣＡＥ，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＰＡＭ，∠ＰＡＭ＝ １ ２∠ ＡＢＣ＋ ∠ＡＰＢ，∴∠ＡＣＢ＝２∠ＡＰＢ，故③正确；④由②可知Ｒｔ△ＰＡＭ≌Ｒｔ△ＰＡＤ，Ｒｔ△ＰＣＤ≌Ｒｔ△ＰＣＮ， ∴Ｓ△ＡＰＤ＝Ｓ△ＡＰＭ，Ｓ△ＣＰＮ＝Ｓ△ＣＰＤ，∴Ｓ△ＡＰＭ＋Ｓ△ＣＰＮ＝Ｓ△ＡＰＣ，故④正确． 综上，正确的结论有４个．故选Ｄ． １１．±槡５　１２．＜　１３．１００ １４．４．８　【解析】如图，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＰ．在△ＡＢＣ中，∵ ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，∴ＢＦ＝４．在 Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾股定理，得 ＡＦ＝ ＡＢ２－ＢＦ槡 ２＝３．∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＡＰＣ，∴ １ ２ ×８×３＝ １ ２ ×５ＰＤ＋ １ ２ ×５ＰＥ， 即１２＝ １ ２ ×５（ＰＤ＋ＰＥ），即ＰＤ＋ＰＥ＝４．８． １５．２槡１０－２　【解析】如题图，连接ＤＥ． ∵ＡＢ＝４，Ｅ是ＡＢ边的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ＝ １ ２ ＡＢ＝２．由折叠可得Ｂ′Ｅ＝ＢＥ＝２．在Ｒｔ△ＡＤＥ中， ∵ＡＤ＝６，ＡＥ＝２，∠Ａ＝９０°，∴ＤＥ＝ ＡＥ２＋ＡＤ槡 ２＝ ２２＋６槡 ２＝２槡１０．当点Ｂ′不在线段ＤＥ上时，Ｂ′Ｄ＞ ＤＥ－Ｂ′Ｅ，当点Ｂ′在线段ＤＥ上时，Ｂ′Ｄ＝ＤＥ－Ｂ′Ｅ，∴Ｂ′Ｄ≥ＤＥ－Ｂ′Ｅ，即Ｂ′Ｄ≥２槡１０－２，∴Ｂ′Ｄ的最 小值为２槡１０－２． １６．解：（１）原式＝－４－１＝－５． （２）原式＝－１＋２－３＋２－槡３＝－槡３． １７．解：原式＝ａ２－４ｂ２－ａ２＋４ａｂ－４ｂ２＋８ｂ２＝４ａｂ，当ａ＝－２，ｂ＝ １ ２ 时，原式＝－４． １８．证明：∵∠１＝∠２，∴∠ＤＡＣ＋∠１＝∠２＋∠ＤＡＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， { ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＣ＝ＤＥ． １９．证明：（１）∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＢＣ＝ＣＦ＋ＣＢ，∴ＣＥ＝ＢＦ．                                                                                                                                                                                                                  