原创评估提优卷(3)-【培优期末状元卷】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

７９ ８０ ８１ ８２ ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４５°，∴∠ＡＣＦ＝４５°， ∴∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ＝９０°．即ＣＦ⊥ＢＤ． （２）当∠ＡＣＢ＝４５°时，ＣＦ⊥ＢＣ． 理由如下：如图过点Ａ作ＡＧ⊥ＡＣ交ＣＢ的延长线于点Ｇ，则∠ＧＡＣ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝４５°，∠ＡＧＣ＝９０°－∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＧＣ＝９０°－４５°＝４５°，∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＧＣ＝４５°，∴△ＡＧＣ是等腰直角三角形，∴ＡＣ＝ＡＧ． 又∵∠ＤＡＧ＝∠ＦＡＣ（同角的余角相等）， ＡＤ＝ＡＦ，∴△ＧＡＤ≌△ＣＡＦ， ∴∠ＡＣＦ＝∠ＡＧＣ＝４５°， ∴∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ＝４５°＋４５°＝９０°，即ＣＦ⊥ＢＣ， ∴当∠ＡＣＢ＝４５°时，ＣＦ⊥ＢＣ． 原创评估提优卷（二） １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ａ　８．Ｂ ９．Ｄ　【解析】在△ＰＣＱ与△ＰＤＱ中， ＰＣ＝ＰＤ， ＣＱ＝ＤＱ， ＰＱ＝ＰＱ， { ∴△ＰＣＱ≌△ＰＤＱ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．），故①正确； ∵△ＰＣＱ≌△ＰＤＱ，∴∠ＣＰＱ＝∠ＤＰＱ． 在△ＣＰＥ和△ＤＰＥ中， ＰＣ＝ＰＤ， ∠ＣＰＥ＝∠ＤＰＥ， ＰＥ＝ＰＥ， { ∴△ＣＰＥ≌△ＤＰＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＣＥ＝ＤＥ，∠ＰＥＣ＝∠ＰＥＤ． ∵∠ＰＥＣ＋∠ＰＥＤ＝１８０°，∴∠ＰＥＣ＝∠ＰＥＤ＝９０°，∴ＰＱ⊥ＣＤ．故②③正确； ∵ＰＱ⊥ＣＤ，∴Ｓ四边形ＰＣＱＤ＝Ｓ△ＰＣＱ＋Ｓ△ＰＤＱ＝ １ ２ ＰＱ·ＣＥ＋ １ ２ ＰＱ·ＤＥ＝ １ ２ ＰＱ（ＣＥ＋ＤＥ）＝ １ ２ ＰＱ·ＣＤ，故 ④正确．故选Ｄ． １０．Ｃ　【解析】由原图到图③，相当于向右平移了１２个单位长度，像这样平移三次．三次直角顶点是（３６， ０），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（３６，０），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（３６，０）．故选Ｃ． １１．６　１２．１　１３．２ｃｍ １４．北偏东５０°　【解析】由题意可知，∵ＡＰ＝１２，ＢＰ＝１６，ＡＢ＝２０， ∴１２２＋１６２＝２０２，∴△ＡＰＢ是直角三角形，∴∠ＡＰＢ＝９０°． ∵由题意知∠ＡＰＮ＝４０°，∴∠ＢＰＮ＝９０°－∠ＡＰＮ＝９０°－４０°＝５０°，即乙船沿北偏东５０°方向航行．故 答案为北偏东５０°． １５．２槡３　【解析】如图，过点Ｍ作ＭＮ′⊥ＯＢ于点Ｎ′，交ＯＣ于点Ｐ，则ＭＮ′的 长度等于ＰＭ＋ＰＮ的最小值，即ＭＮ′的长度等于点Ｐ到点Ｍ与到边ＯＡ的 距离之和的最小值． ∵∠ＯＮ′Ｍ＝９０°，∠ＭＯＮ′＝６０°，ＯＭ＝４，∴ＯＮ′＝２， ∴ＭＮ′＝ ＯＭ２－ＯＮ槡 ２＝２槡３，∴点Ｐ到点Ｍ与到边ＯＡ的距离之和的最小值为２槡３．故答案为为２槡３． １６．解：（１）原式＝－２－ ９ ２５槡＋槡５－２＋４＝－２－ ３ ５ ＋槡５－２＋４＝槡５－ ３ ５ ． （２）原式＝－２＋ ３ ２ －（－ １ ２ ）－（槡３－１）＝－２＋ ３ ２ ＋１ ２ －槡３＋１＝１－槡３． １７．解：原式＝ｘ２－２ｘ＋１＋３ｘ２＋２ｘ＝４ｘ２＋１． 当ｘ＝ １ ２ 时，原式＝４×（ １ ２ ）２＋１＝１＋１＝２． １８．解：连接ＡＣ．∵∠ＡＤＣ＝９０°，∴根据勾股定理可得ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝５（ｍ）．又∵ＡＢ＝１３ｍ，ＢＣ＝１２ ｍ，∴可得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２，∴∠ＡＣＢ＝９０°．因此这块地的面积＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ×１２×５－ １ ２ ×３×４＝ ２４（ｍ２）． １９．解：（１）（ｘ＋３）２；（４ｘ＋１）２；（３ｘ－２）２． （２）ｂ２＝４ａｃ． （３）∵多项式ｘ２－２（ｍ－３）ｘ＋（１０－６ｍ）是一个完全平方式， ∴［－２（ｍ－３）］２＝４×１×（１０－６ｍ），整理得ｍ２－１＝０，∴ｍ＝±１． ２０．解：（１）４８÷４８％＝１００（户）． 答：该课题小组一共调查了１００户家庭． （２）扔掉牛奶盒的家庭有１００×４４％＝４４（户）， ３６０×４４÷６＝２６４０（个）． 答：可以制成２６４０个卷纸． ２１．（１）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°， ∴∠Ｅ＋∠ＥＤＢ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＢ＝６０°． ∵∠ＥＤＢ＝∠ＡＣＤ，∴∠Ｅ＝∠ＤＣＥ，∴ＤＥ＝ＤＣ，∴△ＤＥＣ是等腰三角形． （２）解：设∠ＥＤＢ＝α，则∠ＢＤＣ＝５α， ∴∠Ｅ＝∠ＤＣＥ＝６０°－α，∴６α＋６０°－α＋６０°－α＝１８０°，∴α＝１５°， ∴∠Ｅ＝∠ＤＣＥ＝４５°． ∴∠ＥＤＣ＝９０°．如图，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＣＥ于点Ｈ．∵△ＤＥＣ是等腰直角三角 形，∴∠ＥＤＨ＝∠ＣＤＨ＝∠Ｅ＝４５°， ∴ＥＨ＝ＨＣ＝ＤＨ＝ １ ２ ＥＣ＝ １ ２ ×８＝４， ∴△ＥＤＣ的面积为 １ ２ ·ＥＣ·ＤＨ＝ １ ２ ×８×４＝１６． ２２．解：（１）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４（ｃｍ）． （２）由题意得 ＢＰ＝ｔｃｍ．①当∠ＡＰＢ为直角时，如图１， 点Ｐ与点Ｃ重合，ＢＰ＝ＢＣ＝４ｃｍ．∴ｔ＝４；②当∠ＢＡＰ为 直角时，如图２，ＢＰ＝ｔｃｍ，ＣＰ＝（ｔ－４）ｃｍ，ＡＣ＝３ｃｍ．在 Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＡＰ２＝ＡＣ２＋ＣＰ２＝３２＋（ｔ－４）２， 在Ｒｔ△ＢＡＰ中，ＡＢ２＋ＡＰ２＝ＢＰ２，即５２＋３２＋（ｔ－４）２＝ｔ２，解得ｔ＝ ２５ ４ ． 综上，当△ＡＢＰ为直角三角形时，ｔ＝４或 ２５ ４ ． ２３．（１）解：ＢＦ＝ＡＣ． （２）证明：如图１，过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，过 点Ｃ作ＣＴ∥ＡＢ交ＡＤ的延长线于点Ｔ， ∵ＡＢ∥ＣＴ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＴ． 在△ＡＢＥ和△ＣＡＴ中， ∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＴ， ＡＢ＝ＣＡ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＡＴ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＣＡＴ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＡＥ＝ＣＴ，∠ＡＥＢ＝∠ＡＴＣ． ∵∠ＤＥＣ＝∠ＡＥＢ，∴∠ＤＥＣ＝∠ＡＴＣ． ∵ＡＨ⊥ＢＣ，ＣＤ⊥ＣＢ，∴ＡＨ∥ＣＤ，∴∠ＣＡＨ＝∠ＡＣＤ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＨ⊥ＢＣ，∴∠ＢＡＣ＝２∠ＣＡＨ， ∴∠ＡＣＴ＝２∠ＡＣＤ，∴∠ＤＣＥ＝∠ＤＣＴ． 在△ＣＤＥ和△ＣＤＴ中， ∠ＤＣＥ＝∠ＤＣＴ， ∠ＣＥＤ＝∠ＣＴＤ， ＣＤ＝ＣＤ， { ∴△ＣＤＥ≌△ＣＤＴ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＣＥ＝ＣＴ．∴ＡＥ＝ＥＣ． （３）证明：如图２，过点Ｍ作ＭＴ∥ＡＢ交ＢＮ的延长线于点Ｔ，作ＭＧ∥ＡＤ交ＢＴ于点Ｇ，在ＭＴ上取 一点Ｋ，使得ＭＫ＝ＣＤ，连接ＧＫ． ∵ＡＢ∥ＭＴ，∴∠ＡＢＮ＝∠Ｔ． ∵点Ｎ为ＡＭ的中点，∴ＡＮ＝ＭＮ． 在△ＡＮＢ和△ＭＮＴ中， ∠ＡＢＮ＝∠Ｔ， ∠ＡＮＢ＝∠ＭＮＴ， ＡＮ＝ＭＮ， { ∴△ＡＮＢ≌△ＭＮＴ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＢＮ＝ＮＴ，ＡＢ＝ＭＴ． ∵ＡＤ∥ＭＧ，∴∠ＡＤＮ＝∠ＭＧＮ， ∴同理可得△ＡＮＤ≌△ＭＮＧ， ∴ＡＤ＝ＭＧ，ＤＮ＝ＮＧ，∴ＢＤ＝ＧＴ． ∵∠ＢＡＮ＝∠ＡＭＴ，∠ＤＡＮ＝∠ＧＭＮ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＧＭＴ． ∵∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，∴∠ＢＣＤ＝∠ＧＭＫ． ∵ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＧＭ，∴ＣＢ＝ＭＧ． 又∵ＣＤ＝ＭＫ，∴△ＢＣＤ≌△ＧＭＫ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＧＫ＝ＢＤ． ∴∠ＢＤＣ＝∠ＭＫＧ，ＧＫ＝ＧＴ，∠ＭＤＴ＝∠ＧＫＴ， ∴∠ＧＫＴ＝∠Ｔ，∴∠ＭＤＴ＝∠Ｔ，∴ＤＭ＝ＭＴ． ∵ＡＢ＝ＭＴ，∴ＤＭ＝ＡＢ． 原创评估提优卷（三） １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ｃ　８．Ｂ ９．Ｃ　【解析】当槡ｘ＝ １ １６ 时，ｘ＝ １ ２５６ ，ｘ＜槡ｘ，不合题意．当ｘ ２＝１ １６ 时，ｘ＝± １ ４ ．当ｘ＝－ １ ４ 时，不合题意；当 ｘ ＝１ ４ 时，槡ｘ＝ １ ２ ，ｘ２＜ｘ＜槡ｘ，符合题意．当ｘ＝ １ １６ 时，ｘ２＝ １ ２５６ ，ｘ２＜ｘ，不合题意．故选Ｃ． １０．Ｄ　【解析】设△ＰＡＢ中ＡＢ边上的高是ｈ． ∵Ｓ△ＰＡＢ＝ １ ３ Ｓ长方形ＡＢＣＤ，∴ １ ２ ＡＢ·ｈ＝ １ ３ ＡＢ·ＡＤ，∴ｈ＝ ２ ３ ＡＤ＝２． ∴动点Ｐ在与ＡＢ平行且与ＡＢ的距离是２的直线 ｌ上，如图，作点 Ａ关于直 线ｌ的对称点Ｅ，连接ＡＥ，ＢＥ，则ＢＥ的长就是所求的最短距离． 在Ｒｔ△ＡＢＥ中．∵ＡＢ＝５，ＡＥ＝２＋２＝４， ∴ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２＝ ５２＋４槡 ２＝槡４１，即ＰＡ＋ＰＢ的最小值为槡４１．故选Ｄ． １１．－４　１２．２　１３．１２０ １４．１２≤ａ≤１３　【解析】如图，设点 Ｏ是下底面的中心，点 Ａ是下底面的边缘上的一 点，点Ｂ是上底面的中心，当吸管底部在Ｏ点时，吸管在罐内部分 ａ的长度最短， 此时ａ的长等于饮料罐的高，即ａ＝１２．当吸管底部在Ａ点时，吸管在罐内部分ａ的 长度最长，此时ａ的长等于线段ＡＢ的长．在Ｒｔ△ＡＢＯ中，ＡＢ２＝ＡＯ２＋ＢＯ２＝５２＋１２２＝ １３２，所以ＡＢ＝１３，此时ａ＝１３．综上，ａ的长度的取值范围是１２≤ａ≤１３．故答案为１２ ≤ａ≤１３． １５．３６°　【解析】∵∠ＡＢＭ＝４５°，ＡＭ⊥ＢＭ， ∴∠ＢＭＤ＝∠ＡＭＣ＝９０°，∠ＢＡＭ＝∠ＡＢＭ＝４５°，∴ＢＭ＝ＡＭ． 在△ＢＭＤ和△ＡＭＣ中， ＤＭ＝ＣＭ， ∠ＢＭＤ＝∠ＡＭＣ， ＢＭ＝ＡＭ， { ∴△ＢＭＤ≌△ＡＭＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＢＤ＝ＡＣ． 延长ＥＦ到点Ｇ，使ＦＧ＝ＥＦ，连接ＢＧ，如图． ∵点Ｆ是ＢＣ的中点，∴ＢＦ＝ＣＦ． 在△ＢＦＧ和△ＣＦＥ中， ＢＦ＝ＣＦ， ∠ＢＦＧ＝∠ＣＦＥ， ＦＧ＝ＦＥ， { ∴△ＢＦＧ≌△ＣＦＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）， ∴ＢＧ＝ＣＥ．∠Ｇ＝∠Ｅ．∵ＣＥ＝ＣＡ．∴ＢＤ＝ＢＧ，∴∠ＢＤＦ＝∠Ｇ＝∠Ｅ． ∵∠ＢＤＦ＝３６°，∴∠Ｅ＝３６°．故答案为３６°． １６．解：（１）原式＝４＋槡３－１－５＋１＝槡３－１． （２）原式＝１－２＋ １ ３ ＝－２ ３ ． １７．解：（１）原式＝ｂ（ａ２－１６）＝ｂ（ａ＋４）（ａ－４）． （２）原式＝５ｘ（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２）＝５ｘ（ｘ－２ｙ）２． １８．解：（１）根据题意得（２ａ－ｂ）（２ａ＋４ｂ）－４（ａ－ｂ）２＝４ａ２＋８ａｂ－２ａｂ－４ｂ２－４（ａ２－２ａｂ＋ｂ２）＝４ａ２＋６ａｂ－４ｂ２ －４ａ２＋８ａｂ－４ｂ２＝１４ａｂ－８ｂ２． 答：绿化的总面积是（１４ａｂ－８ｂ２）ｍ２． （２）（１４ａｂ－８ｂ２）÷８ｂ×２００＝（ ７ ４ ａ－ｂ）×２００＝（３５０ａ－２００ｂ）元． 答：物业应该支付绿化队（３５０ａ－２００ｂ）元费用． １９．证明：（１）∵ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ． 在△ＡＢＥ和△ＣＢＥ中， ＡＢ＝ＣＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）∵△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＢ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＤ．∵ＤＦ⊥ＡＥ，ＤＧ⊥ＣＥ，∴ＤＦ＝ＤＧ． ２０．解：（１）如图所示，延长ＡＣ到点Ｍ，使ＣＭ＝ＡＣ，连接ＢＭ交ＣＤ于点Ｏ，点Ｏ就是 所选择的位置． （２）如图，连接ＯＡ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＤ，交ＢＤ的延长线于点Ｎ． 在Ｒｔ△ＢＭＮ中，ＢＮ＝ＢＤ＋ＤＮ＝４（ｋｍ），ＭＮ＝ＣＤ＝３ｋｍ， ∵ＭＢ＝ ＭＮ２＋ＢＮ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５（ｋｍ）， ∴最短路线ＡＯ＋ＢＯ＝ＭＢ＝５ｋｍ， ∴铺设水管的总费用Ｗ＝５×２００００＝１０００００（元）． 答：最省的铺设水管的总费用是１０００００元． ２１．解：（１）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴安全帽的人数最多， ５１０ １０００ ×１００％＝５１％． 答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴安全帽的人数最多，占抽取人数的５１％． （２）３０× １７７ １０００ ＝５．３１（万人），                                                                                                                                                                                                                   ８３ ８４ ８５ ８６ 答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为５．３１万人． （３）小明分析数据的方法不合理． 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 １７８ ８９６＋７０２＋２２４＋１７８ ×１００％＝８．９％． 宣传活动前骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 １７７ １０００ ×１００％＝１７．７％． ８．９％＜１７．７％． 因此交警部门开展的宣传活动有效果． ２２．解：分下列三种情况． ①如图１当点Ｅ在线段ＡＣ上时， ∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ）． ∵ＤＥ垂直平分ＡＢ， ∴ＥＡ＝ＥＢ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＣ． ∵∠ＥＢＣ＋∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ，∴４２°＋∠ＢＡＣ＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ），解得∠ＢＡＣ＝３２°； ②如图２，当点Ｅ在线段ＣＡ的延长线上时， 可得４２°－（１８０°－∠ＢＡＣ）＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ），解得∠ＢＡＣ＝１５２°； ③如图３，当点Ｅ在线段ＡＣ的延长线上时， 可得∠ＢＡＣ－４２°＝ １ ２ （１８０°－∠ＢＡＣ）， 解得∠ＢＡＣ＝８８°． 综上所述，∠ＢＡＣ＝３２°或１５２°或８８°． ２３．解：问题情境：ＰＥ＝ＰＦ．证明：如图１，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＯＡ于点Ｎ． ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＰＯＮ＝∠ＰＯＭ． 在△ＰＮＯ和△ＰＭＯ中， ∠ＰＮＯ＝∠ＰＭＯ， ∠ＰＯＮ＝∠ＰＯＭ， ＰＯ＝ＰＯ， { ∴△ＰＮＯ≌△ＰＭＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＰＮ＝ＰＭ． ∵∠ＰＭＯ＝∠ＰＮＯ＝∠ＭＯＮ＝９０°，∴∠ＭＰＮ＝３６０°－３×９０°＝９０°． ∵∠ＭＰＮ＝∠ＥＰＦ＝９０°，∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ． 在△ＰＭＦ和△ＰＮＥ中， ∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ， ＰＭ＝ＰＮ， ∠ＰＭＦ＝∠ＰＮＥ＝９０°， { ∴△ＰＭＦ≌△ＰＮＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＰＦ＝ＰＥ． 变式拓展：ＰＥ＝ＰＦ． 理由如下：如图２，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＯＡ于点Ｎ． ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ． 在△ＰＯＭ和△ＰＯＮ中， ∠ＰＭＯ＝∠ＰＮＯ， ∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮ， ＰＯ＝ＰＯ， { ∴△ＰＯＭ≌△ＰＯＮ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＰＭ＝ＰＮ． ∵∠ＭＯＮ＝１２０°，∴∠ＭＰＮ＝３６０°－２×９０°－１２０°＝６０°． ∵∠ＭＰＮ＝∠ＥＰＦ＝６０°，∵∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ． 在△ＰＭＦ和△ＰＮＥ中， ∠ＭＰＦ＝∠ＮＰＥ， ＰＭ＝ＰＮ， ∠ＰＭＦ＝∠ＰＮＥ＝９０°， { ∴△ＰＭＦ≌△ＰＮＥ（Ａ．Ｓ．Ａ），∴ＰＦ＝ＰＥ． 原创评估提优卷（四） １．Ｃ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ａ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｄ　８．Ｃ ９．Ｄ　【解析】设两个连续奇数中的一个奇数为 ｘ，另一个奇数为 ｘ＋２，则由这两个奇数得到的“幸福 数”为（ｘ＋２）２－ｘ２＝２（２ｘ＋２）＝４（ｘ＋１）．观察四个选项可知，只有选项 Ｄ中的５２０能被４整除，且 ５２０÷４＝１３０，１３０－１＝１２９，是奇数，符合要求，故选Ｄ． １０．Ｂ　【解析】如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＡＣ，交ＣＢ的延长线于点Ｅ． ∵∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°，∴∠Ｄ＋∠ＡＢＣ＝１８０°＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ， ∴∠Ｄ＝∠ＡＢＥ． 又∵∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＢ． 又∵ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＣＤ≌△ＡＥＢ，∴ＡＣ＝ＡＥ， 即△ＡＣＥ是等腰直角三角形，∴四边形ＡＢＣＤ的面积与△ＡＣＥ的面积相等． ∵Ｓ△ＡＣＥ＝５×５× １ ２ ＝１２．５，∴四边形ＡＢＣＤ的面积为１２．５．故选Ｂ． １１．４．５　１２．６３°或２７° １３．１５０°　【解析】连接ＢＤ， ∵ＡＢ＝ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，∴△ＡＢＤ是等边三角形， ∴ＢＤ＝６，∠ＡＤＢ＝６０°． ∵ＢＣ＝１０，ＣＤ＝８， ∴ＢＤ２＋ＣＤ２＝６２＋８２＝１００，ＢＣ２＝１０２＝１００， ∴ＢＤ２＋ＣＤ２＝ＢＣ２．∴∠ＢＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＋∠ＢＤＣ＝６０°＋９０°＝１５０°． １４．＜　【解析】∵Ａ＝１２３４５６７×１２３４５６９＝（１２３４５６８－１）×（１２３４５６８＋１）＝１２３４５６８２－１，Ｂ＝１２３４５６８２， ∴Ａ＜Ｂ． １５．２或５　【解析】在 Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝ ８，∴ＡＢ＝１０． 以ＡＤ为折痕△ＡＢＤ经折叠得到△ＡＢ′Ｄ，∴ＢＤ＝ＤＢ′，ＡＢ′＝ ＡＢ＝１０． 如图１所示，当∠Ｂ′ＤＥ＝９０°时，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｆ⊥ＡＦ，垂足为 点Ｆ．设ＢＤ＝ＤＢ′＝ｘ，则ＡＦ＝６＋ｘ，ＦＢ′＝８－ｘ．在Ｒｔ△ＡＦＢ′中，由勾股定理得ＡＢ′２＝ＡＦ２＋ＦＢ′２，即（６＋ ｘ）２＋（８－ｘ）２＝１０２，解得ｘ＝２或０（舍去），∴ＢＤ＝２；如图２所示，当∠Ｂ′ＥＤ＝９０°时，点Ｃ与点Ｅ重 合．∵ＡＢ′＝１０，ＡＣ＝６，∴Ｂ′Ｅ＝４．设ＢＤ＝ＤＢ′＝ｘ，则ＣＤ＝８－ｘ．在Ｒｔ△Ｂ′ＤＥ中，Ｂ′Ｄ２＝ＤＥ２＋Ｂ′Ｅ２，即 ｘ２＝（８－ｘ）２＋４２，解得ｘ＝５，∴ＢＤ＝５．综上所述，ＢＤ的长是２或５．故答案为２或５． １６．解：（１）原式＝－１－３＋２－槡３＋１＝－１－槡３． （２）原式＝－５＋３－８× １ ４ ＝－４． １７．解：由 ａ－ｂ－３＋（ｂ＋１）２＋ｃ－１＝０，得ａ－ｂ－３＝０，ｂ＋１＝０，ｃ－１＝０，∴ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝１． ∵（－３ａｂ）·（ａ２ｃ－６ｂ２ｃ）＝－３ａ３ｂｃ＋１８ａｂ３ｃ，∴原式＝－３×２３×（－１）×１＋１８×２×（－１）３×１＝２４－３６＝－１２． １８．解：∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＡＤ＝ １ ２∠ ＢＡＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，∴∠ＣＡＤ＝３０°．∵ＡＤ＝ＡＣ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ， ∵在△ＡＣＤ中，∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＤ＝７５°， ∵在△ＡＣＥ中，∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＥ＋∠Ｅ＝１８０°， ∴∠Ｅ＝４５°． １９．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠ＤＣＦ＝９０°． 又∵点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝ＣＦ． 在△ＣＥＢ和△ＤＦＣ中， ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠ＤＣＦ， ＢＥ＝ＣＦ， { ∴△ＣＥＢ≌△ＤＦＣ，∴ＣＥ＝ＤＦ． ２０．解：（１）参加“钓鱼”活动的人数为６００×３０％＝１８０（名）． 参加“射击”活动的人数为６００×１２％＝７２（名）． 答：参加“钓鱼”活动的同学有１８０名，参加“射击”活动的同学有７２名． （２）参加“投圈”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的百分比为 １５０ ６００ ×１００％＝２５％，参加 “扔沙包”活动的同学人数为６００－１８０－７２－６０－１５０＝１３８（名）， 参加“扔沙包”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的百分比为 １３８ ６００ ×１００％＝２３％． 答：参加“投圈”活动的同学人数占参加“竞技园”活动总人数的２５％，参加“扔沙包”活动的同学 人数占参加“竞技园”活动总人数的２３％． （３）３６０°× ６０ ６００ ＝３６°． 答：表示“猜谜语”活动的扇形的圆心角为３６°． ２１．解：（１）２． （２）①－３．　②２－槡３．　③－３．５；５．５． （３）分两种情况：①当Ｃ向左移动４个单位时，（ａ－４）＋ａ＝０，解得ａ＝２；②当Ｃ向右移动４个单位 时，（ａ＋４）＋ａ＝０，解得ａ＝－２．综上，ａ的值为２或－２． ２２．解：（１）若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝（１８０－∠Ａ）÷２＝５０°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为顶角，则∠Ｂ＝１８０°－２× ８０°＝２０°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为底角，则∠Ｂ＝８０°．故∠Ｂ＝５０°或２０°或８０°． （２）由题可知，分两种情况：①当９０≤ｘ＜１８０时，∠Ａ只能为顶角，∠Ｂ的度数只有一个；②当０＜ｘ＜ ９０时，若∠Ａ为顶角，则∠Ｂ＝（ １８０－ｘ ２ ）°；若∠Ａ为底角，∠Ｂ为顶角，则∠Ｂ＝（１８０－２ｘ）°；若∠Ａ为 底角，∠Ｂ为底角，则∠Ｂ＝ｘ°．当 １８０－ｘ ２ ≠ １８０－２ｘ且１８０－２ｘ≠ｘ且 １８０－ｘ ２ ≠ ｘ，即ｘ≠６０时，∠Ｂ有三 个不同的度数．综上所述，当０＜ｘ＜９０且ｘ≠６０时，∠Ｂ有三个不同的度数． ２３．（１）证明：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ， ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＡＢ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＡＤ＋ＢＣ＝ＢＥ． （２）解：ＢＣ－ＡＤ＝ＢＥ． 证明如下：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ． ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＢＣ－ＡＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＢＣ－ＡＤ＝ＢＥ． （３）解：∵∠ＥＡＢ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＦ＝１８０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＣＤ． ∵∠Ｅ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＥＡＢ≌△ＤＣＢ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＥ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＤ－ＢＣ＝ＡＤ－ＡＢ＝ＢＤ＝ＢＥ，即ＡＤ－ＢＣ＝ＢＥ． 仿真模拟冲刺卷（一） １．Ｄ　２．Ａ　３．Ｂ　４．Ｄ　５．Ｂ　６．Ｂ　７．Ｄ　８．Ｃ ９．Ｃ　【解析】由勾股定理可知，大正方形的面积等于两个较小的正方形的面积之和，故阴影部分的 面积等于较小的两个正方形重叠部分的面积．故选Ｃ． １０．Ｄ　【解析】①作ＰＤ⊥ＡＣ于点Ｄ． ∵ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＡＰ平分∠ＥＡＣ，ＰＭ⊥ＢＥ，ＰＮ⊥ＢＦ，ＰＤ⊥ＡＣ， ∴ＰＭ＝ＰＮ．ＰＭ＝ＰＤ，∴ＰＮ＝ＰＤ， ∴点Ｐ在∠ＡＣＦ的平分线上，故①正确； ②∵ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＮ⊥ＢＣ，∴∠ＡＢＣ＋９０°＋∠ＭＰＮ＋９０°＝３６０°． ∴∠ＡＢＣ＋∠ＭＰＮ＝１８０°． 在Ｒｔ△ＰＡＭ和Ｒｔ△ＰＡＤ中， ＰＡ＝ＰＡ， ＰＭ＝ＰＤ，{ ∴Ｒｔ△ＰＡＭ≌Ｒｔ△ＰＡＤ（Ｈ．Ｌ．）， ∴∠ＡＰＭ＝∠ＡＰＤ，同理，Ｒｔ△ＰＣＤ≌Ｒｔ△ＰＣＮ（Ｈ．Ｌ．），∴∠ＣＰＤ＝∠ＣＰＮ，∴∠ＭＰＮ＝２∠ＡＰＣ， ∴∠ＡＢＣ＋２∠ＡＰＣ＝１８０°，故②正确； ③∵ＡＰ平分∠ＣＡＥ，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＰＡＭ，∠ＰＡＭ＝ １ ２∠ ＡＢＣ＋ ∠ＡＰＢ，∴∠ＡＣＢ＝２∠ＡＰＢ，故③正确；④由②可知Ｒｔ△ＰＡＭ≌Ｒｔ△ＰＡＤ，Ｒｔ△ＰＣＤ≌Ｒｔ△ＰＣＮ， ∴Ｓ△ＡＰＤ＝Ｓ△ＡＰＭ，Ｓ△ＣＰＮ＝Ｓ△ＣＰＤ，∴Ｓ△ＡＰＭ＋Ｓ△ＣＰＮ＝Ｓ△ＡＰＣ，故④正确． 综上，正确的结论有４个．故选Ｄ． １１．±槡５　１２．＜　１３．１００ １４．４．８　【解析】如图，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＰ．在△ＡＢＣ中，∵ ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，∴ＢＦ＝４．在 Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾股定理，得 ＡＦ＝ ＡＢ２－ＢＦ槡 ２＝３．∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＡＰＣ，∴ １ ２ ×８×３＝ １ ２ ×５ＰＤ＋ １ ２ ×５ＰＥ， 即１２＝ １ ２ ×５（ＰＤ＋ＰＥ），即ＰＤ＋ＰＥ＝４．８． １５．２槡１０－２　【解析】如题图，连接ＤＥ． ∵ＡＢ＝４，Ｅ是ＡＢ边的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ＝ １ ２ ＡＢ＝２．由折叠可得Ｂ′Ｅ＝ＢＥ＝２．在Ｒｔ△ＡＤＥ中， ∵ＡＤ＝６，ＡＥ＝２，∠Ａ＝９０°，∴ＤＥ＝ ＡＥ２＋ＡＤ槡 ２＝ ２２＋６槡 ２＝２槡１０．当点Ｂ′不在线段ＤＥ上时，Ｂ′Ｄ＞ ＤＥ－Ｂ′Ｅ，当点Ｂ′在线段ＤＥ上时，Ｂ′Ｄ＝ＤＥ－Ｂ′Ｅ，∴Ｂ′Ｄ≥ＤＥ－Ｂ′Ｅ，即Ｂ′Ｄ≥２槡１０－２，∴Ｂ′Ｄ的最 小值为２槡１０－２． １６．解：（１）原式＝－４－１＝－５． （２）原式＝－１＋２－３＋２－槡３＝－槡３． １７．解：原式＝ａ２－４ｂ２－ａ２＋４ａｂ－４ｂ２＋８ｂ２＝４ａｂ，当ａ＝－２，ｂ＝ １ ２ 时，原式＝－４． １８．证明：∵∠１＝∠２，∴∠ＤＡＣ＋∠１＝∠２＋∠ＤＡＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， { ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（Ａ．Ｓ．Ａ．），∴ＢＣ＝ＤＥ． １９．证明：（１）∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＢＣ＝ＣＦ＋ＣＢ，∴ＣＥ＝ＢＦ．                                                                                                                                                                                                                   ４３ ４４ ４５ ! " : # $ : % & : ! " # $ % # ! " # $ % 　　　　　　　　　　原创评估提优卷（三） 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 　　　　　　　　时间：１００分钟　　　　　　　满分：１２０分 　　　　　　　　　　　八年级上册·数学 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．—个正数的平方根是槡２和ａ－１，那么ａ的值是 （　　） Ａ．１－槡２ Ｂ．１＋槡２ Ｃ．－槡２ Ｄ．槡２ ２．下列计算正确的是 （　　） Ａ．２ｘ４＋（－３ｘ２）２＝１１ｘ８ Ｂ．（３ｘ５－２ｘ３＋ｘ）÷ｘ＝３ｘ４－２ｘ２ Ｃ．（－３ｘｙ２）（２ｙ２－ｘｙｚ＋１）＝－６ｘｙ４＋３ｘ２ｙ３ｚ－３ｘｙ２ Ｄ．（２ｘ＋５ｙ）２＝４ｘ２＋１０ｘｙ＋２５ｙ２ ３．下列命题是真命题的是 （　　） Ａ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 Ｂ．有一个角是６０°的三角形是等边三角形 Ｃ．三个角分别相等的两个三角形全等 Ｄ．到角两边距离相等的点在角平分线上 ４．如图，点Ｄ，Ｅ分别在线段ＡＢ，ＡＣ上，ＣＤ与ＢＥ相交于点Ｏ，已知ＡＢ＝ＡＣ，现添加下列条件仍不 能判定△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ的是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｂ．ＡＤ＝ＡＥ Ｃ．ＢＤ＝ＣＥ Ｄ．ＢＥ＝ＣＤ ５．已知ａ＝１６６，ｂ＝８９，ｃ＝４１３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为 （　　） Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ Ｂ．ｃ＜ｂ＜ａ Ｃ．ａ＜ｃ＜ｂ Ｄ．ｂ＜ａ＜ｃ ６．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为０．７ｍ，顶 端距离地面２．４ｍ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面２ｍ，则小 巷的宽度为 （　　） Ａ．０．９ｍ Ｂ．１．５ｍ Ｃ．２．２ｍ Ｄ．２．４ｍ 第４题图 　 第６题图 　 第８题图 　 第９题图 　 第１０题图 ７．一次跳远比赛中，成绩在４．００ｍ以上的有９人，频率为０．３，则参加比赛的共有 （　　） Ａ．１０人 Ｂ．２０人 Ｃ．３０人 Ｄ．４０人 ８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ∥ＡＢ，ＡＤ＝３，ＣＥ＝５，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．７ ９．已知 ｍｉｎ槡ｘ，ｘ ２，ｘ{ }表示取槡ｘ，ｘ２，ｘ中最小的那个数，例如：当 ｘ＝９时，ｍｉｎ槡ｘ，ｘ２，ｘ{ } ＝ ｍｉｎ槡９，９ ２，９{ }＝３．当ｍｉｎ槡ｘ，ｘ２，ｘ{ }＝ １ １６ 时，ｘ的值为 （　　） Ａ． １ １６ Ｂ． １ ８ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ２ １０．如图，在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝３，动点Ｐ满足Ｓ△ＰＡＢ＝ １ ３ Ｓ长方形ＡＢＣＤ，则点Ｐ到Ａ，Ｂ两点距 离之和ＰＡ＋ＰＢ的最小值为 （　　） Ａ．槡２９ Ｂ．槡３４ Ｃ．５槡２ Ｄ．槡４１ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．若ｘ２＋ａｘ＋４＝（ｘ－２）２，则ａ＝　　　　． １２．若单项式２ｘｍｙ３与３ｘｙｍ＋ｎ是同类项，则 ２ｍ＋槡 ｎ的值为　　　　． １３．希望中学制作了学生选择棋类、武术、摄影、绘画四门校本课程情况的扇形统计图，该校有 １２００名学生，从图中可以看出选择绘画的学生约为　　　　人． １４．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是５，高是１２，上底面中心有一个小圆孔，则一条通过小圆 孔到达底部的直吸管在罐内部分ａ的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范 围是　　　　． 第１３题图 　　　　 第１４题图 　　　　 第１５题图 １５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，点Ｄ在ＡＭ上，且ＤＭ＝ＣＭ，点Ｆ是ＢＣ的中 点，连接ＦＤ并延长，在ＦＤ的延长线上有一点 Ｅ，连接 ＣＥ，且 ＣＥ＝ＣＡ，∠ＢＤＦ＝３６°，则∠Ｅ的 度数为　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，满分７５分） １６．（８分）计算： （１）（－２）２＋１－槡３－槡２５＋（３－槡３） ０；　　　　（２）（１－３槡８） ０－槡４＋（ ２ ３槡 ）２－１． １７．（８分）因式分解： （１）ａ２ｂ－１６ｂ； （２）５ｘ３－２０ｘ２ｙ＋２０ｘｙ２． １８．（９分）如图，某小区有一块长为（２ａ＋４ｂ）ｍ，宽为（２ａ－ｂ）ｍ的长方形空地，空地的角上有四个 边长为（ａ－ｂ）ｍ的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （１）用含有ａ，ｂ的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （２）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化８ｂｍ２，每小时收费２００ 元，则物业应该支付绿化队多少费用？（用含ａ，ｂ的代数式表示）                                                                                                                                             ４６ ４７ ４８ １９．（９分）如图，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，ＡＢ＝ＢＣ，点Ｅ在ＢＤ上，连接ＡＥ，ＣＥ，ＤＦ⊥ＡＥ，ＤＧ⊥ＣＥ，垂 足分别是点Ｆ，Ｇ．求证： （１）△ＡＢＥ≌△ＣＢＥ； （２）ＤＦ＝ＤＧ． ２０．（１０分）如图，两个村子Ａ，Ｂ在河的同侧，Ａ，Ｂ两村到河边ＣＤ的距离分别为ＡＣ＝１ｋｍ，ＢＤ＝３ｋｍ， 已知ＣＤ＝３ｋｍ．现要在河边ＣＤ上建造一水厂，向 Ａ，Ｂ两村送自来水铺设水管的费用为每千 米２００００元． （１）请你在ＣＤ上确定水厂位置Ｏ，使铺设水管的费用最省； （２）求出（１）中铺设水管的总费用Ｗ． ２１．（１０分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范 围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车 的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． （１）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？ （２）该市约有３０万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （３）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为１７８人，比活动前增加了１人， 因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图 表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． ２２．（１０分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ的垂直平分线交 ＡＢ于点 Ｄ，交直线 ＡＣ于点 Ｅ．若∠ＥＢＣ＝ ４２°，求∠ＢＡＣ的度数． ２３．（１１分）问题情境：如图（１），∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，三角尺的直角顶点落在 ＯＣ的任意 一点Ｐ上，并使三角尺的两条直角边分别与ＯＡ，ＯＢ相交于点Ｅ，Ｆ，ＰＥ与ＰＦ相等吗？请你给 出证明； 变式拓展：如图（２），已知∠ＡＯＢ＝１２０°，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ是 ＯＣ上一点，∠ＥＰＦ＝６０°，ＰＥ与 ＯＡ相交于点Ｅ，ＰＦ与射线ＯＢ的反向延长线相交于点Ｆ．ＰＥ与ＰＦ相等吗？请说明理由．                                                                                                                                            