真题优化重组卷(4)-【培优期末状元卷】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

１９ ２０ ２１ ! " : # $ : % & : ! " # $ % # ! " # $ % 　　　　　　　　　　真题优化重组卷（四） 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 　　　　　　　　时间：１００分钟　　　　　　　满分：１２０分 　　　　　　　　　　　八年级上册·数学 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．在实数－０．２１，槡８， π ２ ，槡３６， ２ ７ ，－３槡９中，无理数个数为 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ２．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ２＋ａ３＝ａ５ Ｂ．（ａ２）３＝ａ５ Ｃ．ａ２·ａ３＝ａ６ Ｄ．（－ａｂ）５÷（－ａｂ）３＝ａ２ｂ２ ３．若ａ＋ｂ＝－３，ａｂ＝－１０，则ａ－ｂ的值是 （　　） Ａ．０或７ Ｂ．０或－１３ Ｃ．－７或７ Ｄ．－１３或１３ ４．据不完全统计，某年１～４月份我国某型号新能源客车的月销量情况如图所示，下列说法错误的是 （　　） Ａ．１月份销量为２万辆 Ｂ．从２月到３月的月销量增长最快 Ｃ．４月份销量比３月份增加了０．９万辆 Ｄ．１～４月新能源客车销量逐月增加 ５．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＡＣ边的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．槡４１ Ｃ．３或槡４１ Ｄ．槡７ ６．下列命题的逆命题是假命题的是 （　　） Ａ．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 Ｂ．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 Ｃ．如果ａ＝ｂ，那么ａ２＝ｂ２ Ｄ．在△ＡＢＣ中，如果ＢＣ２＋ＡＣ２＝ＡＢ２，那么∠Ｃ＝９０° ７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，按以下步骤作图：①以点 Ｃ为圆心，ＣＢ的长为半径作弧，交 ＡＢ 边于点Ｄ；②分别以点Ｄ，Ｂ为圆心，大于 １ ２ ＢＤ的长为半径作弧，两弧交于点Ｅ；③作射线ＣＥ，交 边ＡＢ于点Ｆ．若ＣＦ＝４，则线段ＡＤ的长为 （　　） Ａ．槡３ Ｂ．１ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． １ ２ 第４题图 　　　　　　　　　 第７题图 ８．如图，ＡＢ⊥ＣＤ，且ＡＢ＝ＣＤ．点Ｅ、Ｆ是ＡＤ上两点，ＣＥ⊥ＡＤ，ＢＦ⊥ＡＤ．若ＣＥ＝ａ，ＢＦ＝ｂ，ＥＦ＝ｃ，则ＡＤ的长为 （　　） Ａ．ａ＋ｃ Ｂ．ｂ＋ｃ Ｃ．ａ－ｂ＋ｃ Ｄ．ａ＋ｂ－ｃ 第８题图 　　　　　　　　　 第９题图 ９．如图，∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＡ＝３６ｃｍ，ＯＢ＝１２ｃｍ，一个小球从点Ａ出发沿着ＡＯ方向滚向点Ｏ，另一小 球立即从点Ｂ出发，沿ＢＣ匀速前进拦截小球，恰好在点Ｃ处截住了小球．若两个小球滚动的速 度相等，则另一个小球滚动的路程ＢＣ是 （　　） Ａ．１３ｃｍ Ｂ．２０ｃｍ Ｃ．２４ｃｍ Ｄ．１６ｃｍ １０．如图是中国宋代“贾宪三角”又称“杨辉三角”，比欧洲的“帕斯卡三角”早了近６００年，它揭示 了二项式乘方展开式的系数规律．观察下列各式及其展开式，请猜想（ａ＋ｂ）１０展开式中所有项 的系数和是 （　　） （ａ＋ｂ）０＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　１ （ａ＋ｂ）１＝ａ＋ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　１ （ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　２　　１ （ａ＋ｂ）３＝ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３　　　　　　　　　　　 　　１　　３　　３　　１ （ａ＋ｂ）４＝ａ４＋４ａ３ｂ＋６ａ２ｂ２＋４ａｂ３＋ｂ４　　　　　　　　 　１　　４　　６　　４　　１ （ａ＋ｂ）５＝ａ５＋５ａ４ｂ＋１０ａ３ｂ２＋１０ａ２ｂ３＋５ａｂ４＋ｂ５　　　　１　　５　　１０　　１０　　５　　１ ……　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…… Ａ．１２８ Ｂ．２５６ Ｃ．５１２ Ｄ．１０２４ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．“相等的角是对顶角”的逆命题是　　　　命题（填“真”或“假”）． １２．若２ｍ＋２ｍ＋２ｍ＋２ｍ＝８，则ｍ＝　　　　． １３．直角三角形的两条边分别为３，４，则它的另一边为　　　　． １４．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于点 Ｏ，过点 Ｏ作 ＥＦ∥ＢＣ交 ＡＢ，ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ，若 △ＡＢＣ的周长比△ＡＥＦ的周长大 １２ｃｍ，点 Ｏ到 ＡＢ的距离为 ３ｃｍ，△ＯＢＣ的面积 　　　　ｃｍ２． 第１４题图 　　　　　　 第１５题图 １５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＨ是高，ＡＥ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＥ，在ＡＢ边上取一点Ｄ，连接ＤＥ，ＤＥ＝ＡＣ．若Ｓ△ＡＢＣ ＝５Ｓ△ＡＤＥ，ＢＨ＝１，则ＢＣ＝　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，满分７５分） １６．（８分）计算： （１）３－槡 ２７＋ ４９ ６４槡 －（－ １ ２ ）３；　　　　　　　　（２）－（－１）２０２２＋槡２５－ ３ ３槡 ３＋１－槡２． １７．（９分）先化简，再求值：［（ｘ－ｙ）２－（ｘ－２ｙ）（２ｙ＋ｘ）］÷（－ｙ），其中ｘ＝－１，ｙ＝２． １８．（９分）小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂 到地面还多１ｍ，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部５ｍ，请你 帮它计算一下旗杆的高度． １９．（９分）３月１２日是我国的植树节，河南省定下了“五年增绿山川平原，十年建成森林河南”的 目标．如下图，郑州市有一块长（３ａ＋ｂ）ｍ，宽为（２ａ＋ｂ）ｍ的长方形地块，规划部门计划将阴影 部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座雕像． （１）求绿化的面积是多少平方米； （２）当ａ＝２，ｂ＝１时，求绿化面积．                                                                                                                                             ２２ ２３ ２４ ２０．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ边上的一点，ＡＢ＝ＤＢ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，交ＡＣ边于点Ｅ，连 接ＤＥ． （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ； （２）若∠Ａ＝１００°，∠Ｃ＝５０°，求证：△ＣＤＥ是等腰三角形． ２１．（１０分）每年６月５日是世界环境日，某学校组织了保护环境知识测试，先从中随机抽取部分 学生的成绩，按：Ａ．优秀，Ｂ．良好，Ｃ．合格，Ｄ．不合格四个等级进行统计，绘制了如下不完整的统 计图表，请你根据统计图表信息，完成下列各题． （１）表中ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　，ｃ＝　　　　； （２）补全条形统计图； （３）若把成绩等级制成扇形统计图，则表示Ａ部分的扇形的圆心角的度数为　　　　； （４）若该校共有２６００名学生，则成绩等级为Ａ和Ｂ的共有多少人？ 　　　测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 Ａ ３０ ａ Ｂ ｂ ０．４５ Ｃ ２４ ０．２０ Ｄ １２ ０．１０ 合计 ｃ １ 　　　　 ２２．（１０分）阅读：①一般地，ｎ个相同的因数ａ相乘，即ａ·ａ·ａ·…·ａ        ｎ个ａ ，记为ａｎ，如２３＝８，此时，３ 叫做以２为底８的对数，记为ｌｏｇ２８（即ｌｏｇ２８＝３）．②一般地，若ａ ｎ＝ｂ（ａ＞０且ａ≠１，ｂ＞０），则ｎ 叫做以ａ为底ｂ的对数。记为ｌｏｇａｂ（即ｌｏｇａｂ＝ｎ），如３ ４＝８１，则４叫做以３为底８１的对数，记 为ｌｏｇ３８１（即ｌｏｇ３８１＝４）． （１）计算下列各对数的值． ｌｏｇ２４＝　　　　　　　，ｌｏｇ２１６＝　　　　　　　， ｌｏｇ２６４＝　　　　　　　； （２）观察（１），４，１６，６４之间存在怎样的关系？ｌｏｇ２４，ｌｏｇ２１６，ｌｏｇ２６４之间又存在怎样的关系？ （３）由（２）的结果，可得结论：ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ＝　　　　　（ａ＞０且ａ≠１，Ｍ＞０，Ｎ＞０）； （４）请你运用幂的运算法则ａｍ·ａｎ＝ａｍ＋ｎ（ｍ，ｎ为正整数）以及对数的含义证明（３）中的结论． ２３．（１１分）在△ＡＭＮ中，∠ＭＡＮ＞９０°，ＡＭ的垂直平分线交 ＭＮ于点 Ｂ，交 ＡＭ于点 Ｅ，ＡＮ的垂直 平分线交ＭＮ于点Ｃ，交ＡＮ于点Ｆ． （１）若ＡＭ＝ＡＮ，∠ＭＡＮ＝１２０°，判断△ＡＢＣ的形状，并证明你的结论； （２）去掉（１）中的“∠ＭＡＮ＝１２０°”的条件，其他不变，判断△ＡＢＣ的形状，并证明你的结论； （３）当∠Ｍ与∠Ｎ满足怎样的数量关系时，△ＡＢＣ是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．                                                                                                                                             ７１ ７２ ７３ ７４ 真题优化重组卷（三） １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｃ　 ８．Ｂ　【解析】∵Ｂ＋Ａ＝２ｘ２－ｘ，Ａ＝２ｘ，∴Ｂ＝２ｘ２－ｘ－２ｘ＝２ｘ２－３ｘ，∴Ｂ÷Ａ＝（２ｘ２－３ｘ）÷２ｘ＝ｘ－ ３ ２ ．故选Ｂ． ９．Ａ　【解析】设绳索ＡＣ的长为ｘ尺，则木柱ＡＢ的长为（ｘ－３）尺，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＡＣ２ －ＡＢ２＝ＢＣ２，ｘ２－（ｘ－３）２＝８２，解得ｘ＝ ７３ ６ ．绳索长为 ７３ ６ 尺．故选Ａ． １０．Ｄ　【解析】图１中，当有２点Ｄ，Ｅ时，有１＋２＝３对全等三角形；图２中，当有３点Ｄ，Ｅ，Ｆ时，有１＋ ２＋３＝６对全等三角形；图３中，当有４点时，有１＋２＋３＋４＝１０对全等三角形；……图ｎ中，当有（ｎ ＋１）个点时，图中有 （ｎ＋１）（ｎ＋２） ２ 个全等三角形，当ｎ＝１７时，全等三角形的对数是 １８×１９ ２ ＝１７１．故 选Ｄ． １１．－５　１２．± １ ２ 　１３．５４０ １４．４　【解析】∵勾ＡＥ＝６，弦ＡＤ＝弦ＡＢ＝１０，∴股ＤＥ＝ １０２－６槡 ２＝８， ∴小正方形的边长＝８－６＝２，∴小正方形的面积＝２２＝４．故答案为４． １５．槡１０　【解析】在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ．∵ＤＦ⊥ＡＦ，ＢＥ⊥ＡＥ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°； ∵∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝９０°，∴∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ． 在Ｒｔ△ＡＦＤ和Ｒｔ△ＢＥＡ中， ∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ， ＡＤ＝ＡＢ， { ∴Ｒｔ△ＡＦＤ≌Ｒｔ△ＢＥＡ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＦ＝ＡＥ＝３，ＡＦ＝ＢＥ＝１． 在Ｒｔ△ＢＥＡ中，由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＥ２＋ＢＥ槡 ２＝ ３２＋１槡 ２＝槡１０．故答案为槡１０． １６．解：（１）原式＝－１＋２－（π－３）＝－１＋２－π＋３＝４－π． （２）原式＝ｘｙ（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２）＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）２． １７．解：原式＝（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－４ｙ２＋２ｘｙ）÷２ｘ＝（ｘ２－２ｘｙ）÷２ｘ＝ １ ２ ｘ－ｙ， 当ｘ＝２槡２，ｙ＝槡２时，原式＝ １ ２ ×２槡２－槡２＝槡２－槡２＝０． １８．证明：∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＣＥ＋ＥＦ＝ＥＦ＋ＢＦ，∴ＣＦ＝ＢＥ． 在△ＣＤＦ和△ＢＡＥ中， ＤＦ＝ＡＥ， ＡＢ＝ＤＣ， ＣＦ＝ＢＥ， { ∴△ＣＤＦ≌△ＢＡＥ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．），∴∠ＣＦＤ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＥ∥ＤＦ． １９．解：连接ＢＤ，由题意知，直线ＰＱ是线段ＡＢ的垂直平分线， ∴ＢＤ＝ＡＤ．∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ １０２－８槡 ２＝６． 设ＣＤ＝ｘ，则ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ． 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２，即（８－ｘ）２＝６２＋ｘ２． 解得ｘ＝ ７ ４ ，即ＣＤ＝ ７ ４ ． ２０．解：（１）Ｃ． （２）不彻底；（ａ－２）４． （３）设ａ２－２ａ＝ｂ，则原式＝（ｂ－１）（ｂ＋３）＋４＝ｂ２＋２ｂ＋１＝（ｂ＋１）２＝（ａ２－２ａ＋１）２＝［（ａ－１）２］２＝（ａ－１）４． ２１．证明：连接ＤＥ，ＤＦ，如图所示． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ． ∵在△ＥＢＤ和△ＤＣＦ中， ＢＥ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＤ＝ＣＦ， { ∴△ＥＢＤ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＥ＝ＤＦ． ∵ＤＧ⊥ＥＦ，∴ＤＧ是等腰△ＤＥＦ的中线，∴ＥＧ＝ １ ２ ＥＦ． ２２．解：（１）１００．　【解析】这次随机抽取的部分学生有８÷０．０８＝１００（人），故答案为１００． （２）４０，０．３．　【解析】ａ＝１００×０．４＝４０，ｂ＝３０÷１００＝０．３．故答案为４０，０．３． （３）由（２）知，ａ＝４０，成绩８０≤ｘ＜９０的频数为４０， 补全的频数分布直方图如图所示． （４）２４００×（０．２２＋０．４）＝１４８８（名）． 答：估计不低于８０分的学生有１４８８名． ２３．解：（１）∵ＡＣ＝３００ｋｍ，ＢＣ＝４００ｋｍ，ＡＢ＝５００ｋｍ，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２． ∴△ＡＢＣ是直角三角形，且∠ＡＣＢ＝９０°． （２）海港Ｃ受台风影响．理由：过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ， ∵△ＡＢＣ是直角三角形，∴ １ ２ ×ＡＣ×ＢＣ＝ １ ２ ×ＣＤ×ＡＢ， ∴ １ ２ ×３００×４００＝ １ ２ ×５００×ＣＤ，∴ＣＤ＝２４０ｋｍ． ∵以台风中心为圆心周围２５０ｋｍ以内为受影响区域，２４０＜２５０，∴海港Ｃ受台风影响． （３）当ＥＣ＝２５０ｋｍ，ＦＣ＝２５０ｋｍ时，正好影响Ｃ港口， ∴ＥＤ＝ ＥＣ２－ＣＤ槡 ２＝７０（ｋｍ），∴ＥＦ＝１４０ｋｍ． ∵台风的速度为２０ｋｍ／ｈ，∴１４０÷２０＝７（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为７小时． 真题优化重组卷（四） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ｂ　【解析】由题意知ＢＣ＝ＡＣ，设另一个小球滚动的路程ＢＣ为ｘｃｍ．那么ＡＣ也为ｘｃｍ，则ＯＣ＝（３６ －ｘ）ｃｍ．在Ｒｔ△ＢＯＣ中，由勾股定理得ｘ２－（３６－ｘ）２＝１２２，解得ｘ＝２０．故选Ｂ． １０．Ｄ　【解析】当ｎ＝１，２，３，４，…时，（ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和分别为２，４，８，１６，…，由此可知 （ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和为 ２ｎ，所以（ａ＋ｂ）１０展开式中所有项的系数和是 ２１０＝１０２４．故 选Ｄ． １１．真　１２．１　１３．５或槡７ １４．１８　【解析】∵∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于点Ｏ， ∴∠ＥＢＯ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＣＯ＝∠ＯＣＢ． ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＥＯＢ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＯＣ＝∠ＯＣＢ， ∴∠ＥＯＢ＝∠ＥＢＯ，∠ＦＣＯ＝∠ＦＯＣ． ∴ＯＥ＝ＢＥ，ＯＦ＝ＦＣ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＣＦ，∴ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝ＡＢ＋ＡＣ． ∵△ＡＢＣ的周长比△ＡＥＦ的周长大１２ｃｍ， ∴（ＡＣ＋ＢＣ＋ＡＣ）－（ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ）＝１２ｃｍ，∴ＢＣ＝１２ｃｍ． ∵Ｏ到ＡＢ的距离为３ｃｍ， ∴△ＯＢＣ的面积是 １ ２ ×１２×３＝１８（ｃｍ２）．故答案为１８． １５． ５ ２ 　【解析】过点Ｅ作ＥＰ⊥ＢＡ，交ＢＡ的延长线于点Ｐ，∴∠Ｐ＝∠ＡＨＢ＝９０°． ∵ＡＥ∥ＢＣ．∴∠ＥＡＰ＝∠ＣＢＡ． 在△ＡＥＰ和△ＢＡＨ中， ∠Ｐ＝∠ＡＨＢ， ∠ＰＡＥ＝∠Ｂ， ＡＥ＝ＡＢ， { ∴△ＡＥＰ≌△ＢＡＨ（Ａ．Ａ．Ｓ．）， ∴ＡＰ＝ＢＨ，ＰＥ＝ＡＨ．在Ｒｔ△ＤＥＰ和Ｒｔ△ＣＡＨ中， ＤＥ＝ＡＣ， ＰＥ＝ＡＨ，{ ∴Ｒｔ△ＤＥＰ≌Ｒｔ△ＣＡＨ（Ｈ．Ｌ．）， ∴ＤＰ＝ＣＨ，Ｓ△ＤＰＥ＝Ｓ△ＡＣＨ．　 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＨＣ＝２Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＤＥ＝５Ｓ△ＡＤＥ， ∴Ｓ△ＡＢＨ∶Ｓ△ＡＤＥ＝２∶１，∴ＢＨ∶ＡＤ＝２∶１． ∵ＢＨ＝１，∴ＡＰ＝１，ＡＤ＝ １ ２ ．∴ＤＰ＝ＣＨ＝ＡＰ＋ＡＤ＝１＋ １ ２ ＝３ ２ ， ∴ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝１＋ ３ ２ ＝５ ２ ．故答案为 ５ ２ ． １６．解：（１）原式＝－３＋ ７ ８ －（－ １ ８ ）＝－３＋１＝－２． （２）原式＝－１＋５－３＋槡２－１＝槡２． １７．解：原式＝［ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－（ｘ２－４ｙ２）］÷（－ｙ）＝（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋４ｙ２）÷（－ｙ）＝（－２ｘｙ＋５ｙ２）÷（－ｙ） ＝２ｘ－５ｙ． 当ｘ＝－１，ｙ＝２时，原式＝２×（－１）－５×２＝－２－１０＝－１２． １８．解：已知ＡＣ为旗杆的长，ＡＢ＝ＡＣ＋１，ＢＣ＝５． 已知ＡＣ⊥ＢＣ，则由勾股定理得ＡＣ＝ ＡＢ２－５槡 ２＝ （ＡＣ＋１）２－槡 ２５，解得ＡＣ＝１２． 答：旗杆的高度为１２ｍ． １９．解：（１）Ｓ绿化面积＝（３ａ＋ｂ）（２ａ＋ｂ）－（ａ＋ｂ） ２＝６ａ２＋５ａｂ＋ｂ２－ａ２－２ａｂ－ｂ２＝５ａ２＋３ａｂ（ｍ２） 即绿化的面积是（５ａ２＋３ａｂ）ｍ２． （２）当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为５×２２＋３×２×１＝２６（ｍ２）， 所以当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为２６ｍ２． ２０．证明：（１）∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＡＢＥ和△ＤＢＥ中， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）∵△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ，∴∠ＢＤＥ＝∠Ａ＝１００°． ∵∠Ｃ＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＤＥ－∠Ｃ＝１００°－５０°＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠Ｃ，∴ＥＤ＝ＤＣ， ∴△ＣＤＥ是等腰三角形． ２１．解：（１）０．２５；５４；１２０．　【解析】本次抽取的学生人数ｃ＝２４÷０．２０＝１２０， ａ＝３０÷１２０＝０．２５，ｂ＝１２０×０．４５＝５４． （２）由（１）知，ｂ＝５４，补全的条形统计图如图所示． （３）９０°．　【解析】表示Ａ部分的扇形的圆心角的度数为３６０°×０．２５＝９０°． （４）成绩等级为Ａ和Ｂ的共有２６００×（０．２５＋０．４５）＝１８２０（人）． 答：成绩等级为Ａ和Ｂ的一共有１８２０人． ２２．解：（１）２；４；６． （２）４×１６＝６４，ｌｏｇ２４＋ｌｏｇ２１６＝ｌｏｇ２６４． （３）ｌｏｇａ（ＭＮ）． （４）证明：设ｌｏｇａＭ＝ｘ，ｌｏｇａＮ＝ｙ，则ａ ｘ＝Ｍ，ａｙ＝Ｎ， ∴ＭＮ＝ａｘ·ａｙ＝ａｘ＋ｙ，∴ｘ＋ｙ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）， 即ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）． ２３．解：（１）等边三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∠ＭＡＮ＝１２０°，∴∠Ｍ＝∠Ｎ＝３０°． ∵ＢＥ是线段ＡＭ的垂直平分线，∴ＡＢ＝ＢＭ，∴∠ＭＡＢ＝∠Ｍ＝３０°，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ＝６０°． 同理，ＣＡ＝ＮＣ，∴∠ＮＡＣ＝∠Ｎ＝３０°，∴∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ＝６０°， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等边三角形． （２）△ＡＢＣ是等腰三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∴∠Ｍ＝∠Ｎ， ∵∠ＭＡＢ＝∠Ｍ，∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ，∠ＮＡＣ＝∠Ｎ，∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等腰三角形． （３）当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 【解析】当∠Ｍ＝∠Ｎ时，ＡＢ＝ＡＣ． 当２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°时，∠ＢＡＮ＝９０°，∴ＣＦ∥ＢＡ． ∵ＮＦ＝ＡＦ，∴ＣＮ＝ＢＣ，∴ＡＣ＝ １ ２ ＢＮ＝ＢＣ． 同理，当∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，ＢＡ＝ＢＣ， 综上所述，当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 真题优化重组卷（五） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｄ　８．Ｄ ９．Ｄ　【解析】∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＢＤ是中线，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＤＢＣ＝３０°． 又∵ＣＥ＝ＣＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ． 又∵∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２∠ ＢＣＤ＝３０°， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，故选项Ａ不符合题意． ∴ＤＢ＝ＤＥ，∠ＢＤＥ＝１２０°，故选项Ｂ，Ｃ都不符合题意．故选Ｄ． １０．Ｂ　【解析】∵以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ为直径向外作半圆的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４， ∴Ｓ１＝ １ ２π （ １ ２ ＡＢ）２＝ １ ８π ·ＡＢ２，                                                                                                                                                                                                                  