真题优化重组卷(3)-【培优期末状元卷】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

１３ １４ １５ ! " : # $ : % & : ! " # $ % # ! " # $ % 　　　　　　　　　　真题优化重组卷（三） 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 　　　　　　　　时间：１００分钟　　　　　　　满分：１２０分 　　　　　　　　　　　八年级上册·数学 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．下列各数中是无理数的为 （　　） Ａ．３－槡 ８ Ｂ．π Ｃ．０．１０１００１０００１ Ｄ．槡４ ２．下列说法不正确的是 （　　） Ａ．０．０９的平方根是±０．３ Ｂ． １ ９槡 ＝１ ３ Ｃ．１的立方根是±１ Ｄ．０的立方根是０ ３．下列计算中错误的是 （　　） Ａ．４ａ５ｂ３ｃ２÷（－２ａ２ｂｃ）２＝ａｂ Ｂ．（ａ＋１）（ａ－１）（ａ２＋１）＝ａ４－１ Ｃ．（４ｘ２ｙ）·（－ １ ２ ｙ）÷（４ｘ２ｙ２）＝－ １ ２ Ｄ．２５×（ １ ２５ ｘ２－ １ １０ ｘ＋１）＝ｘ２－ ５ ２ ｘ＋１ ４．已知点Ｐ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上，且满足ＰＡ＝ＰＣ，则下列确定点Ｐ位置的尺规作图，正确的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５．下列命题是真命题的有：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②直线外一点与直线 上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③ａ＞ｂ，则ｃ－ａ＞ｃ－ｂ；④同位角相等． （　　） Ａ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．０个 ６．在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，已知ａ，ｂ，ｃ满足（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ｃ２，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．△ＡＢＣ是等腰三角形，且ＡＣ＝ＡＢ Ｂ．△ＡＢＣ是等腰直角三角形，且ＡＣ＝ＡＢ Ｃ．△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０° Ｄ．△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ａ＝９０° ７．某学校团委对八年级的学生进行了问卷调查，其中一项是“灾情期间出现的哪一个高频词汇最 触动你的内心”，针对该项调查结果制作的两幅统计图（不完整）如图所示． 根据图中信息，下列结论错误的是（　　） Ａ．本次调查的学生人数是６００ Ｂ．选“责任”的有１２０人 Ｃ．扇形统计图中，“生命”所对应的扇形圆 心角的度数为６４．８° Ｄ．选“感恩”的人数最多 ８．已知Ａ＝２ｘ，Ｂ是多项式，在计算Ｂ÷Ａ时，小强同学把Ｂ÷Ａ误看成了Ｂ＋Ａ，结果得到２ｘ２－ｘ，则Ｂ÷ Ａ正确的结果是 （　　） Ａ．ｘ＋ １ ２ Ｂ．ｘ－ ３ ２ Ｃ．２ｘ２－３ｘ Ｄ．２ｘ２＋ｘ ９．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索 其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何”。译文为： 今有一竖立着的木柱 ＡＢ，在木柱的上端系有绳索 ＡＣ，绳索从木柱上 端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有３尺，牵索沿地面退行，在离木 柱根部８尺处时，绳索用尽，问绳索ＡＣ的长为 （　　） Ａ． ７３ ６ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ． ７７ ６ １０．已知ＡＢ＝ＡＣ，如图１，点Ｄ，Ｅ为∠ＢＡＣ的平分线上的两点，连接ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ；如图２，点Ｄ， Ｅ，Ｆ为∠ＢＡＣ的平分线上的三点，连接ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ，ＢＦ，ＣＦ；如图３，点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ为∠ＢＡＣ 的平分线上的四点，连接 ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ，ＢＦ，ＣＦ，ＢＧ，ＣＧ……依此规律，第１７个图形中有全 等三角形的对数是 （　　） Ａ．１７ Ｂ．５４ Ｃ．１５３ Ｄ．１７１ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．计算－２２－ ３－槡 ２７＋槡４＝　　　　． １２．若式子ｘ２＋ｘ＋ｍ２是一个含ｘ的完全平方式，则ｍ＝　　　　． １３．为了解学生对《未成年人保护法》的知晓情况，某学校随机选取了部分学生进行调查，并将调 查结果绘制成如图所示的扇形图．若该学校共有学生１８００人，则估计其中对《未成年人保护 法》非常清楚的学生有　　　　人． １４．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾ＡＥ＝６，弦ＡＤ＝１０，则小正方形ＥＦ ＧＨ的面积是　　　　． 第１３题图 　　　　　　 第１４题图 　　　　　　 第１５题图 １５．如图，直线ａ过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，点Ｂ，Ｄ到直线ａ的距离分别为１，３，则正方形的边长 为　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，满分７５分） １６．（８分）（１）计算：３（－１）槡 ３＋ （－２）槡 ２－３－π；　　　（２）因式分解：ｘ ３ｙ＋２ｘ２ｙ２＋ｘｙ３． １７．（９分）先化简，再求值：［（ｘ－２ｙ）２－４ｙ２＋２ｘｙ］÷２ｘ，其中ｘ＝２槡２，ｙ＝槡２． １８．（９分）如图，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＥ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＢＦ．求证：ＡＥ∥ＤＦ． １９．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８，分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以大于 １ ２ ＡＢ的长 为半径画弧，两弧交于点Ｐ，Ｑ，作直线ＰＱ交ＡＣ于点Ｄ，求ＣＤ的长．                                                                                                                                             １６ １７ １８ ２０．（９分）下面是某同学对多项式（ａ２－４ａ＋２）（ａ２－４ａ＋６）＋４进行因式分解的过程． 解：设ａ２－４ａ＝ｂ． 原式＝（ｂ＋２）（ｂ＋６）＋４（第一步） ＝ｂ２＋８ｂ＋１６（第二步） ＝（ｂ＋４）２（第三步） ＝（ａ２－４ａ＋４）２（第四步） （１）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　　　； Ａ．提取公因式 Ｂ．两数和乘以两数差公式 Ｃ．两数和的完全平方公式 Ｄ．两数差的完全平方公式 （２）该同学因式分解的结果是否彻底？　　　　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接 写出因式分解的最后结果　　　　　　　　　； （３）请你模仿以上方法尝试对多项式（ａ２－２ａ－１）（ａ２－２ａ＋３）＋４进行因式分解． ２１．（１０分）如图所示，已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｅ，Ｄ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ和 ＡＣ边上，且 ＢＥ＝ＣＤ， ＢＤ＝ＣＦ，过点Ｄ作ＤＧ⊥ＥＦ于点Ｇ．求证：ＥＧ＝ １ ２ ＥＦ． ２２．（１０分）学校针对文明城市这个主题开展征文比赛（每位同学限一篇），每篇作品的成绩记为ｘ 分（６０≤ｘ≤１００），学校从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并将统计结果绘制成不完整 的统计图表． 组别 分数段 频数 频率 甲 ９０≤ｘ≤１００ ２２ ０．２２ 乙 ８０≤ｘ＜９０ ａ ０．４ 丙 ７０≤ｘ＜８０ ３０ ｂ 丁 ６０≤ｘ＜７０ ８ ０．０８ 根据以上信息，解答下列问题． （１）本次共抽取　　　　篇征文； （２）填空：ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　； （３）请补全频数分布直方图； （４）若全校共２４００名同学参赛，请估计不低于８０分的学生人数． ２３．（１１分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候， 有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向ＡＢ由Ａ向Ｂ行驶，已知点Ｃ为一海港，且点 Ｃ与直线ＡＢ上的两点Ａ，Ｂ的距离分别为ＡＣ＝３００ｋｍ，ＢＣ＝４００ｋｍ，ＡＢ＝５００ｋｍ，以台风中心 为圆心周围２５０ｋｍ以内为受影响区域． （１）求∠ＡＣＢ的度数； （２）海港Ｃ受台风影响吗？为什么？ （３）若台风的速度为２０ｋｍ／ｈ，当台风运动到点Ｅ处时，海港 Ｃ刚好受到影响，当台风运动到 点Ｆ时，海港 Ｃ刚好不受影响，即 ＣＥ＝ＣＦ＝２５０ｋｍ，则台风影响该海港持续的时间有 多长？                                                                                                                                             ７１ ７２ ７３ ７４ 真题优化重组卷（三） １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｃ　 ８．Ｂ　【解析】∵Ｂ＋Ａ＝２ｘ２－ｘ，Ａ＝２ｘ，∴Ｂ＝２ｘ２－ｘ－２ｘ＝２ｘ２－３ｘ，∴Ｂ÷Ａ＝（２ｘ２－３ｘ）÷２ｘ＝ｘ－ ３ ２ ．故选Ｂ． ９．Ａ　【解析】设绳索ＡＣ的长为ｘ尺，则木柱ＡＢ的长为（ｘ－３）尺，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＡＣ２ －ＡＢ２＝ＢＣ２，ｘ２－（ｘ－３）２＝８２，解得ｘ＝ ７３ ６ ．绳索长为 ７３ ６ 尺．故选Ａ． １０．Ｄ　【解析】图１中，当有２点Ｄ，Ｅ时，有１＋２＝３对全等三角形；图２中，当有３点Ｄ，Ｅ，Ｆ时，有１＋ ２＋３＝６对全等三角形；图３中，当有４点时，有１＋２＋３＋４＝１０对全等三角形；……图ｎ中，当有（ｎ ＋１）个点时，图中有 （ｎ＋１）（ｎ＋２） ２ 个全等三角形，当ｎ＝１７时，全等三角形的对数是 １８×１９ ２ ＝１７１．故 选Ｄ． １１．－５　１２．± １ ２ 　１３．５４０ １４．４　【解析】∵勾ＡＥ＝６，弦ＡＤ＝弦ＡＢ＝１０，∴股ＤＥ＝ １０２－６槡 ２＝８， ∴小正方形的边长＝８－６＝２，∴小正方形的面积＝２２＝４．故答案为４． １５．槡１０　【解析】在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ．∵ＤＦ⊥ＡＦ，ＢＥ⊥ＡＥ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°； ∵∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝９０°，∴∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ． 在Ｒｔ△ＡＦＤ和Ｒｔ△ＢＥＡ中， ∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ， ＡＤ＝ＡＢ， { ∴Ｒｔ△ＡＦＤ≌Ｒｔ△ＢＥＡ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＦ＝ＡＥ＝３，ＡＦ＝ＢＥ＝１． 在Ｒｔ△ＢＥＡ中，由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＥ２＋ＢＥ槡 ２＝ ３２＋１槡 ２＝槡１０．故答案为槡１０． １６．解：（１）原式＝－１＋２－（π－３）＝－１＋２－π＋３＝４－π． （２）原式＝ｘｙ（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２）＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）２． １７．解：原式＝（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－４ｙ２＋２ｘｙ）÷２ｘ＝（ｘ２－２ｘｙ）÷２ｘ＝ １ ２ ｘ－ｙ， 当ｘ＝２槡２，ｙ＝槡２时，原式＝ １ ２ ×２槡２－槡２＝槡２－槡２＝０． １８．证明：∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＣＥ＋ＥＦ＝ＥＦ＋ＢＦ，∴ＣＦ＝ＢＥ． 在△ＣＤＦ和△ＢＡＥ中， ＤＦ＝ＡＥ， ＡＢ＝ＤＣ， ＣＦ＝ＢＥ， { ∴△ＣＤＦ≌△ＢＡＥ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．），∴∠ＣＦＤ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＥ∥ＤＦ． １９．解：连接ＢＤ，由题意知，直线ＰＱ是线段ＡＢ的垂直平分线， ∴ＢＤ＝ＡＤ．∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ １０２－８槡 ２＝６． 设ＣＤ＝ｘ，则ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ． 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２，即（８－ｘ）２＝６２＋ｘ２． 解得ｘ＝ ７ ４ ，即ＣＤ＝ ７ ４ ． ２０．解：（１）Ｃ． （２）不彻底；（ａ－２）４． （３）设ａ２－２ａ＝ｂ，则原式＝（ｂ－１）（ｂ＋３）＋４＝ｂ２＋２ｂ＋１＝（ｂ＋１）２＝（ａ２－２ａ＋１）２＝［（ａ－１）２］２＝（ａ－１）４． ２１．证明：连接ＤＥ，ＤＦ，如图所示． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ． ∵在△ＥＢＤ和△ＤＣＦ中， ＢＥ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＤ＝ＣＦ， { ∴△ＥＢＤ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＥ＝ＤＦ． ∵ＤＧ⊥ＥＦ，∴ＤＧ是等腰△ＤＥＦ的中线，∴ＥＧ＝ １ ２ ＥＦ． ２２．解：（１）１００．　【解析】这次随机抽取的部分学生有８÷０．０８＝１００（人），故答案为１００． （２）４０，０．３．　【解析】ａ＝１００×０．４＝４０，ｂ＝３０÷１００＝０．３．故答案为４０，０．３． （３）由（２）知，ａ＝４０，成绩８０≤ｘ＜９０的频数为４０， 补全的频数分布直方图如图所示． （４）２４００×（０．２２＋０．４）＝１４８８（名）． 答：估计不低于８０分的学生有１４８８名． ２３．解：（１）∵ＡＣ＝３００ｋｍ，ＢＣ＝４００ｋｍ，ＡＢ＝５００ｋｍ，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２． ∴△ＡＢＣ是直角三角形，且∠ＡＣＢ＝９０°． （２）海港Ｃ受台风影响．理由：过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ， ∵△ＡＢＣ是直角三角形，∴ １ ２ ×ＡＣ×ＢＣ＝ １ ２ ×ＣＤ×ＡＢ， ∴ １ ２ ×３００×４００＝ １ ２ ×５００×ＣＤ，∴ＣＤ＝２４０ｋｍ． ∵以台风中心为圆心周围２５０ｋｍ以内为受影响区域，２４０＜２５０，∴海港Ｃ受台风影响． （３）当ＥＣ＝２５０ｋｍ，ＦＣ＝２５０ｋｍ时，正好影响Ｃ港口， ∴ＥＤ＝ ＥＣ２－ＣＤ槡 ２＝７０（ｋｍ），∴ＥＦ＝１４０ｋｍ． ∵台风的速度为２０ｋｍ／ｈ，∴１４０÷２０＝７（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为７小时． 真题优化重组卷（四） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ｂ　【解析】由题意知ＢＣ＝ＡＣ，设另一个小球滚动的路程ＢＣ为ｘｃｍ．那么ＡＣ也为ｘｃｍ，则ＯＣ＝（３６ －ｘ）ｃｍ．在Ｒｔ△ＢＯＣ中，由勾股定理得ｘ２－（３６－ｘ）２＝１２２，解得ｘ＝２０．故选Ｂ． １０．Ｄ　【解析】当ｎ＝１，２，３，４，…时，（ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和分别为２，４，８，１６，…，由此可知 （ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和为 ２ｎ，所以（ａ＋ｂ）１０展开式中所有项的系数和是 ２１０＝１０２４．故 选Ｄ． １１．真　１２．１　１３．５或槡７ １４．１８　【解析】∵∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于点Ｏ， ∴∠ＥＢＯ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＣＯ＝∠ＯＣＢ． ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＥＯＢ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＯＣ＝∠ＯＣＢ， ∴∠ＥＯＢ＝∠ＥＢＯ，∠ＦＣＯ＝∠ＦＯＣ． ∴ＯＥ＝ＢＥ，ＯＦ＝ＦＣ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＣＦ，∴ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝ＡＢ＋ＡＣ． ∵△ＡＢＣ的周长比△ＡＥＦ的周长大１２ｃｍ， ∴（ＡＣ＋ＢＣ＋ＡＣ）－（ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ）＝１２ｃｍ，∴ＢＣ＝１２ｃｍ． ∵Ｏ到ＡＢ的距离为３ｃｍ， ∴△ＯＢＣ的面积是 １ ２ ×１２×３＝１８（ｃｍ２）．故答案为１８． １５． ５ ２ 　【解析】过点Ｅ作ＥＰ⊥ＢＡ，交ＢＡ的延长线于点Ｐ，∴∠Ｐ＝∠ＡＨＢ＝９０°． ∵ＡＥ∥ＢＣ．∴∠ＥＡＰ＝∠ＣＢＡ． 在△ＡＥＰ和△ＢＡＨ中， ∠Ｐ＝∠ＡＨＢ， ∠ＰＡＥ＝∠Ｂ， ＡＥ＝ＡＢ， { ∴△ＡＥＰ≌△ＢＡＨ（Ａ．Ａ．Ｓ．）， ∴ＡＰ＝ＢＨ，ＰＥ＝ＡＨ．在Ｒｔ△ＤＥＰ和Ｒｔ△ＣＡＨ中， ＤＥ＝ＡＣ， ＰＥ＝ＡＨ，{ ∴Ｒｔ△ＤＥＰ≌Ｒｔ△ＣＡＨ（Ｈ．Ｌ．）， ∴ＤＰ＝ＣＨ，Ｓ△ＤＰＥ＝Ｓ△ＡＣＨ．　 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＨＣ＝２Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＤＥ＝５Ｓ△ＡＤＥ， ∴Ｓ△ＡＢＨ∶Ｓ△ＡＤＥ＝２∶１，∴ＢＨ∶ＡＤ＝２∶１． ∵ＢＨ＝１，∴ＡＰ＝１，ＡＤ＝ １ ２ ．∴ＤＰ＝ＣＨ＝ＡＰ＋ＡＤ＝１＋ １ ２ ＝３ ２ ， ∴ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝１＋ ３ ２ ＝５ ２ ．故答案为 ５ ２ ． １６．解：（１）原式＝－３＋ ７ ８ －（－ １ ８ ）＝－３＋１＝－２． （２）原式＝－１＋５－３＋槡２－１＝槡２． １７．解：原式＝［ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－（ｘ２－４ｙ２）］÷（－ｙ）＝（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋４ｙ２）÷（－ｙ）＝（－２ｘｙ＋５ｙ２）÷（－ｙ） ＝２ｘ－５ｙ． 当ｘ＝－１，ｙ＝２时，原式＝２×（－１）－５×２＝－２－１０＝－１２． １８．解：已知ＡＣ为旗杆的长，ＡＢ＝ＡＣ＋１，ＢＣ＝５． 已知ＡＣ⊥ＢＣ，则由勾股定理得ＡＣ＝ ＡＢ２－５槡 ２＝ （ＡＣ＋１）２－槡 ２５，解得ＡＣ＝１２． 答：旗杆的高度为１２ｍ． １９．解：（１）Ｓ绿化面积＝（３ａ＋ｂ）（２ａ＋ｂ）－（ａ＋ｂ） ２＝６ａ２＋５ａｂ＋ｂ２－ａ２－２ａｂ－ｂ２＝５ａ２＋３ａｂ（ｍ２） 即绿化的面积是（５ａ２＋３ａｂ）ｍ２． （２）当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为５×２２＋３×２×１＝２６（ｍ２）， 所以当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为２６ｍ２． ２０．证明：（１）∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＡＢＥ和△ＤＢＥ中， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）∵△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ，∴∠ＢＤＥ＝∠Ａ＝１００°． ∵∠Ｃ＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＤＥ－∠Ｃ＝１００°－５０°＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠Ｃ，∴ＥＤ＝ＤＣ， ∴△ＣＤＥ是等腰三角形． ２１．解：（１）０．２５；５４；１２０．　【解析】本次抽取的学生人数ｃ＝２４÷０．２０＝１２０， ａ＝３０÷１２０＝０．２５，ｂ＝１２０×０．４５＝５４． （２）由（１）知，ｂ＝５４，补全的条形统计图如图所示． （３）９０°．　【解析】表示Ａ部分的扇形的圆心角的度数为３６０°×０．２５＝９０°． （４）成绩等级为Ａ和Ｂ的共有２６００×（０．２５＋０．４５）＝１８２０（人）． 答：成绩等级为Ａ和Ｂ的一共有１８２０人． ２２．解：（１）２；４；６． （２）４×１６＝６４，ｌｏｇ２４＋ｌｏｇ２１６＝ｌｏｇ２６４． （３）ｌｏｇａ（ＭＮ）． （４）证明：设ｌｏｇａＭ＝ｘ，ｌｏｇａＮ＝ｙ，则ａ ｘ＝Ｍ，ａｙ＝Ｎ， ∴ＭＮ＝ａｘ·ａｙ＝ａｘ＋ｙ，∴ｘ＋ｙ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）， 即ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）． ２３．解：（１）等边三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∠ＭＡＮ＝１２０°，∴∠Ｍ＝∠Ｎ＝３０°． ∵ＢＥ是线段ＡＭ的垂直平分线，∴ＡＢ＝ＢＭ，∴∠ＭＡＢ＝∠Ｍ＝３０°，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ＝６０°． 同理，ＣＡ＝ＮＣ，∴∠ＮＡＣ＝∠Ｎ＝３０°，∴∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ＝６０°， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等边三角形． （２）△ＡＢＣ是等腰三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∴∠Ｍ＝∠Ｎ， ∵∠ＭＡＢ＝∠Ｍ，∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ，∠ＮＡＣ＝∠Ｎ，∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等腰三角形． （３）当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 【解析】当∠Ｍ＝∠Ｎ时，ＡＢ＝ＡＣ． 当２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°时，∠ＢＡＮ＝９０°，∴ＣＦ∥ＢＡ． ∵ＮＦ＝ＡＦ，∴ＣＮ＝ＢＣ，∴ＡＣ＝ １ ２ ＢＮ＝ＢＣ． 同理，当∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，ＢＡ＝ＢＣ， 综上所述，当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 真题优化重组卷（五） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｄ　８．Ｄ ９．Ｄ　【解析】∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＢＤ是中线，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＤＢＣ＝３０°． 又∵ＣＥ＝ＣＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ． 又∵∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２∠ ＢＣＤ＝３０°， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，故选项Ａ不符合题意． ∴ＤＢ＝ＤＥ，∠ＢＤＥ＝１２０°，故选项Ｂ，Ｃ都不符合题意．故选Ｄ． １０．Ｂ　【解析】∵以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ为直径向外作半圆的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４， ∴Ｓ１＝ １ ２π （ １ ２ ＡＢ）２＝ １ ８π ·ＡＢ２，                                                                                                                                                                                                                  