真题优化重组卷(2)-【培优期末状元卷】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

６７ ６８ ６９ ７０ 参考答案及部分解析 真题优化重组卷（一） １．Ｃ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｄ　７．Ｃ　８．Ｂ　 ９．Ｂ　【解析】如图，连接ＰＢ，ＰＣ，记ＡＣ，ＥＦ交点为点Ｐ′． ∵ＥＦ是ＢＣ的垂直平分线，∴ＰＢ＝ＰＣ． ∵两点之间线段最短， ∴ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＡ＋ＰＣ＝ＡＣ时最小，此时点Ｐ与点Ｐ′重合， ∴ＰＡ＋ＰＢ的最小值即为ＡＣ的长，为８．故选Ｂ． １０．Ｂ　【解析】∵直线ｌ１是ＡＢ的的垂直平分线， ∴ＡＭ＝ＢＭ，ＯＡ＝ＯＢ． ∵直线ｌ２是ＡＣ的的垂直平分线， ∴ＡＮ＝ＣＮ，ＯＡ＝ＯＣ，∴ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＡ＝６ｃｍ， ∵△ＡＭＮ的周长＝ＡＭ＋ＭＮ＋ＡＮ＝ＢＣ．△ＯＢＣ的周长为２２ｃｍ， ∴ＢＣ＝２２－（ＯＢ＋ＯＣ）＝２２－１２＝１０（ｃｍ）， ∴△ＡＭＮ的周长为１０ｃｍ．故选Ｂ． １１．０．６　１２．ｘ（ｘ－２）２　１３．（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）＝ａ２＋３ａｂ＋２ｂ２ １４．１５　【解析】∵∠ＨＥＭ＝∠ＡＥＨ，∠ＢＥＦ＝∠ＦＥＭ． ∴∠ＨＥＦ＝∠ＨＥＭ＋∠ＦＥＭ＝ １ ２ ×１８０°＝９０°， 同理可得：∠ＥＨＧ＝∠ＨＧＦ＝∠ＥＦＧ＝９０°， ∴四边形ＥＦＧＨ为矩形． ∵ＡＤ＝ＡＨ＋ＨＤ＝ＨＭ＋ＭＦ＝ＨＦ，ＨＦ＝ ＥＨ２＋ＥＦ槡 ２＝ ９２＋１２槡 ２＝１５，∴ＡＤ＝１５ｃｍ． １５．３或 １５ ４ 　【解析】设点Ｑ的运动速度为ｘｃｍ／ｓ，运动的时间为ｔｓ，则ＢＰ＝３ｔｃｍ，ＣＱ＝ｘｔｃｍ，ＰＣ＝（８－ ３ｔ）ｃｍ． ∵点Ｄ为ＡＢ的中点，∴ＢＤ＝５ｃｍ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ， ∴当ＢＤ＝ＣＰ，ＢＰ＝ＣＱ时，△ＢＤＰ≌△ＣＰＱ， 即８－３ｔ＝５，３ｔ＝ｘｔ，解得ｔ＝１，ｘ＝３； 当ＢＤ＝ＣＱ，ＢＰ＝ＣＰ时，△ＢＤＰ≌△ＣＱＰ， 即ｘｔ＝５，３ｔ＝８－３ｔ，解得ｔ＝ ４ ３ ，ｘ＝ １５ ４ ， 综上所述，点Ｑ的运动速度为３ｃｍ／ｓ或 １５ ４ ｃｍ／ｓ．故答案为为３ｃｍ／ｓ或 １５ ４ ｃｍ／ｓ． １６．解：（１）原式＝－１－（２－槡３）＋９－３＝－１－２＋槡３＋６＝３＋槡３． （２）原式＝２＋２＋槡２－１＝３＋槡２． １７．解：原式＝４ｘ２－１２ｘ＋９＋ｘ２－１６＋１０ｘ－５ｘ２＝－２ｘ－７． 当ｘ＝－ １ ２ 时，原式＝－２×（－ １ ２ ）－７＝－６． １８．解：∵ｘ＋３的立方根为２，∴ｘ＋３＝２３，解得ｘ＝５． ∵３ｘ＋ｙ－１的平方根为±４，∴３ｘ＋ｙ－１＝（±４）２，∴１５＋ｙ－１＝１６，解得ｙ＝２， ∴ ３ｘ＋５槡 ｙ＝ ３×５＋５×槡 ２＝槡２５＝５，即３ｘ＋５ｙ的算术平方根是５． １９．（１）解：如图，直线ＢＦ就是要求作的垂线． （２）解：如图，点Ｃ就是所要求作的点． （３）证明：如图，∵ＡＥ⊥ｌ，∴∠ＡＥＣ＝９０°，∠１＋∠２＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠３＋∠２＝９０°，∴∠１＝∠３． 在△ＡＥＣ和△ＣＦＢ中，∠ＡＥＣ＝∠ＣＦＢ，∠１＝∠３，ＡＣ＝ＣＢ， ∴△ＡＥＣ≌△ＣＦＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． ２０．解：在Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２， 设秋千的绳索长为ｘｍ，则ＡＣ＝（ｘ－１）ｍ， 故ｘ２＝４２＋（ｘ－１）２，解得：ｘ＝８．５， 答：绳索ＡＤ的长度是８．５ｍ． ２１．解：（１）２００．【解析】３０÷１５％＝２００（人）． （２）２００－８０－４０－３０＝５０（人）， ∴书画的人数为５０人， ∴补全的条形统计图如图所示． 　　　　 （３）２０；７２°．【解析】４０÷２００×１００％＝２０％，∴ａ＝２０； ∴喜欢艺术活动的学生人数所对应圆心角的度数为３６０°×２０％＝７２°． （４）８０÷２００×１００％＝４０％，１８００×４０％＝７２０（人）． 答：全校喜欢器乐的学生人数是７２０人． ２２．证明：（１）①∵ＡＤ⊥ＭＮ，ＢＥ⊥ＭＮ，∴∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＋∠ＤＡＣ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＥ＝９０°，∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＥ． 在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中， ∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ， ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＥ， ＡＣ＝ＢＣ， { ∴△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． ②由①得：△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ，∴ＡＤ＝ＣＥ，ＣＤ＝ＢＥ，∴ＤＥ＝ＣＥ－ＣＤ＝ＡＤ－ＢＥ． （２）∵ＡＤ⊥ＭＮ，ＢＥ⊥ＭＮ，∴∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＣＥ． ∵在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中， ∠ＣＡＤ＝∠ＢＣＥ， ∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ， ＡＣ＝ＢＣ， { ∴△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ，∴ＣＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＢＥ，∴ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝ＢＥ－ＡＤ． ２３．解：（１）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ上的高， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＤＣ＝９０°． ∵∠ＢＡＤ＝３０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ＝３０°． ∵ＡＤ＝ＡＥ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝７５°， ∴∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＥ＝１５°． （２）２０°．　【解析】同（１）得∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．又∵∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＢＡＤ＝４０°，ＡＤ＝ＡＥ，∴∠ＡＤＥ＝ ∠ＡＥＤ＝７０°，∴∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＥ＝２０°． （３）∠ＢＡＤ＝２∠ＥＤＣ（或∠ＥＤＣ＝ １ ２∠ ＢＡＤ）． 证明：∵∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ，∴∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ． ∵ＡＤ＝ＡＥ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ． ∵∠ＡＥＤ＝∠ＥＤＣ＋∠Ｃ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＣ＋∠Ｃ， ∴∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝∠ＥＤＣ＋∠Ｃ＋∠ＥＤＣ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ，∴∠ＢＡＤ＝２∠ＥＤＣ． 真题优化重组卷（二） １．Ｃ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ｂ　６．Ｃ　７．Ｃ　８．Ｃ ９．Ｃ　【解析】∵∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，∠Ａ＝∠Ｅ，∴当ＡＢ＝ＥＤ时，可用Ａ．Ｓ．Ａ．判定△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ；当ＡＣ＝ ＥＦ时，可用Ａ．Ａ．Ｓ．判定△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ；当 ＢＦ＝ＤＣ时，可得 ＢＣ＝ＤＦ，可用 Ａ．Ａ．Ｓ．判定△ＡＢＣ≌ △ＥＤＦ；当ＡＣ∥ＥＦ时，无法得到边相等，故不能判定△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ．故选Ｃ． １０．Ｄ　【解析】如图，由题意得：ＳＡ＝１，由勾股定理得：ＳＢ＋ＳＣ＝１， ∴“生长”了１次后形成的图形中所有的正方形的面积和为２．同理可得：“生长”了 ２次后形成的图形中所有的正方形面积和为３，“生长”了３次后形成的图形中所有 正方形的面积和为４，… ∴“生长”了２０２２次后形成的图形中所有的正方形的面积和是２０２３．故选Ｄ． １１．槡２－１　１２．－２　１３．１６ １４．１４　【解析】∵ＡＢ＝６，ＡＣ＝９，ＢＣ＝１１，ＡＥ＝ＡＢ，∴ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ＝９－６＝３． 由作图方法可得：ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． ∵在△ＡＢＤ和△ＡＥＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ， { ∴△ＡＢＤ≌△ＡＥＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ），∴ＢＤ＝ＤＥ， ∴△ＤＥＣ的周长为：ＤＥ＋ＥＣ＋ＤＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＋ＥＣ＝ＢＣ＋ＥＣ＝１１＋３＝１４．故答案为１４． １５．２０°或１００°　【解析】设∠Ｂ的平行线与ＡＣ交于点Ｅ，根据等腰三角形的性质以及角平分线的定 义得到∠ＡＢＥ＝ １ ２∠ ＡＢＣ＝ １ ４ （１８０°－∠Ａ），当∠ＢＥＣ＝６０°时，根据三角形外角的性质得到 １ ４ （１８０°－∠Ａ）＋∠Ａ＝６０°，即可求得∠Ａ＝２０°；当∠ＡＥＢ＝６０°时，根据三角形内角和定理得到 １ ４ （１８０°－∠Ａ）＋∠Ａ＋６０°＝１８０°，即可求得∠Ａ＝１００°．故答案为２０°或１００°． １６．解：（１）原式＝－３－９＋３＋９＝０． （２）原式＝ ５ ２ ×８－２×１０＋１＝２０－２０＋１＝１． １７．解：（１）原式＝３ｘ（１－９ｘ２ｙ２）＝３ｘ（１＋３ｘｙ）（１－３ｘｙ）． （２）原式＝３ａ（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２）＝３ａ（ｘ－ｙ）２． １８．解：（１）如图所示． （２）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，∴ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝４． ∵ＤＥ为ＡＢ的垂直平分线，∴ＤＡ＝ＤＢ， ∴△ＢＣＤ的周长＝ＢＣ＋ＢＤ＋ＣＤ＝ＢＣ＋ＡＤ＋ＣＤ＝ＢＣ＋ＡＣ＝３＋４＝７（ｃｍ）． １９．解：如图２，作Ａ′Ｆ⊥ＢＤ，垂足为点Ｆ． ∵ＡＣ⊥ＢＤ，∴∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＦＢ＝９０°． 在Ｒｔ△Ａ′ＦＢ中，∠１＋∠３＝９０°．又∵Ａ′Ｂ⊥ＡＢ，∴∠１＋∠２＝９０°，∴∠２＝∠３． 在△ＡＣＢ和△ＢＦＡ′中， ∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＦＢ ∠２＝∠３ ＡＢ＝Ａ′Ｂ { ， ∴△ＡＣＢ≌△ＢＦＡ′（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴Ａ′Ｆ＝ＢＣ． ∵ＡＣ∥ＤＥ且ＣＤ⊥ＡＣ，ＡＥ⊥ＤＥ，∴ＣＤ＝ＡＥ＝１．５ｍ， ∴ＢＣ＝ＢＤ－ＣＤ＝２．５－１．５＝１（ｍ），∴Ａ′Ｆ＝１ｍ， 即Ａ′到ＢＤ的距离是１ｍ． ２０．解：（１）３６°．　【解析】（１－４５％－５％－４０％）×３６０°＝３６°． （２）６０；１４．　【解析】３８０×４５％－６７－４４＝６０；６０－１８－１３－１２－３＝１４． （３）依题意，得４５％×６０＝２７． 答：唐老师应安排２７课时复习“数与代数”内容． ２１．解：（１）如图，连接ＡＤ， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＣＤ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＤ＝４５°，∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝４５°， ∴ＡＤ＝ＢＤ，∠ＡＤＢ＝９０°． 在△ＤＡＥ和△ＤＢＦ中， ＡＥ＝ＢＦ ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ＝４５° ＡＤ＝ＢＤ { ， ∴△ＤＡＥ≌△ＤＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＥ＝ＤＦ． （２）∵△ＤＡＥ≌△ＤＢＦ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＦ，ＤＥ＝ＤＦ． ∵∠ＢＤＦ＋∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＡＤＦ＝９０°， ∴△ＤＥＦ为等腰直角三角形． ２２．解：（１）由完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２得，ａｂ＝ （ａ＋ｂ）２－（ａ２＋ｂ２） ２ ， ∴当ｘ＋ｙ＝８，ｘ２＋ｙ２＝３０时，ｘｙ＝ ８２－３０ ２ ＝６４ －３０ ２ ＝３４ ２ ＝１７． （２）①１０．　【解析】由完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２得，ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ． 当（４－ｘ）ｘ＝３时，（４－ｘ）２＋ｘ２＝［（４－ｘ）＋ｘ］２－２（４－ｘ）ｘ＝４２－２×３＝１６－６＝１０．故答案为１０． ②１６．　【解析】由完全平方公式（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２得，ａ２＋ｂ２＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ．当（３－ｘ）（５－ｘ）＝６ 时，（３－ｘ）２＋（５－ｘ）２＝［（３－ｘ）－（５－ｘ）］２＋２（３－ｘ）（５－ｘ）＝（－２）２＋２×６＝４＋１２＝１６．故答案为１６． （３）由完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２得， ａｂ ２ ＝（ａ ＋ｂ）２－（ａ２＋ｂ２） ４ ． 当ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＝１０，ＡＣ２＋ＢＣ２＝Ｓ１＋Ｓ２＝５２时， 图中阴影部分面积＝ ＡＣ·ＢＣ ２ ＝（ＡＣ ＋ＢＣ）２－（ＡＣ２＋ＢＣ２） ４ ＝１０ ２－５２ ４ ＝１００ －５２ ４ ＝４８ ４ ＝１２． ２３．解：（１）∠ＥＤＣ＝１８０°－∠ＡＤＢ－∠ＡＤＥ＝１８０°－１１５°－４０°＝２５°； ∠ＤＥＣ＝１８０°－∠ＥＤＣ－∠Ｃ＝１８０°－２５°－４０°＝１１５°； 当点Ｄ从Ｂ向Ｃ运动时，∠ＢＤＡ逐渐变小．故答案为２５°，１１５°，小． （２）当ＤＣ＝２时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ．理由： ∵∠Ｃ＝４０°，∴∠ＤＥＣ＋∠ＥＤＣ＝１４０°． 又∵∠ＡＤＥ＝４０°，∴∠ＡＤＢ＋∠ＥＤＣ＝１４０°．∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ． 又∵ＡＢ＝ＤＣ＝２，∠Ｂ＝∠Ｃ＝４０°，∴△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． （３）可以．当∠ＢＤＡ的度数为１１０°或８０°时，△ＡＤＥ是等腰三角形． 当ＡＤ＝ＤＥ时，∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．∵∠ＥＣＤ＝４０°． ∠ＡＤＥ＝４０°，∴∠ＤＡＣ＝７０°，∠ＥＤＣ＝３０°， ∴∠ＢＤＡ＝１８０°－∠ＡＤＥ－∠ＥＤＣ＝１１０°； 当ＡＥ＝ＤＥ时，∠ＥＡＤ＝∠ＡＤＥ＝４０°，∴∠ＡＥＤ＝１００°，∴∠ＥＤＣ＝６０°，∴∠ＢＤＡ＝８０°． 同理，当ＡＤ＝ＡＥ时，不存在此种情况． 综上，当∠ＢＤＡ的度数为１１０°或８０°时，△ＡＤＥ是等腰三角形．                                                                                                                                                                                                                   ７１ ７２ ７３ ７４ 真题优化重组卷（三） １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｃ　 ８．Ｂ　【解析】∵Ｂ＋Ａ＝２ｘ２－ｘ，Ａ＝２ｘ，∴Ｂ＝２ｘ２－ｘ－２ｘ＝２ｘ２－３ｘ，∴Ｂ÷Ａ＝（２ｘ２－３ｘ）÷２ｘ＝ｘ－ ３ ２ ．故选Ｂ． ９．Ａ　【解析】设绳索ＡＣ的长为ｘ尺，则木柱ＡＢ的长为（ｘ－３）尺，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＡＣ２ －ＡＢ２＝ＢＣ２，ｘ２－（ｘ－３）２＝８２，解得ｘ＝ ７３ ６ ．绳索长为 ７３ ６ 尺．故选Ａ． １０．Ｄ　【解析】图１中，当有２点Ｄ，Ｅ时，有１＋２＝３对全等三角形；图２中，当有３点Ｄ，Ｅ，Ｆ时，有１＋ ２＋３＝６对全等三角形；图３中，当有４点时，有１＋２＋３＋４＝１０对全等三角形；……图ｎ中，当有（ｎ ＋１）个点时，图中有 （ｎ＋１）（ｎ＋２） ２ 个全等三角形，当ｎ＝１７时，全等三角形的对数是 １８×１９ ２ ＝１７１．故 选Ｄ． １１．－５　１２．± １ ２ 　１３．５４０ １４．４　【解析】∵勾ＡＥ＝６，弦ＡＤ＝弦ＡＢ＝１０，∴股ＤＥ＝ １０２－６槡 ２＝８， ∴小正方形的边长＝８－６＝２，∴小正方形的面积＝２２＝４．故答案为４． １５．槡１０　【解析】在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ．∵ＤＦ⊥ＡＦ，ＢＥ⊥ＡＥ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°； ∵∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝９０°，∴∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ． 在Ｒｔ△ＡＦＤ和Ｒｔ△ＢＥＡ中， ∠ＡＦＤ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＥ， ＡＤ＝ＡＢ， { ∴Ｒｔ△ＡＦＤ≌Ｒｔ△ＢＥＡ（Ａ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＦ＝ＡＥ＝３，ＡＦ＝ＢＥ＝１． 在Ｒｔ△ＢＥＡ中，由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＥ２＋ＢＥ槡 ２＝ ３２＋１槡 ２＝槡１０．故答案为槡１０． １６．解：（１）原式＝－１＋２－（π－３）＝－１＋２－π＋３＝４－π． （２）原式＝ｘｙ（ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２）＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）２． １７．解：原式＝（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－４ｙ２＋２ｘｙ）÷２ｘ＝（ｘ２－２ｘｙ）÷２ｘ＝ １ ２ ｘ－ｙ， 当ｘ＝２槡２，ｙ＝槡２时，原式＝ １ ２ ×２槡２－槡２＝槡２－槡２＝０． １８．证明：∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＣＥ＋ＥＦ＝ＥＦ＋ＢＦ，∴ＣＦ＝ＢＥ． 在△ＣＤＦ和△ＢＡＥ中， ＤＦ＝ＡＥ， ＡＢ＝ＤＣ， ＣＦ＝ＢＥ， { ∴△ＣＤＦ≌△ＢＡＥ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．），∴∠ＣＦＤ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＥ∥ＤＦ． １９．解：连接ＢＤ，由题意知，直线ＰＱ是线段ＡＢ的垂直平分线， ∴ＢＤ＝ＡＤ．∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ １０２－８槡 ２＝６． 设ＣＤ＝ｘ，则ＢＤ＝ＡＤ＝８－ｘ． 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２，即（８－ｘ）２＝６２＋ｘ２． 解得ｘ＝ ７ ４ ，即ＣＤ＝ ７ ４ ． ２０．解：（１）Ｃ． （２）不彻底；（ａ－２）４． （３）设ａ２－２ａ＝ｂ，则原式＝（ｂ－１）（ｂ＋３）＋４＝ｂ２＋２ｂ＋１＝（ｂ＋１）２＝（ａ２－２ａ＋１）２＝［（ａ－１）２］２＝（ａ－１）４． ２１．证明：连接ＤＥ，ＤＦ，如图所示． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ． ∵在△ＥＢＤ和△ＤＣＦ中， ＢＥ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＤ＝ＣＦ， { ∴△ＥＢＤ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．），∴ＤＥ＝ＤＦ． ∵ＤＧ⊥ＥＦ，∴ＤＧ是等腰△ＤＥＦ的中线，∴ＥＧ＝ １ ２ ＥＦ． ２２．解：（１）１００．　【解析】这次随机抽取的部分学生有８÷０．０８＝１００（人），故答案为１００． （２）４０，０．３．　【解析】ａ＝１００×０．４＝４０，ｂ＝３０÷１００＝０．３．故答案为４０，０．３． （３）由（２）知，ａ＝４０，成绩８０≤ｘ＜９０的频数为４０， 补全的频数分布直方图如图所示． （４）２４００×（０．２２＋０．４）＝１４８８（名）． 答：估计不低于８０分的学生有１４８８名． ２３．解：（１）∵ＡＣ＝３００ｋｍ，ＢＣ＝４００ｋｍ，ＡＢ＝５００ｋｍ，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２． ∴△ＡＢＣ是直角三角形，且∠ＡＣＢ＝９０°． （２）海港Ｃ受台风影响．理由：过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ， ∵△ＡＢＣ是直角三角形，∴ １ ２ ×ＡＣ×ＢＣ＝ １ ２ ×ＣＤ×ＡＢ， ∴ １ ２ ×３００×４００＝ １ ２ ×５００×ＣＤ，∴ＣＤ＝２４０ｋｍ． ∵以台风中心为圆心周围２５０ｋｍ以内为受影响区域，２４０＜２５０，∴海港Ｃ受台风影响． （３）当ＥＣ＝２５０ｋｍ，ＦＣ＝２５０ｋｍ时，正好影响Ｃ港口， ∴ＥＤ＝ ＥＣ２－ＣＤ槡 ２＝７０（ｋｍ），∴ＥＦ＝１４０ｋｍ． ∵台风的速度为２０ｋｍ／ｈ，∴１４０÷２０＝７（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为７小时． 真题优化重组卷（四） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ｂ　【解析】由题意知ＢＣ＝ＡＣ，设另一个小球滚动的路程ＢＣ为ｘｃｍ．那么ＡＣ也为ｘｃｍ，则ＯＣ＝（３６ －ｘ）ｃｍ．在Ｒｔ△ＢＯＣ中，由勾股定理得ｘ２－（３６－ｘ）２＝１２２，解得ｘ＝２０．故选Ｂ． １０．Ｄ　【解析】当ｎ＝１，２，３，４，…时，（ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和分别为２，４，８，１６，…，由此可知 （ａ＋ｂ）ｎ展开式的各项系数之和为 ２ｎ，所以（ａ＋ｂ）１０展开式中所有项的系数和是 ２１０＝１０２４．故 选Ｄ． １１．真　１２．１　１３．５或槡７ １４．１８　【解析】∵∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于点Ｏ， ∴∠ＥＢＯ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＣＯ＝∠ＯＣＢ． ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＥＯＢ＝∠ＯＢＣ，∠ＦＯＣ＝∠ＯＣＢ， ∴∠ＥＯＢ＝∠ＥＢＯ，∠ＦＣＯ＝∠ＦＯＣ． ∴ＯＥ＝ＢＥ，ＯＦ＝ＦＣ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＣＦ，∴ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝ＡＢ＋ＡＣ． ∵△ＡＢＣ的周长比△ＡＥＦ的周长大１２ｃｍ， ∴（ＡＣ＋ＢＣ＋ＡＣ）－（ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ）＝１２ｃｍ，∴ＢＣ＝１２ｃｍ． ∵Ｏ到ＡＢ的距离为３ｃｍ， ∴△ＯＢＣ的面积是 １ ２ ×１２×３＝１８（ｃｍ２）．故答案为１８． １５． ５ ２ 　【解析】过点Ｅ作ＥＰ⊥ＢＡ，交ＢＡ的延长线于点Ｐ，∴∠Ｐ＝∠ＡＨＢ＝９０°． ∵ＡＥ∥ＢＣ．∴∠ＥＡＰ＝∠ＣＢＡ． 在△ＡＥＰ和△ＢＡＨ中， ∠Ｐ＝∠ＡＨＢ， ∠ＰＡＥ＝∠Ｂ， ＡＥ＝ＡＢ， { ∴△ＡＥＰ≌△ＢＡＨ（Ａ．Ａ．Ｓ．）， ∴ＡＰ＝ＢＨ，ＰＥ＝ＡＨ．在Ｒｔ△ＤＥＰ和Ｒｔ△ＣＡＨ中， ＤＥ＝ＡＣ， ＰＥ＝ＡＨ，{ ∴Ｒｔ△ＤＥＰ≌Ｒｔ△ＣＡＨ（Ｈ．Ｌ．）， ∴ＤＰ＝ＣＨ，Ｓ△ＤＰＥ＝Ｓ△ＡＣＨ．　 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＨＣ＝２Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＡＤＥ＝５Ｓ△ＡＤＥ， ∴Ｓ△ＡＢＨ∶Ｓ△ＡＤＥ＝２∶１，∴ＢＨ∶ＡＤ＝２∶１． ∵ＢＨ＝１，∴ＡＰ＝１，ＡＤ＝ １ ２ ．∴ＤＰ＝ＣＨ＝ＡＰ＋ＡＤ＝１＋ １ ２ ＝３ ２ ， ∴ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝１＋ ３ ２ ＝５ ２ ．故答案为 ５ ２ ． １６．解：（１）原式＝－３＋ ７ ８ －（－ １ ８ ）＝－３＋１＝－２． （２）原式＝－１＋５－３＋槡２－１＝槡２． １７．解：原式＝［ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－（ｘ２－４ｙ２）］÷（－ｙ）＝（ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋４ｙ２）÷（－ｙ）＝（－２ｘｙ＋５ｙ２）÷（－ｙ） ＝２ｘ－５ｙ． 当ｘ＝－１，ｙ＝２时，原式＝２×（－１）－５×２＝－２－１０＝－１２． １８．解：已知ＡＣ为旗杆的长，ＡＢ＝ＡＣ＋１，ＢＣ＝５． 已知ＡＣ⊥ＢＣ，则由勾股定理得ＡＣ＝ ＡＢ２－５槡 ２＝ （ＡＣ＋１）２－槡 ２５，解得ＡＣ＝１２． 答：旗杆的高度为１２ｍ． １９．解：（１）Ｓ绿化面积＝（３ａ＋ｂ）（２ａ＋ｂ）－（ａ＋ｂ） ２＝６ａ２＋５ａｂ＋ｂ２－ａ２－２ａｂ－ｂ２＝５ａ２＋３ａｂ（ｍ２） 即绿化的面积是（５ａ２＋３ａｂ）ｍ２． （２）当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为５×２２＋３×２×１＝２６（ｍ２）， 所以当ａ＝２，ｂ＝１时，绿化面积为２６ｍ２． ２０．证明：（１）∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＡＢＥ和△ＤＢＥ中， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， { ∴△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）∵△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ，∴∠ＢＤＥ＝∠Ａ＝１００°． ∵∠Ｃ＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＤＥ－∠Ｃ＝１００°－５０°＝５０°，∴∠ＤＥＣ＝∠Ｃ，∴ＥＤ＝ＤＣ， ∴△ＣＤＥ是等腰三角形． ２１．解：（１）０．２５；５４；１２０．　【解析】本次抽取的学生人数ｃ＝２４÷０．２０＝１２０， ａ＝３０÷１２０＝０．２５，ｂ＝１２０×０．４５＝５４． （２）由（１）知，ｂ＝５４，补全的条形统计图如图所示． （３）９０°．　【解析】表示Ａ部分的扇形的圆心角的度数为３６０°×０．２５＝９０°． （４）成绩等级为Ａ和Ｂ的共有２６００×（０．２５＋０．４５）＝１８２０（人）． 答：成绩等级为Ａ和Ｂ的一共有１８２０人． ２２．解：（１）２；４；６． （２）４×１６＝６４，ｌｏｇ２４＋ｌｏｇ２１６＝ｌｏｇ２６４． （３）ｌｏｇａ（ＭＮ）． （４）证明：设ｌｏｇａＭ＝ｘ，ｌｏｇａＮ＝ｙ，则ａ ｘ＝Ｍ，ａｙ＝Ｎ， ∴ＭＮ＝ａｘ·ａｙ＝ａｘ＋ｙ，∴ｘ＋ｙ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）， 即ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ＝ｌｏｇａ（ＭＮ）． ２３．解：（１）等边三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∠ＭＡＮ＝１２０°，∴∠Ｍ＝∠Ｎ＝３０°． ∵ＢＥ是线段ＡＭ的垂直平分线，∴ＡＢ＝ＢＭ，∴∠ＭＡＢ＝∠Ｍ＝３０°，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ＝６０°． 同理，ＣＡ＝ＮＣ，∴∠ＮＡＣ＝∠Ｎ＝３０°，∴∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ＝６０°， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等边三角形． （２）△ＡＢＣ是等腰三角形，理由：∵ＡＭ＝ＡＮ，∴∠Ｍ＝∠Ｎ， ∵∠ＭＡＢ＝∠Ｍ，∠ＡＢＣ＝∠Ｍ＋∠ＭＡＢ，∠ＮＡＣ＝∠Ｎ，∠ＡＣＢ＝∠Ｎ＋∠ＮＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等腰三角形． （３）当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 【解析】当∠Ｍ＝∠Ｎ时，ＡＢ＝ＡＣ． 当２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°时，∠ＢＡＮ＝９０°，∴ＣＦ∥ＢＡ． ∵ＮＦ＝ＡＦ，∴ＣＮ＝ＢＣ，∴ＡＣ＝ １ ２ ＢＮ＝ＢＣ． 同理，当∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，ＢＡ＝ＢＣ， 综上所述，当∠Ｍ＝∠Ｎ或２∠Ｍ＋∠Ｎ＝９０°或∠Ｍ＋２∠Ｎ＝９０°时，△ＡＢＣ是等腰三角形． 真题优化重组卷（五） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｄ　８．Ｄ ９．Ｄ　【解析】∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＢＤ是中线，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＤＢＣ＝３０°． 又∵ＣＥ＝ＣＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ． 又∵∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２∠ ＢＣＤ＝３０°， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，故选项Ａ不符合题意． ∴ＤＢ＝ＤＥ，∠ＢＤＥ＝１２０°，故选项Ｂ，Ｃ都不符合题意．故选Ｄ． １０．Ｂ　【解析】∵以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ为直径向外作半圆的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４， ∴Ｓ１＝ １ ２π （ １ ２ ＡＢ）２＝ １ ８π ·ＡＢ２，                                                                                                                                                                                                                   ７ ８ ９ ! " : # $ : % & : ! " # $ % # ! " # $ % 　　　　　　　　　　真题优化重组卷（二） 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 　　　　　　　　时间：１００分钟　　　　　　　满分：１２０分 　　　　　　　　　　　八年级上册·数学 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．估计槡１７＋１的值在 （　　） Ａ．３和４之间 Ｂ．４和５之间 Ｃ．５和６之间 Ｄ．６和７之间 ２．下列实数：π，－０．３３３…，槡 ２ ２ ，０， ３５５ １１３ ， ３－槡２７，０．１０１００１０００１…，其中属于无理数的个数是 （　　） Ａ．５个 Ｂ．４个 Ｃ．３个 Ｄ．２个 ３．下列长度的三条线段：①８，１５，１７；②４，５，６；③７．５，４，８．５；④２４，２５，７；⑤５，８，１７．其中能构成直角 三角形的是 （　　） Ａ．①②④ Ｂ．②④⑤ Ｃ．①③⑤ Ｄ．①③④ ４．要使多项式（－ｘ２＋ａｘ＋１）（－６ｘ－ｂ）展开后不含ｘ的二次项，则ａ与ｂ的关系是 （　　） Ａ．ｂ＝６ａ Ｂ．ａｂ＝６ Ｃ．ｂ＝－６ａ Ｄ．ａｂ＝－６ ５．下列命题的逆命题是真命题的是 （　　） Ａ．三角形的外角和是３６０° Ｂ．等腰三角形的两底角相等 Ｃ．全等三角形的对应角相等 Ｄ．真命题的逆命题是真命题 ６．某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛５０次，落地后正面朝上３０次，反面朝上２０次，下列说 法正确的是 （　　） Ａ．出现正面的频率是３０ Ｂ．出现正面的频率是２０ Ｃ．出现正面的频率是０．６ Ｄ．出现正面的频率是０．４ ７．如图所示，数轴上的点Ａ所表示的数为ａ，则ａ的值是 （　　） Ａ．槡６＋１ Ｂ．－槡５＋１ Ｃ．槡５－１ Ｄ．槡５ ８．若△ＡＢＣ的三边ａ，ｂ，ｃ，满足（ａ－ｂ）＋ａ２＋ｂ２－ｃ２ ＝０，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 ９．如图，在△ＡＢＣ与△ＥＤＦ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，∠Ａ＝∠Ｅ，点 Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上，添加下 列条件后，仍不能判定△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＥＤ Ｂ．ＡＣ＝ＥＦ Ｃ．ＡＣ∥ＥＦ Ｄ．ＢＦ＝ＤＣ 第９题图 　　　　　　 第１０题图 １０．有一个边长为１的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角 形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图１）；再分别以这两个正 方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边， 向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图２），……如果继续“生长”下去，它将变得“枝 繁叶茂”．请你算出“生长”了２０２２次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２０２０ Ｃ．２０２１ Ｄ．２０２３ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．１－槡２的相反数是　　　　． １２．现规定一种运算：ａ※ｂ＝ａｂ＋ａ－ｂ，其中ａ，ｂ为实数，则槡１６※ ３－槡 ８等于　　　　． １３．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ａ∶ｂ＝３∶４，ｃ＝２０ｃｍ， 则 ｂ＝　　　　ｃｍ． １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＡＣ＝９，ＢＣ＝１１，以 Ａ为圆心，以适当的长为半 径作弧，交ＡＢ于点 Ｍ，交 ＡＣ于点 Ｎ．分别以 Ｍ，Ｎ为圆心，以大于 １ ２ ＭＮ 的长为半径作弧，两弧在∠ＢＡＣ的内部相交于点Ｐ，作射线ＡＰ，交ＢＣ于 点Ｄ，点Ｅ在ＡＣ边上，ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ，则△ＣＤＥ的周长为　　　　． １５．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ的角平分线与ＡＣ边所夹的锐角为６０°，则∠Ａ的度数等于　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，满分７５分） １６．（８分）计算： （１）３－槡 ２７－３ ２＋ （－３）槡 ２＋槡８１；　　　　　（２）－ ５ ２ ×２３－槡４× ３ 槡１０００＋（－１） ２０２２． １７．（８分）因式分解： （１）３ｘ－２７ｘ３ｙ２； （２）３ａｘ２－６ａｘｙ＋３ａｙ２． １８．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）用尺规作图作ＡＢ边上的垂直平分线ＤＥ，交ＡＣ于点Ｄ，交ＡＢ于点Ｅ（保留作图痕迹，不要 求写作法和证明）； （２）在（１）的条件下，连接ＢＤ，当ＢＣ＝３ｃｍ，ＡＢ＝５ｃｍ时，求△ＢＣＤ的周长． 　　　 １９．（９分）如图２，是小朋友荡秋千的侧面简化示意图，静止时秋千位于铅垂线ＢＤ上，转轴点Ｂ到 地面的距离ＢＤ＝２．５ｍ．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点Ａ时，测得点Ａ到ＢＤ的距 离ＡＣ＝１．５ｍ，点Ａ到地面的距离ＡＥ＝１．５ｍ，当他从Ａ处摆动到Ａ′处时，若Ａ′Ｂ⊥ＡＢ，求Ａ′到 ＢＤ的距离．                                                                                                                                             １０ １１ １２ ２０．（１０分）在结束了３８０课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排６０课时用于总复习， 根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图１～图３），请根据图表提供的信息，回答下 列问题． （１）图１中“统计与概率”所在扇形的圆心角为　　　　； （２）图２、３中的ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　； （３）在６０课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？ ２１．（１０分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，ＡＥ＝ＢＦ．求证： （１）ＤＥ＝ＤＦ； （２）△ＤＥＦ为等腰直角三角形． ２２．（１０分）完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若ａ＋ｂ＝３，ａｂ＝１，求ａ２＋ｂ２的值． 解：∵ａ＋ｂ＝３，ａｂ＝１， ∴（ａ＋ｂ）２＝９，２ａｂ＝２， ∴ａ２＋ｂ２＋２ａｂ＝９，得ａ２＋ｂ２＝７． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． （１）若ｘ＋ｙ＝８，ｘ２＋ｙ２＝３０，求ｘｙ的值； （２）请直接写出下列问题的答案． ①若（４－ｘ）ｘ＝３，则（４－ｘ）２＋ｘ２＝　　　　； ②若（３－ｘ）（５－ｘ）＝６，则（３－ｘ）２＋（５－ｘ）２＝　　　　； （３）如图，点Ｃ是线段ＡＢ上的一点，以ＡＣ，ＢＣ为边向两边作正方形，设ＡＢ＝１０，两正方形的面 积和Ｓ１＋Ｓ２＝５２，求图中阴影部分面积． ２３．（１１分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠Ｂ＝∠Ｃ＝４０°，点Ｄ在线段ＢＣ上运动（点Ｄ不与Ｂ，Ｃ 重合），连接ＡＤ，作∠ＡＤＥ＝４０°，ＤＥ交线段ＡＣ于点Ｅ． （１）当∠ＢＤＡ＝１１５°时，∠ＥＤＣ＝　　　　，∠ＤＥＣ＝　　　　；当点 Ｄ从点 Ｂ向点 Ｃ运动时， ∠ＢＤＡ逐渐变　　　　（填“大”或“小”）； （２）当ＤＣ等于多少时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ，请说明理由； （３）在点Ｄ的运动过程中，△ＡＤＥ可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠ＢＤＡ的度数； 若不可以，请说明理由．                                                                                                                                            