3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 冷却塔 巴西利亚大教堂 北京摩天大楼 法拉利主题公园 花瓶 罗兰导航系统原理 学习目标 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 01 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想 03 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 02 学习重点 学习难点 双曲线的定义、标准方程 双曲线标准方程的推导 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 2.椭圆的标准方程: 问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 知识回顾 新课导入 我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?下面我们先用信息技术探究一下. 合作探究 数 学 实 验 [1]取一条拉链； [2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点； [3] 拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？ 7 解惑提高 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支. 8 解惑提高 定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数 的点的轨迹叫做 双曲线. （小于︱F1F2︱） ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支. ③此常数记为2a，则a<c. 2 F F 1 M 9 解惑提高 双曲线的一支 两条射线 1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？ 2、若常数2a=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线 4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？ 轨迹不存在 3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？ | |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 | 10 合作探究 x 双曲线标准方程的推导 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立直角坐标系 设 点 列 式 化 简 (“对称”、“简洁”) F 2 F 1 M O y 1. 建系. 　以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系. 2.设点. 设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）, 非零常数等于2a （a>0） ，则F1(-c,0),F2(c,0). 11 温故知新 x F 2 F 1 M O y 3.列式． 即 4.化简. 令c2-a2=b2,其中b>0 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 即： （a>0，b>0） 想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程？ 12 解惑提高 双曲线的两种标准方程的特征 ① 方程用“－”号连接. ③ . ④如果 的系数是正的，则焦点在 轴上； 如果 的系数是正的，则焦点在 轴上. 如何确定焦点位置？？ ② 大小不定. 　把双曲线方程化成标准形式后， 　 焦点跟着正项走 13 双曲线与椭圆之间的区别与联系 定 义 方 程 焦 点 a.b.c的关系 椭 圆 双曲线 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a F（±c，0） F（0，±c） F（±c，0） F（0，±c） a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。 总结经验总结经验 判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 试一试        找找下列双曲线方程中a,b的值 实战演练 巩固新知 求下列双曲线的焦点坐标        实战演练 巩固新知 典型例题 求双曲线的标准方程 例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为   由2c=10，2a=6， 得c=5，a=3， 因此b2=c2-a2=52-32=16， 所以双曲线的标准方程为   18 两条射线 轨迹不存在 典型例题 求双曲线的标准方程 例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.   变式 19 典型例题 求动点的轨迹方程 例3.一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程. 分析：因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上. 解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，则 设炮弹爆炸点P的坐标为（ x，y ），则     又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400   所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为   20 $$