13.4课题学习-最短路径问题专题（30题）2024-2025学年人教版数学八年级上册

轴对称-最短路径问题（30题） 【基础篇】 1．（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 2．（24-25八年级·山东东营·期中）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 3．（24-25八年级·山西运城·期中）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级·河南郑州·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级·山东临沂·期中）如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 6．（24-25八年级·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 7．（24-25八年级·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 8．（2024八年级·北京·专题练习）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 9．（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 10．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ． 11．（2024八年级·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 12．（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标为． (1)画出关于轴的对称图形（不写画法），并写出点关于轴的对称点的坐标：______； (2)在轴上确定一点（不写作法，保留作图痕迹），使得最小． 13．（2024八年级·全国·专题练习）如图，某公路（视为轴）的同一侧有三个村庄，要在公路边建一货栈（在轴上），向A，三个村庄运送农用物资，路线是（或）．试问公路上是否存在点，使送货路程之和最短？若存在，请在图中画出点所在的位置；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级·广东深圳·期中）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 15．（24-25八年级·河南许昌·期中）如图，某公路（可视为轴）的同一侧有、、三个村庄，要在公路边（轴上）建一仓库，向、、三个村庄送农用物资，路线是或．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中轴上标出使送货路线之和最短的点所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）． 16．（19-20八年级·广东广州·期中）已知：在平面直角坐标系中，点，点． (1)在图①中的y轴上求作点P，使得的值最小； (2)若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标； (3)如图②，在中，，，点D（不与点A重合）是x轴上一个动点，点E是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 17．（24-25八年级·黑龙江绥化·阶段练习）按要求画图． (1)①如图①由点A到河边l的最短路线的依据是________________． ②如果从点A经过点B再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线． (2)如图②，内有一点P．过点P作交于点C，交于点D． 18．（24-25八年级·福建泉州·期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 19．（24-25八年级·河北唐山·期中）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，则的度数是___________度； (2)若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 20．（24-25八年级·北京昌平·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图． (1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由； (2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置； (3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）； (4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处． 【拓展篇】 21．（24-25八年级·四川乐山·期中）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 22．（24-25八年级·重庆大渡口·期中）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，，P，Q分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 23．（24-25八年级·广东佛山·期中）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 24．（24-25八年级·广东广州·期中）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P． (1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝PC； (3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数． 25．（24-25八年级·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 26．（24-25八年级·全国·课堂例题）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为5m，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． 27．（24-25八年级·河南驻马店·期中）（1）如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．（显示找点的过程） 28．（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 29．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明； (3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________． 30．（19-20八年级·湖北鄂州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称. (1)求△ABC的面积； (2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE； (3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C C C D 1．B 【知识点】线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 2．C 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短、最短路径问题 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．C 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 4．C 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 5．D 【知识点】三线合一、作角平分线(尺规作图)、垂线段最短、最短路径问题 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，根据垂线段最短，当点、分别在、位置时，最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ，，，， ， ，， 作点关于的对称点交于点，连接， ， ， 当点、分别在、位置时，最小， 则的最小值为的长． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、最短路径问题 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．4 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质、垂线段最短、最短路径问题 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,据此即可求出答案． 【详解】解：连接过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时, 即的最小值为4． 故答案为：4 8． 【知识点】线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 9． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定、最短路径问题 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 10．/12厘米 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、最短路径问题 【分析】如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、，根据两点之间线段最短，周长的最小值等于的长，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、， ∴，，，，， ∴， 当点与点重合、点与点重合时，即、、、四点共线取“”，此时周长取得最小值，最小值为的长， ∵，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点．确定周长的最小值是解题的关键， 11．（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 12．(1)见解析， (2)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图－轴对称变换，图形与坐标，最短路径问题． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后顺次连接即可，然后根据关于轴对称横坐标相等，纵坐标相反写出的坐标即可． （2）连接交y轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示，点即为所求． 13．存在，图见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、最短路径问题 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解题的关键． 因为点、、间的距离与的和不变，所以，点到、的距离之和最小时，送货路线最短，然后作出点关于公路的对称点，连接与公路相交于点，则点即为所求作的货栈的位置． 【详解】解：存在． 作点关于x轴的对称点，再连接，则与 轴的交点即为点．如图所示， 理由：∵点关于x轴的对称点， ∴ ∴ 根据两点之间线段最短，所以此时，最小，最小值为． ∵送货路程之和为， 又值是固定的， ∴此时送货路程之和最短． 14．（1），，（2）5（3）见解析 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的性质、三角形三边关系的应用、最短路径问题 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 15．见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，作点关于轴的对称点，再连接，则与轴的交点即为点，正确得出点的位置是解题的关键． 【详解】解：两条路线中，的长度是固定的， ∴送货路线之和最短，则到的路径最短， ∴作点关于轴的对称点，再连接，则与轴的交点即为点， 则点即为所求． 16．(1)见解析 (2)，，， (3)见解析 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）如图①中，作点A关于轴的对称点，连接交轴于，连接，点即为所求． （2）利用等腰三角形三角形的性质画出图象，利用图象法即可解决问题． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）解：如图①中，点即为所求． （2）解：如图①中， 满足条件的点，，，． （3）解：猜想 ①当点运动到点右侧时， 如图②中，延长至，使，连接，，． 在和中 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 即 在和中 ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质，点的坐标，最短路径问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 17．(1)①垂线段最短    ②见解析 (2)见解析 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线 【分析】（1）①根据“点到直线的距离，垂线段最短”即可得到答案；②先连接，再过点B作直线l的垂线段，即为所求； （2）利用平移的作法作出两条已知射线的平行线即可． 【详解】（1）解：①由点A到河边l的最短路线的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； ②如图，即为所求作： （2）解：如图，、即为所求作： 18．(1)见解析 (2)①12；②2 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 19．(1) (2)①；② 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ． （2）①， 的周长是， 即 ， ， ， ． ∴的长度为． ②当P与M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)B 【知识点】最短路径问题、线段中点的有关计算、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可； （2）取中点即可； （3）作N到的垂线段即可； （4）直接根据图作答即可． 【详解】（1） 理由：两点之间线段最短． （2） （3） （4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21．（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【知识点】最短路径问题、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型． 22．(1) (2) (3)4 【知识点】最短路径问题、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可； （2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可； （3）首先将沿对称至，对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论． 【详解】（1）解：∵，恰好平分， ∴， ∵在和中， ∴， ∴； （2）证：∵，恰好平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∵，恰好平分， ∴垂直平分， 如图所示，将沿对称至，沿对称至，且，分别在、上， 连接，此时与和交点即为所求、， ∴此时，的周长最小，且、两点重合， 此时，周长的最小值即为的长度，        由（2）可得， 由对称的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时，过点作，交于点，如图所示，    ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， 由（2）知，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴周长的最小值为4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】最短路径问题、内错角相等两直线平行、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P； （3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可． 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问题的思路并解决问题是解题的关键． 24．(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)45° 【知识点】最短路径问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论； （2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论； （3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论． 【详解】（1）解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下： ∵AB=AC，∠A=45°， ∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°， ∵∠ABE＝∠ABC， ∴∠ABE = 22.5°， ∴∠CBE=45°， ∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°， ∴∠BEC=∠ACB， ∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC = ∠CDB = 90°， ∴∠ACD = 90°–∠A = 45° ∴∠A=∠ACD=45°， ∴DA= DC， ∴△ADC是等腰三角形， ∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°， ∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°， ∴CP=CE， ∴△CPE是等腰三角形， 综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE； （2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH， ∵DH=DB，CD⊥AB， ∴BC=CH， ∴∠BHC=∠ABC=67.5°， ∵∠BEC=∠ACB=67.5°， ∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB， ∵BC=CB， ∴△BCH≌△CBE， ∴BH=CE， ∵CE=CP， ∴BH=CP， ∴ ； （3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小， ∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB， ∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°， ∵DM⊥CB， ∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°， ∵DA=DC，DF⊥AC， ∴∠CDF=∠CDA=45°， ∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°， ∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°， ∵GD=GM，HF=HD， ∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF， ∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F， ∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°， ∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 25．（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、垂线段最短、最短路径问题 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 26．见解析 【知识点】利用平移的性质求解、最短路径问题 【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作，使等于河宽；过点作，使等于河宽，连接，分别与与河岸，相交于点，，接下来再过作对边的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】解：如图所示，作法如下： （1）过点作，使等于河宽；过点作，使等于河宽（相当于将桥平移到，的位置）． （2）连接，分别与河岸，相交于点，． （3）过点作于点，过点作于点， 由作图可知， ∴最短路径为， ∴，即为两座桥的位置．    27．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）由于的周长，而是定值，故只需在直线上找一点，使最小．如果设关于直线的对称点为，使最小就是使最小； （2）作关于、的对称点、，连接角、于、．此时周长有最小值； （3）如图3，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，此时使得、、、，四点组成的四边形的周长最短． 【详解】解：（1）如图1，作关于直线的对称点， 连接交于点． 则点就是所要求作的点． 理由：在上取不同于的点，连接、、． 和关于直线对称， ，， 而， 即周长小于周长； （2）如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，连接，，则点，就是所要求作的点， 理由：在，上取不同于，的点，，连接、、、，， 和关于直线对称，和关于直线对称， ，，，， ，， ， ； （3）如图3，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，于，则点，就是所要求作的点．连接，． 理由：在，上取不同于，的点，，连接、，， 和关于直线对称， ，，，， 由（2）得知． 【点睛】本题主要考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知得出对称点的位置． 28．(1)， (2)垂直，见解析 (3)， 【知识点】绝对值非负性、最短路径问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：过点E作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为垂直； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点G，连接， ∵，， ∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则， 此时最小，， ∵E到的距离相等，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 29．(1)， (2)见解析 (3)， 【知识点】绝对值非负性、最短路径问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， 故答案为：，； （2）证明：过点作轴于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ； 取点，连接，， ，， 与关于直线对称，连接交于，连接，则， 此时最小，， 到，的距离相等，，， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 30．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析. 【知识点】最短路径问题、与线段有关的动点问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解； (2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°. (3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中, 即可得解. 【详解】解：（1）由已知条件得：        AC=12，OB=6     ∴ （2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H, ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴DE=DB, ∠BDE=90°, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵EF轴， ∴ ∴DF=BO=AO,EF=OD ∴AF=EF ∴ ∴∠BAE＝90° （3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长， ∵，OA=6， ∴OM+ON=3 【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$