黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

哈师大青冈实验中学2024-2025学年度高二期中考试 数学试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.直线的斜率为 A.2 B. C. D. 2.抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 3.若圆:过坐标原点,则实数的值为 A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1 4.已知双曲线,则 A.双曲线C的焦距为 B.双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍 C.双曲线与双曲线C的渐近线相同 D.直线与双曲线C有公共点 5.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆上,当的面积为1时,等于 A.0 B.1 C.2 D. 6.已知双曲线E:,若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为,过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则的值为 A. B. C.8 D. 7.已知直线,点与点关于原点对称,若直线上存在点满足,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8.已知双曲线(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),点P在双曲线的右支上,且满足,则该双曲线离心率的取值范围是 A.(2,+∞) B. C. D.(1,2) 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列四个命题中真命题有 A.直线在轴上的截距为; B.经过定点的直线都可以用方程表示; C.直线必过定点(2,-4); D.已知直线与直线平行,则平行线间的距离是; 10.如图,在棱长为1的正方体中,是棱上的动点,则下列说法正确的是 A.存在点,使得 B.存在点,使得 C.对于任意点Q,Q到的距离的取值范围为 D.对于任意点,都不是锐角三角形 11.椭圆有如下的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点,左、右焦点分别为、.一束光线从射出,经椭圆镜面反射至,若两段光线总长度为6,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是 A.椭圆的标准方程为 B.若点在椭圆上,则的最大值为 C.若点在椭圆上,的最大值为 D.过直线上一点分别作椭圆的切线,交椭圆于,两点,则直线恒过定点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.圆上的点到直线的最大距离是 . 13.已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是,弦的中点坐标是,则椭圆的离心率是 . 14.如图,两个正方形,的边长都是8,且二面角为,M为对角线AC靠近点A的四等分点,N为对角线DF的中点,则线段 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。 15.(13分)已知的三个顶点,,,求: (1)边上的高所在直线的方程; (2)的垂直平分线所在直线的方程. 16.(15分)已知圆 (1)若直线过点,且与圆相切,求直线的方程; (2)若圆的半径为3,圆心在直线上,且与圆外切,求圆的方程. 17.(15分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且椭圆C过点P. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A,B两点,当OA⊥OB时,求 AOB的面积. 18.(17分)如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,,平面平面. (1)求证:平面; (2)若,点在棱上,且二面角的大小为. ①求证:; ②设是直线CD中点,求直线与平面所成角的正弦值. 19.(17分)我们约定,如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆,双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线,分别为的离心率,且,点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程; (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为. (i)试探究与的比值是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由; (ii)求的取值范围. 数学试卷答案 1——8 BDCC AABB 9、CD 10、BCD 11、ACD 12、 13、 14、 15.(13分)解:(1)由斜率公式易知,直线的斜率.—————— 3分 又直线过点,代入点斜式得直线的方程为:.—————— 6分 (2) ,.—————— 8分 又线段的中点为,—————— 10分 所在直线的方程为,—————— 12分 整理得所求的直线方程为:.—————— 13分 16.(15分)解:(1)由圆,可得原心,半径为,—————— 1分 当直线的斜率不存在时,直线方程为,此时直线与圆相切,符合题意;—————— 3分 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,—————— 4分 由圆心到直线的距离等于半径,可得,解得,—————— 5分 此时直线的方程为,—————— 6分 综上可得,所求直线的方程为或.—————— 7分 (2)解:由圆的半径为3,圆心在直线上, 设,且圆的圆心,半径为,—————— 9分 由两圆相外切,可得,即,—————— 11分 解得或,—————— 13分 所以或,—————— 14分 所以所求圆的方程为或.——————15分 17. (15分)解:(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),—————— 1分 由题意可得—————— 3分 解得—————— 5分 故椭圆C的标准方程为+y2=1.—————— 6分 (2) 直线OP的方程为y=x,—————— 7分 设直线AB的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).—————— 8分 将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2+mx+m2-1=0, 由 =3m2-4(m2-1)>0,得m2<4,—————— 9分 所以x1+x2=-m,x1x2=m2-1.—————— 10分 由OA⊥OB,得 =0,—————— 11分 =x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+m(x1+x2)+m2 =(m2-1)+m (-m)+m2=m2-=0,得m2=.—————— 12分 又|AB|== ,—————— 13分 O到直线AB的距离d==,—————— 14分 所以S AOB= |AB| d= =.—————— 15分 18.(17分)解:(1)在四棱锥中,因为底面为矩形,所以. 因为平面平面,平面平面平面, 所以平面,—————— 1分 因为平面,所以,—————— 2分 因为平面,且,—————— 3分 所以平面.—————— 4分 (2)①以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系. 则,所以,—————— 5分 因为点在棱上,所以设或显然不满足题设,—————— 6分 因为,所以, 所以,—————— 7分 设平面的一个法向量, 则,即,取,则, 所以,—————— 8分 是平面的一个法向量,—————— 9分 所以, 因为二面角的大小为,所以, 即,解得,—————— 10分 此时,, ,所以,—————— 11分 所以,即.—————— 12分 ②因为是直线CD的中点,则—————— 13分 由①可得,所以,平面的一个法向量.—————— 14分 设直线与平面所成角为,则—————— 16分 即直线与平面所成角的正弦值为.—————— 17分 19. (17分)解:(1)由题意可设双曲线,—————— 1分 则,解得,——————3分 所以双曲线的方程为.—————— 4分 (2)(i)设,直线的方程为,—————— 5分 由,消元得. 则,且,—————— 6分 ,—————— 8分 或由韦达定理可得,即, ,————— 9分 即与的比值为定值.—————— 10分 (ii)设直线, 代入双曲线方程并整理得,—————— 11分 由于点为双曲线的左顶点,所以此方程有一根为,. 由韦达定理得:,解得.—————— 12分 因为点A在双曲线的右支上,所以,解得, 即,同理可得,—————— 13分 由(i)中结论可知, 得,所以,—————— 14分 故,—————— 15分 设,其图象对称轴为, 则在上单调递减,故,—————— 16分 故的取值范围为;—————— 17分 高二数学试题 第 1 页 共 3 页 学科网(北京)股份有限公司 $$