第24章 圆 单元测试卷2024-2025学年人教版九年级数学上册 （北京师大附属实验中学）

人教新版九年级上册《第24章圆》 2024年单元测试卷（北京师大附属实验中学） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点A，B，C在上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，AB是的弦，若的半径，圆心O到弦AB的距离，则弦AB的长为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是(    ) A. 以PA为半径的圆 B. 以PB为半径的圆 C. 以PC为半径的圆 D. 以PD为半径的圆 5.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为(    ) A. B. C. D. 8 6.下列说法中正确的个数有(    ) ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④直径是弦； ⑤长度相等的弧是等弧． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.已知的直径，AB是的弦，，且，垂足为M，则AC的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，则下面结论不一定成立的是(    ) A. B. C. AC平分 D. 9.如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为(    ) A. 2 B. C. 4 D. 10.如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(    ) A. 3 B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.如图，AD为的外接圆的直径，，则______ 12.如图，一个宽为2厘米的刻度尺刻度单位：厘米，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的 读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为______厘米． 13.如图，四边形ABCD内接于，若，则它的一个外角等于______. 14.在中，，，，则的内切圆半径______. 15.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是______ 16.已知：半径，弦AB、AC长分别为、，则______. 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是______. 18.对于一个半径为R的，有如下几个结论： ①存在无数个内接于，满足，但AC边的长是唯一确定的； ②存在无数条弦AB，满足点O到AB的距离等于，但AB的长是唯一确定的； ③在所有与相离的直线中，至少存在一条直线l，l上存在一点P到O的距离等于 上述结论中，所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 如图，平面直角坐标系xOy中，点，，作过点A、B、C的圆. 依题意补全图形； 圆心M坐标为______； 若点P为圆上任意一点不与B、C点重合，则的度数为______. 20.本小题5分 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点 求作：直线AB，使得AB为的切线，A为切点．   作法：如图2， ①连接OA并延长到点C； ②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点点D在直线OA上方； ③以点D为圆心，DA长为半径作； ④连接CD并延长，交于点B，作直线 直线AB就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．说明：括号里填推理的依据 证明：连接 ______ 点C在上， 是的直径． ____________ ______. 是的半径， 是的切线_____ 21.本小题8分 如图，AB为的直径，弦于点E，连接AC， 求证：； 若，，求CD的长. 22.本小题8分 如图，AB是的直径，点C在上平分，过点B作于点 求证：CD是的切线； 连接OD，若，，求OD的长. 23.本小题9分 定义：在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内二分点”. 当的半径为2时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是______； ②已知一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内二分点”，求k的取值范围； 已知点，，，的半径为4，若线段BC上存在的“内二分点”，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．直接由圆周角定理求解即可． 【解答】 解：， ， 故选 2.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD为的内接四边形， ， ， ， 故选： 根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：圆心O到弦AB的距离， ， ， 在中，，， ， 故选： 利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 4.【答案】B  【解析】解：于B， 以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切． 故选： 根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． 本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离 5.【答案】C  【解析】【分析】  本题考查了垂径定理．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质． 作于H，连结OC，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，即 【解答】 解：作于H，连结OC，如图，   ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ，， 故选 6.【答案】A  【解析】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中； ②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴； ④直径是弦；正确； ⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧； 故选： 根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义一一判断即可； 本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7.【答案】C  【解析】解：连接AC，AO， 的直径，，， ，， 当C点位置如图1所示时， ，，， ， ， ； 当C点位置如图2所示时，同理可得， ， ， 在中， 故选： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等， 点A、B、C、D在以O为圆心，AB为直径的圆上，如图， 为直径， ，所以A选项的结论正确； 和都对， ，所以B选项的结论正确； 只有当时，，所以C选项的结论不正确； 四边形ABCD为的内接四边形， ，所以D选项的结论正确． 故选 先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在以O为圆心，AB为直径的圆上，然后对各选项进行判断． 本题考查圆周角定理，以及圆内接四边形的性质． 9.【答案】B  【解析】解：、AC为的切线， ， 、FC为的切线， ， 同理，， 的周长， ， 故选： 根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 连接OQ，作于首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题. 【解答】 解：如图，连接OQ，作于 ， ， ， 点Q的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， 在中，，， ， ，， 在中，， 的最大值为 11.【答案】35  【解析】解：连接BD， 为的外接圆的直径， ， ， ， 由圆周角定理得，， 故答案为： 连接BD，根据圆周角定理的推论得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理的解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ， 取圆心O，过点O作于点B，则， 设杯口的半径为r cm，则，， 在中， ，即， 解得 故答案为： 【分析】 先求出弦AC的长，再过点O作于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则，，在中根据勾股定理求出r的值即可． 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得的度数，继而求得的度数 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 14.【答案】2  【解析】解：如图，切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF， ，， 正方形CEOF为正方形， ，，， ， 设的半径为r，则， ，， ，即， 解得： 故答案为： 设切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到，由切线长定理得，，利用可求出 本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等．证得四边形CEOF为正方形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB， 与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C， ，OA平分， ， ， ， ， ， 这个零件的半径是 故答案为： 设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB，由切线的性质定理得到，由切线长定理推出OA平分，求出，得到，由锐角的正切求出，得到这个零件的半径是 本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出 16.【答案】或  【解析】解：如图，过点O作，，垂足分别为E，F， ，， 由垂径定理得，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， ， 当AB、AC在半径OA同旁时， 故答案为：或 画出图形，构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得和，再求出的度数即可． 本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 17.【答案】或  【解析】解：设直线与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B， 连接BC， 则， 点A的坐标为， ， ， 在中，令，则，令，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当直线经过点A时， 则有， 解得， 故答案为：或 设直线与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B，连接BC，根据等腰直角三角形 的判定和性质即可得到结论． 本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18.【答案】①②  【解析】解：， ， 的长度为定值， 的长为定值， 当点A在弦AC所对的优弧上点A、C除外时，满足，所以①正确； 以O点圆心，d为半径作的同心圆，则与小圆相切的大圆的弦都等于AB，所以②正确； 直线与相离， 圆心O到直线的距离大于R， 上不存在一点P到O的距离等于R，所以③错误． 故答案为：①②． 利用可确定的长度为定值，则AC的长为定值，根据圆周角定理，当点A在弦AC所对的优弧上点A、C除外时，满足，则可对①进行判断；以O点圆心，d为半径作的同心圆，由于与小圆相切的大圆的弦都等于AB，从而可对②进行判断；根据直线与相离可得到圆心O到直线的距离大于R，从而可对③进行判断． 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和直线与圆的位置关系． 19.【答案】或  【解析】解：如图，即为所求； 圆心M坐标为 故答案为：； 当点P在优弧BC上时，， 当点P在劣弧BC上时，， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 线段AB，AC的垂直平分线的交点M，即为圆心； 根据点M的位置写出坐标； 分两种情形：当点P在优弧BC上时，，当点P在劣弧BC上时，求解． 本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】CD ；；直径所对的圆周角是； OA ；过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；  【解析】证明：如图，连接    点C在上， 是的直径． 直径所对的圆周角是 ， 是的半径， 是的切线过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线 故答案为：CD；；直径所对的圆周角是，OA；过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 根据题中的过程，结合图形进行合情推理． 本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键． 21.【答案】证明：直径弦CD， 弧弧 ； 连接OC， 直径弦CD， 直径， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ，   【解析】根据等弧对等角证明即可； 连接OC，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出CE，然后计算2CE即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 22.【答案】证明：连接OC， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：连接OD，过点O作于点G， 得矩形OCDG， ， 在中，，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：   【解析】连接OC，由题意可证，进而证明CD是的切线； 连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由锐角三角函数的概念求出OB的长，然后由勾股定理可得出答案． 本题考查的是切线的判定定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23.【答案】，  【解析】解：根据“内二分点”的定义，的半径为2时，P在内，在外， ，， ， ； ①，，，， ，，，， 的“内二分点”的是，； 故答案为：，； ②若，则在第一象限的图象是一条射线不含端点，不可能所有点都是的“内二分点”，故， 又时，，即直线过定点，当时，，即直线AB过， 过O作于C，如图： 由，可得， 而可得， 一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内二分点”，一次函数与y轴的交点是， 且， ， 解得； ①当从B左侧沿x正方向移动时，线段BC上存在点P为的“内二分点”，如图： 则满足，且， ，且， 解得，且或， 结合图形可得，此时线段BC上存在点P为的“内二分点”，； ②当M移动到B右侧，线段BC上存在点P为的“内二分点”，如图： 则满足，且， ，且， 解得或，且， 结合图形可得，此时线段BC上存在点P为的“内二分点”，， 综上所述，线段BC上存在点P为的“内二分点”，则或 根据“内二分点”的定义，的半径为2时，P在内，在外，即可知； ①求出，，，，即得的“内二分点”的是，； ②可知，且直线过定点和，过O作于C，面积法可得，根据一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内二分点”得且，即，即可解得答案； 分两种情况画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得m范围． 本题考查圆的综合知识及新定义问题，解题的关键是理解“内二分点”的定义，找到“临界点”，题目难度较大． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$