浙江省杭州十三中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件是必然事件的是(    ) A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2.已知平面内有两点P，O，的半径为5，如果，则点P与的位置关系是(    ) A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法判断 3.从甲、乙、丙三人中任选一人参加育年志愿者活动，甲被选中的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6.如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角，那么(    ) A. B. C. D. 7.二次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 8.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，请你帮忙计算纸杯杯底的直径为(    ) A. B. 5cm C. D. 6cm 9.已知函数是常数，，下列结论正确的是(    ) A. 当时，函数图象过点 B. 函数图象与x轴必有两个交点 C. 不论a取何值，函数图象都经过点 D. 若，则当时，y随x的增大而减小 10.已知为的外接圆，过A作CO的垂线交CO延长线于点D，则下列选项一定成立的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为______结果保留小数点后一位 12.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是______. 13.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是______. 14.已知二次函数当时，则y的取值范围______. 15.如图，四边形ABCD内接于，对角线BD是的直径为内一点，满足，，若，，则弦BC的长为______. 16.二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④为任意实数其中正确的是______填写序号 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过 求这个二次函数的表达式； 判断点是否在这条抛物线的图象上. 18.本小题8分 如图，AB是的直径，点C是上一点，连接BC，于E，交于点 求证：； 若，，求的半径. 19.本小题8分 作图题，根据要求作出以下图形： 在图1网格中直接画出绕点A逆时针旋转的图形； 在图2中，已知线段AB，尺规作图作出经过A，B两点的所有圆中最小的圆要求保留作图痕迹 20.本小题8分 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育电点关注的内容.某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图. 学生类别 学生平均每天睡眠时间单位：小时 A B C D E 扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______. 请补全条形统计图. 被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生.从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率. 21.本小题8分 某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍.试销中发现这种商品每天的销售量件与每件销售价元的关系数据如下： x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式： 设该商店每天销售这种商品所获利润为元，求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 22.本小题10分 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到AB的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型.已知这座桥的跨度米，拱高米. 如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式； 如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； 现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米.从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由. 23.本小题10分 已知二次函数是常数，且 证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； 若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； 若二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别为，其中，t是关于m的函数，且，当时，求m的取值范围. 24.本小题12分 如图，在中，，BC是的直径，与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE，与AB交于点 若，求的大小； 求证：； 若，，求的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.【答案】A  【解析】解：的半径为5，，， 点P在外． 故选： 直接根据点与圆的位置关系解答即可． 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外；②点P在圆上；①点P在圆内是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：根据题意画图如下： 共有3种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有1种， 则甲被选中的概率为 故选： 画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果． 本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解题的关键是画出树状图． 4.【答案】D  【解析】解：绕点O顺时针旋转到的位置， ， 而， 故选： 首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出 此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 5.【答案】C  【解析】解：， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选： 由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴， 本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，，由圆周角定理知， 【解答】 解：四边形ABCD内接于， ， 故选 7.【答案】A  【解析】解：A、函数图象开口向下，对称轴在y轴左边，符合题意，故A正确； B、图象开口向下，故B错误； C、对称轴在y轴左边，故C错误； D、图象开口向下，故D错误； 故选： 根据函数图象开口向下，对称轴小于零，可得函数图象． 本题考查了二次函数图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8.【答案】B  【解析】解：如图，，MN过圆心O，连接OD，OB， ， ，纸条的宽为，，， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为 故选： 由垂径定理求出BN，DM的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长． 本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长． 9.【答案】C  【解析】解：A、当时，函数为， 当时，，函数图象不过点，原说法错误，不符合题意； B、，无法判断与x轴交点个数，原说法错误，不符合题意； C、当时，，原说法正确，符合题意； D、，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选： 将，代入可判断A；用可判断B；把代入可判断根据函数图象的对称轴及增减性可判断 本题主要考查了二次函数根与系数的关系，关键是熟练掌握二次函数性质． 10.【答案】B  【解析】解：如图，延长AD、CD，交分别为E、F， 不一定等于， 不一定等于，故A选项不符合题意； ， ， ， ， ， ，故B选项符合题意； 不一定等于，， 与2AD无法比较大小，故C选项不符合题意； ， 在中，根据勾股定理可得， ，， ， ， 即，故D选项不符合题意． 故选： 延长AD、CD，交分别为E、F，根据不一定等于判断A选项，根据判断B选项，根据不一定等于判断C选项，根据在中根据勾股定理可得，在中根据三角形的三边关系可得，等量代换判断D选项． 本题考查了垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，解题的关键是正确添加辅助线． 11.【答案】  【解析】解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 该植物的种子发芽的概率为， 故答案为： 仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，从而得到结论． 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值可以估计概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】  【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为： 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 本题考查垂径定理的知识，理解本题中圆心在圆的弦的垂直平分线上，是垂直平分线的交点． 13.【答案】  【解析】解：根据概率公式，摸出白球的概率， 摸出不是白球的概率， 由于二者相同，故有， 整理得 故答案为： 由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系． 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 14.【答案】  【解析】解： ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 将代入得， 时，， 故答案为： 通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质才能比较熟练解决问题． 15.【答案】  【解析】解：延长AE交BC于M，延长CE交AB于N， ，， ， 是的直径， ， ，， ，， 四边形AECD是平行四边形， ， 故答案为： 延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 本题主要考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 16.【答案】①③④  【解析】解：由所给图形可知， ，，， 所以 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即 因为当时，函数值小于零， 所以， 即， 整理得， 故②错误． 方程的根可看成抛物线与直线图象交点的横坐标， 显然抛物线与直线有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，函数取得最大值， 则对于抛物线上的任意一点横坐标为，其函数值不大于， 所以， 即 故④正确． 故答案为：①③④． 根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式及抛物线与x轴交点，熟知二次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 17.【答案】解：顶点坐标过原点，则可设， 把代入，得：， 抛物线解析式为：， 当时，， 点是在这条抛物线的图象上．  【解析】由于已知顶点坐标过原点，则可设，然后把代入求出a的值即可； 计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． 18.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ； 解：令的半径为r， 根据垂径定理可得：， 由勾股定理得：， 解得：， 所以的直径为  【解析】由圆周角定理得出，再由垂径定理得出，即可得出结论； 令的半径为r，由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出的直径． 本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 19.【答案】解：如图1，即为所求． 如图2，作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则即为所求．   【解析】根据旋转的性质作图即可． 作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，则即为所求． 本题考查作图-旋转变换、确定圆的条件，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】  【解析】解：人； ； 故答案为：； 类的人数为人， 补全条形统计图，如图， 画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种． 根据B类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以C类的人数占比即可求出C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； 根据所求，求出D类的人数即可补全统计图； 先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题关键是列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． 21.【答案】解：设该函数的表达式为，根据题意得： ， 解得， 与x之间的关系式为； 根据题意，得 ， ， 当时，w的值最大，为450元， 当销售单价为35元时，获得利润最大．最大利润为450元．  【解析】待定系数法求解一次函数解析式即可； 根据题意得，计算求出满足要求的解即可． 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到题中的等量关系并列出函数解析式． 22.【答案】解：， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； 设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径米； 抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下： ①在抛物线型上时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②在圆弧型时，设米， 过点G作交弧BC于点F，过点O作交于H点，连接OF， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥．  【解析】根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出a的值，即可确定函数的解析式； 设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径10米； ①在抛物线型上时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，设米，过点G作交弧BC于点F，过点O作交于H点，连接OF，在中，利用勾股定理求出米，可得米，再由米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 23.【答案】证明：在二次函数中， ， 不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； 解：，是该二次函数图象上的两个不同点， 当时，点A，B是二次函数图象上关于对称轴对称的两个点， 二次函数对称轴为， 对称轴为直线， 解得， 二次函数解析式为：； 解：令，则， ， ， ， ，， ， ， 如图所示， 当时，， 解得， 当时，或  【解析】根据，由即可证明结论； 根据A、B是该二次函数图象上的两个不同点，且，可求出抛物线的对称轴，进而求出m的值和二次函数的解析式； 首先令，求出两根，然后得到t与m的关系式，画出图象，结合图象进行作答即可． 本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答此题的关键是利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答． 24.【答案】解：如图1，连接CD，BE， 为的中点， ， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ； 证明：如图2，连接CD，BE， 为的中点， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， ， ； 解：如图3，作，垂足为G，连接BE， ， ， 由可知，且， ， ， 在和中， ， ≌， ， 为AB的中点， ， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得： ，即， 解得：， ，   【解析】连接CD，BE，首先推导出在中，利用，求得，进而得到，推导出； 连接CD，BE，根据圆周角定理得到，，证明，得到； 首先推导出≌，进而得到，F为AB的中点，，利用勾股定理求得，进而得到， 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$