精品解析：浙江省温州市七校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上 B. 从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张是偶数 C. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6 D. 从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球 3. 二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠BAC的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 20° 5. 二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 6. 小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为区第10排1号到20号采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 半径为4，点A到点O距离为3，则点A在______（填“上”“内”或“外”）． 12. 请写出一个开口向上且顶点坐标为的抛物线的解析式_______________． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 14. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为______． 15. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 __________． 16. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，． （1）将绕点O顺时针旋转得到，做出旋转后； （2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长． 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 20. 如图，的直径为，弦为的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求阴影部分的面积． 21. 如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 22. 如图所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取，结果保留整数）． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 24. 如图，已知内接于，点C在劣弧上（不与点A，B重合），点D为弦的中点，，与的延长线交于点E，射线与射线交于点F，与交于点G，设，，． （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明： （2）若，，面积为的面积的4倍，求半径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上 B. 从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张偶数 C. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6 D. 从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、任意抛掷一枚硬币，出现正面是随机事件，故本选项不符合题意； B、从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张偶数是不可能事件，故本选项不符合题意； C、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6是随机事件，故本选项不符合题意； D、从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减平移规律，可得答案． 【详解】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减，掌握这一规律是解题的关键． 4. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠BAC的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半”即可得. 【详解】由圆周角定理得： 故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记定理是解题关键. 5. 二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数最值问题，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，开口向下，二次函数在顶点处取得最大值．根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误； B、时有最小值3，故本选项正确； C、时有最大值3，故本选项错误； D、函数有最大值3，故本选项错误． 故选：B． 6. 小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为区第10排1号到20号采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式求解． 【详解】解：因为与10号座位相邻得有2个座位（9号和11号）， 所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为． 故选：A． 7. 如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理可得，，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题求二次函数最大（小）值，就是要把二次函数写成顶点式，可以看出最大（小）值． 把函数表达式化为二次函数顶点式，开口向下，即可求出足球在飞行过程中的最大高度． 【详解】解：∵，抛物线开口向下， 当时，y有最大值为8． 则足球在飞行过程中的最大高度为． 故选：B． 9. 如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，再根据折叠的性质推出，根据内心的性质得到，，过点作，则OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠知：， ， ∴，， ∴， ∵圆是的外接圆， ∴点是的内心， ∴OB平分，OC平分， ∴，， 过点作，则OH平分BC． 则：， 在中：， 由勾股定理得：，即， 解得：，（舍）， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件． 10. 如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【详解】∵①当x＞0时，观察函数图象可以得出y2＞y1； ∴此选项错误； ∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M； ∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大； ∴此选项错误； ∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在； ∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确； ∵M=1时，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣， 或y2=2x+2=1，解得：x=﹣， 由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M， ∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M， 故M=1时，x=，x=﹣， 故④使得M=1的x值是﹣或．此选项正确； 故正确的有：③④． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 半径为4，点A到点O距离为3，则点A在______（填“上”“内”或“外”）． 【答案】内 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴点在圆内， 故答案为：内． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内． 12. 请写出一个开口向上且顶点坐标为的抛物线的解析式_______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为． ∵开口向上， ∴即可． 令，则抛物线的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案：． 14. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称性得到点坐标，由得函数值为非正数，即抛物线在轴及下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称， 另一个交点的坐标为， 不等式，即， 抛物线的图象在轴及下方， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 15. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 __________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段的长． 根据矩形的性质可推出线段为圆的直径，然后根据勾股定理可求出的长，再根据垂径定理求出点D为的中点，利用中位线即可求出的长，即可求出最大高度． 【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D， 点O为线段的中点，， 为圆O的直径， 宽为米，高为2米， （米）， 圆的半径（米）， ， 点D为的中点， 点O为线段的中点， 是的中位线， （米）， 则改造后门洞的最大高度（米）； 故答案为：米． 16. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出，，由直角三角形的边角关系求出、、，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、、、，过点作，垂足为， 由圆的对称性可知，点、点是的三等分点，四边形是正方形， ，， 在中，，， ，， 在中，，， ， ， 个阴影三角形的面积和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相关计算的方法是正确解答的前提． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，． （1）将绕点O顺时针旋转得到，做出旋转后的； （2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，弧长公式，勾股定理． （1）根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理求出长，再利用弧长公式即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，将绕点O顺时针旋转得到， ∴，如图，即为所求作∶ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由图可知：的长为． 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 20. 如图，的直径为，弦为的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，（2）中结合已知条件求得是解题的关键． （1）根据角平分线及圆周角定理即可求得答案； （2）连接，根据圆周角定理求得的度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 即阴影部分的面积为． 21. 如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键． （1）小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最大的高度； （2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围． 【小问1详解】 解：小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， 抛物线的对称轴为：直线． ． 解得：． 由题意得：抛物线上点的坐标为． ． 抛物线的解析式为：． 当时，． 答：小球达到的最大高度为； 【小问2详解】 解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为． 抛物线上点的坐标为， ． 抛物线的解析式为：． ①抛物线经过点． ． 解得：． ②抛物线经过点． ． 解得：． 要使小球落人筐中，的取值范围为：． 22. 如图所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取，结果保留整数）． 【答案】（1）； （2）这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【解析】 【分析】（）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积，利用数形结合得出对应点的坐标与线段的长是解题的关键． 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； 【小问2详解】 解：令， 解得，（舍去）， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 24. 如图，已知内接于，点C在劣弧上（不与点A，B重合），点D为弦的中点，，与的延长线交于点E，射线与射线交于点F，与交于点G，设，，． （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明： （2）若，，的面积为的面积的4倍，求半径的长． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理即可得出，然后根据D是的中点，，可知，由三角形外角的性质即可得出，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：，即； （2）由（1）及可知，，，由于的面积为的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出的长度，从而可求出的长度，再由勾股定理即可求出的半径r． 【小问1详解】 解：猜想：，． 证明：连接， ∴由圆周角定理可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴O、A、E、B四点共圆， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，此时图形如图所示， ∴，， ∴，， 由（1）可知：O、A、E、B四点共圆， ∴， ∵的面积为的面积的4倍， ∴， ∴， 设，， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴由勾股定理可知：，解得， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 在中，设半径为r， 由勾股定理可知：， ∴， ∴半径的长为5． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的基本性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线、圆内接四边形的内角性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$