江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上。 1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　） A． B．1.73 C． D．π 2．（3分）若点P（m﹣1，m+1）在第三象限，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D．若∠A＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．15° B．20° C．40° D．50° 4．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B．9、12、15 C．32、42、52 D． 6．（3分）我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创断，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在△ABC中，AB＝AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．∠BAD＝∠CAD D．BC＝2AD 7．（3分）小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩．小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了15千米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区．已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程y（单位：千米）与行驶的时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶速度为30千米/小时 ②汽车在高速公路上行驶速度为120千米/小时 ③汽车在高速公路上行驶的时间2小时 ④汽车行驶的总路程为255千米 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝35°，M是AB边中点，N是AC边上任意一点，将△AMN沿直线MN翻折，使点A关于直线MN的对称点D落在直线BC上，则∠DNC的度数为（　　） A．70° B．80° C．70°或110° D．80°或110° 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卷相应的位置上。 9．（3分）计算：＝　 　． 10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，a﹣3）在x轴上，则a的值为 　 　． 11．（3分）写出一个比大且比小的整数 　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝3∠B，则∠B的度数为 　 　° 13．（3分）若2（x3﹣1）＝18，则x＝ 　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，连接AD，AF．若BC＝6，BD＝2，∠DAF＝90°，则DF的长为 　 　． 15．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＝15°，AB＝2．点D是AB边上任意一点，点E是AC边上一动点，当DE+BE取得最小值时，AD的长为 　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（6，3），点C从点A出发沿AB以1个单位每秒的速度向终点B匀速运动（不与点B重合），同时，点D从点A出发以相同的速度沿y轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为t秒（t＞0）．过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接BE，在x轴上找一点F（点F在点E右侧）使BF＝BE．连接DC并延长交x轴于点H，若点H始终在点F的左侧，则t的取值范围是 　 　． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，2），点C坐标为（2，4），求四边形OACB的面积． 19．（6分）已知5x﹣1的算术平方根为2，x+3y+4的立方根是﹣1，求x﹣4y的平方根． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上中点，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．求证：AE＝BE． 21．（6分）弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理．请利用图2完成勾股定理的验证． 22．（8分）已知，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． （1）点A坐标为 　 　； （2）点B与点A关于y轴对称，连接AB，点C在直线AB上方且点C坐标为（2，m），若△ABC的面积为12，求m的值． 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． （1）尺规作图：在△ABC的BC边上找到点D，使得点D到AB的距离等于CD； （请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）： （2）若AC＝3，BC＝4，求CD的长． 24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，连接DC． （1）AB＝ 　 　； （2）已知，直线MN垂直平分AC分别交AB，AC于点D，点E，若点F从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，设运动时间为t秒．连接DC，DF，在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 25．（10分）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝1，③式就可化成：（m2+1）2﹣（m2﹣1）2＝（2m）2．于是，当m为大于1的正整数时，“m2+1，m2﹣1和2m”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝4时，该组勾股数是 　 　； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为16，求m的值； （3）若一组勾股数中最大数是a2+6a+10（a是任意正整数），则另外两个数分别为 　 　，　 　.（分别用含a的代数式表示）． 26．（10分）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 其证明方法：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C，作顶角∠BAC的平分线AD，交BC边于点D，利用“AAS”可以证明△ABD≌△ACD，可得AB＝AC．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在△ABC中，∠ACB＞∠B．求证：AB＞AC． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接DC（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，△ABC中，AC＝3，BC＝5，且∠C＞∠A＞∠B，则AB边的取值范围为 　 　； （3）已知，如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与点A，点C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞FE． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上两点．以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，使点C在直线AB下方． （1）若点A坐标为（6，0），点B坐标为（0，2），则点C的坐标为 　 　； （2）若OA﹣OB＝8，求出点C的坐标； （3）若AB＝4，△AOB面积为3，求出点C的坐标． 2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上。 1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　） A． B．1.73 C． D．π 【考点】无理数；算术平方根．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】D 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：A．＝2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．1.73是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．π是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查无理数，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）若点P（m﹣1，m+1）在第三象限，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意易得：，然后再按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点P（m﹣1，m+1）在第三象限， ∴， 解得：m＜﹣1， ∴m的值可以是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D．若∠A＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．15° B．20° C．40° D．50° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意可得：AC＝AD，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ACD＝∠ADC＝70°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠A＝40°， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝70°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】算术平方根；平方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】A 【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 5．（3分）以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B．9、12、15 C．32、42、52 D． 【考点】勾股定理的逆定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意； B、92+122＝152，能构成直角三角形，符合题意； C、322+422≠522，不能构成直角三角形，不符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 6．（3分）我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创断，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在△ABC中，AB＝AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．∠BAD＝∠CAD D．BC＝2AD 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可． 【解答】解：A、∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故选项不符合题意； B、∵∠ADB＝∠ADC，∴AD⊥BC，故选项不符合题意； C、∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，故选项不符合题意； D、∵AB＝AC，BC＝2AD，∴△ABC是等腰直角三角形，不能说明AD⊥BC，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 7．（3分）小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩．小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了15千米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区．已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程y（单位：千米）与行驶的时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶速度为30千米/小时 ②汽车在高速公路上行驶速度为120千米/小时 ③汽车在高速公路上行驶的时间2小时 ④汽车行驶的总路程为255千米 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【答案】C 【分析】①根据速度＝路程÷时间求出汽车在市区道路上行驶速度，再根据汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍计算汽车在乡村道路上行驶速度即可； ②根据汽车在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区求出汽车驶出高速公路的时间，再根据速度＝路程÷时间求出汽车在高速公路上行驶速度即可； ③根据“汽车驶出高速公路的时间﹣进入高速公路的时间”列式计算即可； ④根据路程＝速度×时间求出汽车在乡村道路上行驶的路程，再加上240km即为汽车行驶的总路程． 【解答】解：①汽车在市区道路上行驶速度为15÷0.25＝60（千米/小时）， ∴汽车在乡村道路上行驶速度为60÷2＝30（千米/小时）， ∴①正确； ②∵汽车在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区， ∴当x＝3﹣0.5＝2.5时，汽车驶出高速公路， （240﹣15）÷（2.5﹣0.25）＝100（千米/小时）， ∴汽车在高速公路上行驶速度为100千米/小时， ∴②不正确； ③2.5﹣0.25＝2.25（小时）， ∴汽车在高速公路上行驶的时间为2.25小时， ∴③不正确； ④汽车行驶的总路程为240+30×0.5＝255（千米）， ∴④正确． 综上，①④正确． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的数量关系是解题的关键． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝35°，M是AB边中点，N是AC边上任意一点，将△AMN沿直线MN翻折，使点A关于直线MN的对称点D落在直线BC上，则∠DNC的度数为（　　） A．70° B．80° C．70°或110° D．80°或110° 【考点】翻折变换（折叠问题）．版权所有 【专题】分类讨论；三角形；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】分①点A关于直线MN的对称点D应与B重合；②点A关于直线MN的对称点D在CB的延长线上，两种情况讨论即可解决问题． 【解答】解：由M是AB边中点，N是AC边上任意一点，将△AMN沿直线MN翻折，点A关于直线MN的对称点D落在直线BC上，∠B＝105°是钝角， 知：将△AMN沿直线MN翻折，点A关于直线MN的对称点D应与B重合，或点A关于直线MN的对称点D在CB的延长线上． ①点A关于直线MN的对称点D应与B重合，如图， 则∠NBA＝∠A， ∵∠B＝105°，∠C＝35°， ∴∠A＝180°﹣105°﹣35°＝40°， ∴∠DNC＝2∠A＝80°； ②点A关于直线MN的对称点D在CB的延长线上，如图， 则MA＝MD＝MB，∠MDN＝∠A＝40°， ∵∠MDB＝MBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠NDC＝∠MDB﹣∠MDN＝75°﹣40°＝35°， ∴∠DNC＝180°﹣∠NDC﹣∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 综上，∠DNC的度数为80°或110°， 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，能够分两种情况画出图形是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卷相应的位置上。 9．（3分）计算：＝　5　． 【考点】二次根式的性质与化简．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可． 【解答】解：原式＝＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键． 10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，a﹣3）在x轴上，则a的值为 　3　． 【考点】点的坐标．版权所有 【专题】平面直角坐标系；符号意识． 【答案】3． 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0得出关于a的方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵点P（a，a﹣3）在x轴上， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 11．（3分）写出一个比大且比小的整数 　3（答案不唯一）　． 【考点】估算无理数的大小．版权所有 【专题】实数；数据分析观念． 【答案】3（答案不唯一）.. 【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案． 【解答】解：∵＜2＜3＜4＜， ∴写出一个比大且比小的整数如3（答案不唯一）； 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，估算出＜2＜3＜4＜是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝3∠B，则∠B的度数为 　36　° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】36． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，然后根据已知和三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A＝3∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．（3分）若2（x3﹣1）＝18，则x＝ 　　． 【考点】立方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】． 【分析】先整理方程，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：2（x3﹣1）＝18， x3﹣1＝9， x3＝10， x＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，连接AD，AF．若BC＝6，BD＝2，∠DAF＝90°，则DF的长为 　　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD、FA＝FC，再根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，BD＝2， ∴AD＝BD＝2， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵BC＝6， ∴FA＝FC＝4﹣DF， ∵∠DAF＝90°， ∴DF2＝AD2+AF2，即DF2＝22+（4﹣DF）2， 解得：DF＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 15．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＝15°，AB＝2．点D是AB边上任意一点，点E是AC边上一动点，当DE+BE取得最小值时，AD的长为 　　． 【考点】轴对称﹣最短路线问题．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】作点B关于直线AC的对称点B′，连接AB′、BB′、B′E、B′D，因为AC垂直平分BB′，所以B′E＝BE，AB′＝AB＝2，则∠BAB′＝2∠CAB＝30°，作B′F⊥AB于点F，则B′F＝AB′＝1，求得AF＝，由DE+BE＝DE+B′E，且DE+B′E≥B′D，可知当DE+B′E＝B′D，且B′D的值最小时，DE+BE的值最小，而当点D与点F重合时，B′D＝B′F，此时B′D的值最小，AD＝AF＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：作点B关于直线AC的对称点B′，连接AB′、BB′、B′E、B′D， ∵AC垂直平分BB′， ∴B′E＝BE，AB′＝AB＝2， ∴∠CAB′＝∠CAB＝15°， ∴∠BAB′＝2∠CAB＝30°， 作B′F⊥AB于点F，则∠AFB′＝90°， ∴B′F＝AB′＝1， ∴AF＝＝＝， ∵DE+BE＝DE+B′E，且DE+B′E≥B′D， ∴当DE+B′E＝B′D，且B′D的值最小时，DE+BE的值最小， ∵B′D≥B′F， ∴当点D与点F重合时，B′D＝B′F，此时B′D的值最小， ∴AD＝AF＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查轴对称﹣最短路线问题、垂线段最短、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（6，3），点C从点A出发沿AB以1个单位每秒的速度向终点B匀速运动（不与点B重合），同时，点D从点A出发以相同的速度沿y轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为t秒（t＞0）．过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接BE，在x轴上找一点F（点F在点E右侧）使BF＝BE．连接DC并延长交x轴于点H，若点H始终在点F的左侧，则t的取值范围是 　0＜t＜　． 【考点】坐标与图形性质．版权所有 【专题】应用题；应用意识． 【答案】0＜t＜，过程见解析． 【分析】依题意，结合已知先用待定系数法求得直线CD解析式，进一步求得点H的坐标，分析可得解． 【解答】解：由题可知，点C（t，3），D（0，3+t），且0＜t＜6， 则E（t，0）， ∵BE＝BF， ∴F（12﹣t，0）， 现求直线DC解析式： 把点 C（t，3），D（0，3+t）代入y＝kx+b， 可得：， 解得：， ∴直线DC解析式为：y＝﹣x+3+t， 当y＝0 时，x＝t+3， 即点H（t+3，0），点H在F左侧， 故 t+3＜12﹣t， ∴t＜，且0＜t＜6， 综上：0＜t＜． 【点评】本题考查了一次函数的应用，做题的关键时待定系数法求解析式． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。 17．（5分）计算：． 【考点】实数的运算；零指数幂．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】3． 【分析】根据零指数幂的性质、算术平方根和立方根的定义，先算乘方和开方，再算加减即可． 【解答】解：原式＝1+4+（﹣2） ＝5+（﹣2） ＝3． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、算术平方根和立方根的定义． 18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，2），点C坐标为（2，4），求四边形OACB的面积． 【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．版权所有 【专题】平面直角坐标系；三角形；推理能力． 【答案】8． 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，作CE⊥x轴于点E，连接OC，分别求出△OBC和△OAC的面积即可得出四边形OACB的面积． 【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，作CE⊥x轴于点E，连接OC， ∵点C坐标为（2，4）， ∴CD＝2，CE＝4， ∵点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，2）， ∴OA＝3，OB＝2， ∴S四边形OACB＝S△OBC+S△OAC＝＝＝2+6＝8． 【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，求出△OBC和△OAC的面积是解题的关键． 19．（6分）已知5x﹣1的算术平方根为2，x+3y+4的立方根是﹣1，求x﹣4y的平方根． 【考点】立方根；平方根；算术平方根．版权所有 【答案】±3． 【分析】根据算术平方根的定义求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，再代入x﹣4y中计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵5x﹣1的算术平方根为2， ∴5x﹣1＝4， ∴x＝1， ∵x+3y+4的立方根是﹣1， ∴x+3y+4＝﹣1， ∴y＝﹣2， ∴x﹣4y＝1﹣4×（﹣2）＝9， ∵9的平方根是±3， ∴x﹣4y的平方根是±3． 【点评】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，熟记这几个定义是解题的关键． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上中点，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．求证：AE＝BE． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】证明见解析． 【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可． 【解答】证明：如图，连接EC， ∵AB＝AC，点D是BC边上中点， ∴AD⊥BC， ∵点D是BC边上中点， ∴EB＝EC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴AE＝BE． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 21．（6分）弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理．请利用图2完成勾股定理的验证． 【考点】勾股定理的证明．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为a的正方形面积+边长为b的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【解答】解：如图所示： ①五边形的面积S＝c2+ab×2＝c2+ab， ②五边形的面积S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab． ∴c2+ab＝a2+b2+ab． ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 22．（8分）已知，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． （1）点A坐标为 　（﹣3，2）　； （2）点B与点A关于y轴对称，连接AB，点C在直线AB上方且点C坐标为（2，m），若△ABC的面积为12，求m的值． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；三角形的面积．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】（1）（﹣3，2）． （2）6． 【分析】（1）根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答； （2）根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴点A的横坐标是﹣3，纵坐标是2， ∴点A的坐标为（﹣3，2）； 故答案为：（﹣3，2）； （2）∵点B与点A关于y轴对称， ∴点B坐标为（3，2）， ∴AB＝6， ∵△ABC的面积为12， ∴点C到直线AB的距离为12×2÷6＝4， ∵点C在直线AB上方且点C坐标为（2，m）， ∴m＝2+4＝6． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征和三角形的面积公式是解题的关键． 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． （1）尺规作图：在△ABC的BC边上找到点D，使得点D到AB的距离等于CD； （请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）： （2）若AC＝3，BC＝4，求CD的长． 【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离；角平分线的性质．版权所有 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）． 【分析】（1）结合角平分线的性质、点到直线的距离的定义，作∠BAC的平分线，交BC于点D，则点D即为所求． （2）过点D作DE⊥AB于点E，由（1）可得，DE＝CD，证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AE＝AC＝3．由勾股定理AB＝＝5，则BE＝AB﹣AE＝2．设CD＝x，则DE＝x，BD＝4﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2＝BE2+DE2，代入求出x的值即可． 【解答】解：（1）如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D， 则点D即为所求． （2）过点D作DE⊥AB于点E， 由（1）可得，DE＝CD． ∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝3． 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝2． 设CD＝x，则DE＝x，BD＝4﹣x． 在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2＝BE2+DE2， 即（4﹣x）2＝22+x2， 解得x＝． ∴CD的长为． 【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离的定义是解答本题的关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，连接DC． （1）AB＝ 　10　； （2）已知，直线MN垂直平分AC分别交AB，AC于点D，点E，若点F从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，设运动时间为t秒．连接DC，DF，在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）10； （2）t的值为或． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形．由题意得CF＝2t，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，求得∠DCA＝∠A，得到BD＝DC＝AD＝AB＝5，①当CF＝CD时，2t＝5，解得t＝；②当CF＝DF＝2t时，过点D作DH⊥BC于H，则四边形DHCF是矩形，根据勾股定理得到CH＝＝＝3，则FH＝2t﹣3，求得t＝． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， AB＝＝＝10． 故答案为：10； （2）在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形． 由题意得CF＝2t， ∵直线MN垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝DC， ∴BD＝DC＝AD＝AB＝5， ①当CF＝CD时，2t＝5， 解得t＝； ②当CF＝DF＝2t时， 过点D作DH⊥BC于H，则四边形DHCF是矩形， ∴DH＝CE＝AC＝4， 在Rt△CDH中，CH＝＝＝3， 则FH＝2t﹣3， 在Rt△CDH中，DF2＝FH2+DH2， ∴（2t）2＝（2t﹣3）2+42， 解得t＝； 综上所述：t的值为或． 【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判断，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 25．（10分）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝1，③式就可化成：（m2+1）2﹣（m2﹣1）2＝（2m）2．于是，当m为大于1的正整数时，“m2+1，m2﹣1和2m”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝4时，该组勾股数是 　17，15，8　； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为16，求m的值； （3）若一组勾股数中最大数是a2+6a+10（a是任意正整数），则另外两个数分别为 　a2+6a+9　，　2a+6　.（分别用含a的代数式表示）． 【考点】平方差公式；勾股数；完全平方公式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）17，15，8； （2）3； （3）a2+6a+9，2a+6． 【分析】（1）当m＝4分别代入m2+1，m2﹣1，2m之中求值，进而可得出则组勾股数； （2）根据m2+1＞m2﹣1＞2m，这组勾股数中最大的数与最小的数的和为16，得m2+1+2m＝16，由此解出m即可； （3）根据a2+6a+10＝（a+3）2+1，即这组勾股数中最大数是a2+6a+10（a是任意正整数），即可得出另外两个数勾股数． 【解答】解：（1）当m＝4时， m2+1＝17，m2﹣1＝15，2m＝8， ∴该组勾股数是17，15，8， 故答案为：17，15，8； （2）∵m2+1＞m2﹣1＞2m， ∴这组勾股数中最大的数与最小的数的和为16时，m2+1+2m＝16， ∴（m+1）2＝16， ∵m为大于1的正整数， ∴m+1＝4， 解得：m＝3； （3）∵a2+6a+10＝（a+3）2+1， ∴当一组勾股数中最大数是a2+6a+10（a是任意正整数）时， ∴另外两个数分别为：（a+3）2＝a2+6a+9，2（a+3）＝2a+6， 故答案为：a2+6a+9，2a+6． 【点评】此题主要考查了平方差公式，完全平方公式，勾股数，熟练掌握平方差公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 26．（10分）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 其证明方法：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C，作顶角∠BAC的平分线AD，交BC边于点D，利用“AAS”可以证明△ABD≌△ACD，可得AB＝AC．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在△ABC中，∠ACB＞∠B．求证：AB＞AC． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接DC（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，△ABC中，AC＝3，BC＝5，且∠C＞∠A＞∠B，则AB边的取值范围为 　5＜AB＜8　； （3）已知，如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与点A，点C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞FE． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）5＜AB＜8； （3）证明见解析． 【分析】（1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出2＜AB＜8，证出AB＞5＞3，则可得出结论； （3）在AB上截取AM＝AE，连接MF，证明△MAF≌△EAF（SAS），得出MF＝EF，∠AMF＝∠AEF，证出∠BMF＞∠ABE，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， 在△ACD中，AD+CD＞AC， ∴AD+BD＞AC， ∴AB＞AC； （2）解：∵AC＝3，BC＝5， ∴2＜AB＜8， ∵∠C＞∠A＞∠B， ∴AB＞BC＞AC， ∴AB＞5＞3， ∴5＜AB＜8， 故答案为：5＜AB＜8； （3）证明：在AB上截取AM＝AE，连接MF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF， 又∵AF＝AF， ∴△MAF≌△EAF（SAS）， ∴MF＝EF，∠AMF＝∠AEF， ∴∠BMF＝∠BEC， ∵∠BEC＞∠ABE， ∴∠BMF＞∠ABE， ∴BF＞MF， ∴BF＞EF． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上两点．以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，使点C在直线AB下方． （1）若点A坐标为（6，0），点B坐标为（0，2），则点C的坐标为 　（2，﹣2）　； （2）若OA﹣OB＝8，求出点C的坐标； （3）若AB＝4，△AOB面积为3，求出点C的坐标． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（4，﹣4）； （3）（1，﹣1）或（﹣1，1）． 【分析】（1）过点C作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥CE于点D，证明△DCA≌△EAB（AAS），得出CD＝BE，AD＝CE．求出OE＝CE＝AD＝2，则可得出答案； （2）过点C作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥CE于点D，同（1）可知△DCA≌△EBC（AAS），得出CD＝BE，AD＝CE．求出AD＝CE＝OE＝4，则可得出答案； （3）先求出OA，OB的长，由“AAS”可证△AGC≌△BHC，可得AG＝BH，CH＝GC，即可求解． 【解答】解：（1）过点C作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥CE于点D， ∵A坐标为（6，0），点B坐标为（0，2）， ∴OA＝6，OB＝2， ∵以AB为斜边作等腰直角三角形ABC， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△DCA和△EBC中， ， ∴△DCA≌△EAB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴CE+CD＝AD+BE＝6，BE﹣OE＝BE﹣AD＝2， ∴AD＝2，BE＝4， ∴CE＝OE＝2， ∴C（2，﹣2） 故答案为：（2，﹣2）； （2）如图所示，过点C作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥CE于点D， 同（1）可知△DCA≌△EBC（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE． 设AD＝CE＝x＝EO，CD＝BE＝y． ∴CD+CE＝OA，CD﹣OE＝BE﹣OE＝OB， 即，解得：， ∵OA﹣OB＝8， ∴AD＝CE＝OE＝4， 又点C在第四象限， 故点C的坐标为（4，﹣4）； （3）如图，设AC与OB交于点E，过点C作CH⊥OB于H，CG⊥x轴于G， ∴四边形OGCH是矩形， ∴OG＝CH，OH＝GC， ∵AB＝4，△AOB的面积为3， ∴OA2+OB2＝16，×OA×OB＝3， ∴OA+OB＝2，OB﹣OA＝2或OB﹣OA＝﹣2， 当OA+OB＝2，OB﹣OA＝2时， ∴OB＝+1，OA＝﹣1， ∵∠AEO＝∠BEC，∠AOB＝∠ACB＝90°， ∴∠OAE＝∠EBC， 在△AGC和△BHC中， ， ∴△AGC≌△BHC（AAS）， ∴AG＝BH，CH＝GC， ∴﹣1+OG＝+1﹣OH，CH＝CG＝OH＝OG， ∴OG＝OH＝1＝CH＝CG， ∴点C（1，﹣1）， 当OA+OB＝2，OB﹣OA＝﹣2时， 同理可求点C（﹣1，1）， ∴C点坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，一线三垂直模型的构造，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 考点卡片 1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 3．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 4．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 5．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 6．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 7．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 8．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 9．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 10．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 11．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 13．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 14．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 15．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 16．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 17．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 18．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 19．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 20．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 21．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 22．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 23．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 24．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 25．三角形综合题 涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查． 26．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 27．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 28．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 29．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/22 6:51:14；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$