直线的方程复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线和圆的方程：直线方程复习讲义 考点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线 方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2．倾斜角的取值范围：__________. 3．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是________的直线没有斜率. 4．斜率公式 （1）经过两点的直线的斜率公式为 ； （2）倾斜角的直线的斜率公式为 ； （3）方向向量为的直线的斜率公式为 . 5．若直线与直线平行，则___________________或者_______________________. 6．若直线与直线垂直，则___________________或者_______________________. 7．若、、三点共线，则______________ 或者_____________或者_____________. 考向一 倾斜角与斜率的计算 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 2．（23-24高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 4．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 5．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 由题意得，直线的斜率一定存在， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 又直线的斜率，所以， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 6．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 考向二 利用斜率解决平行问题、垂直问题、三点共线问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即， 解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去； 所以可得. 故选：C 4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为两直线平行， 所以， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：D 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 考点二 直线的五种方程 1. 直线的五种方程 （1）直线的点斜式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （2）直线的斜截式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （3）直线的两点式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （4）直线的截距式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （5）直线的一般式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________. 2. 注意事项 （1）使用点斜式方程、斜截式方程、两点式方程时，须注意讨论斜率存不存在. （2）截距式方程无法表示与轴平行，与轴垂直以及过原点的直线，需要单独讨论. （3）过点且与轴平行的直线可表示为_______，过点且与轴垂直的直线可表示为_______. （4）轴所在的直线可表示为__________，轴所在的直线可表示为__________. 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 3．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和． (1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意点关于轴的对称点为，又， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）因为两点和， 所以其中点为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. 4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 5．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 6．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由两点式可知 化简可得 即为边所在的直线的方程， （2）因为边上的高垂直， 所以斜率为， 又点在高线上， 所以由点斜式可知 即 考点三 交点与定点问题 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标. 2.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 过直线和直线的交点的直线可设为____________________________. 1．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【详解】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 4．（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】将直线化为， 令，解得， 故直线的恒过点为. 故答案为： 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 6．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 考点四 距离问题 1.两点之间的距离问题：已知点、，则线段的长度. 2.点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离 ※求平行线的距离问题时，需要注意先同化、. 1．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·广东清远·期末）设点到直线的距离为，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】直线过定点， 则垂直于直线时，有最大值，为， 故答案为：． 5．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【详解】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 考点五 对称问题 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为_______________． （2）点关于轴的对称点为_______________． （3）点关于原点的对称点为_______________． （4）点关于直线的对称点为_______________． （5）点关于直线的对称点为_______________． 2.对称问题 （1）点关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程解得坐标. （2）点关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程解得坐标. 3.注意事项 （1）“直线关于点对称”可转化为“___________关于___________对称”. （2）“直线关于直线对称”可转化为“___________关于___________对称”. （3）过点发射一束光线，经过直线上的一点反射之后经过点，点关于直线的对称点为， 则、、三点共线. 1．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【详解】设该点坐标为，则有，解得， 故该点坐标为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】, 由于点和点关于直线对称，所以，解得， 和点的中点为，则在直线上， 故，解得， 故答案为： 4．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】点和点的中点坐标为， 由题意得，解得. 故答案为： 5．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点为. 因为直线的斜率为， 由对称关系，两点连线与直线垂直，所以， 又因为两点连线段的中点在直线上， 代入得， 两式联立，即可解得，所以对称点为． 故答案为：． 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为，则， 则， 可知等于点到点的距离， 由题意可知：点在与直线平行的直线上，且两平行线间距离为， 设直线， 则，解得， 即点在直线， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·广东广州·期中）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】设，由反射定律可知， 解得，则反射光线的斜率， 所以反射光线的倾斜角为， 故答案为：． 8．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是 ；直线的斜率为 .    【答案】 2 【详解】   建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以直线的方程为的重心的坐标为， 设点分别是点关于直线和轴的对称点， 连接，所以，设， 则有，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以，即， 解得，此时， 所以，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得，即， 所以直线的斜率为. 故答案为：；2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$直线和圆的方程：直线方程复习讲义 考点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线 方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2．倾斜角的取值范围：__________. 3．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是________的直线没有斜率. 4．斜率公式 （1）经过两点的直线的斜率公式为 ； （2）倾斜角的直线的斜率公式为 ； （3）方向向量为的直线的斜率公式为 . 5．若直线与直线平行，则___________________或者_______________________. 6．若直线与直线垂直，则___________________或者_______________________. 7．若、、三点共线，则______________ 或者_____________或者_____________. 考向一 倾斜角与斜率的计算 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 考向二 利用斜率解决平行问题、垂直问题、三点共线问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 考点二 直线的五种方程 1. 直线的五种方程 （1）直线的点斜式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （2）直线的斜截式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （3）直线的两点式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （4）直线的截距式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________； （5）直线的一般式方程：__________________________________ 使用条件：_________________________. 2. 注意事项 （1）使用点斜式方程、斜截式方程、两点式方程时，须注意讨论斜率存不存在. （2）截距式方程无法表示与轴平行，与轴垂直以及过原点的直线，需要单独讨论. （3）过点且与轴平行的直线可表示为_______，过点且与轴垂直的直线可表示为_______. （4）轴所在的直线可表示为__________，轴所在的直线可表示为__________. 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 3．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和． (1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程． 4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 5．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 6．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 考点三 交点与定点问题 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标. 2.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 过直线和直线的交点的直线可设为____________________________. 1．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 4．（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 考点四 距离问题 1.两点之间的距离问题：已知点、，则线段的长度. 2.点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离 ※求平行线的距离问题时，需要注意先同化、. 1．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 3．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 4．（23-24高二上·广东清远·期末）设点到直线的距离为，则的最大值是 ． 5．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 6．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 考点五 对称问题 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为_______________． （2）点关于轴的对称点为_______________． （3）点关于原点的对称点为_______________． （4）点关于直线的对称点为_______________． （5）点关于直线的对称点为_______________． 2.对称问题 （1）点关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程解得坐标. （2）点关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程解得坐标. 3.注意事项 （1）“直线关于点对称”可转化为“___________关于___________对称”. （2）“直线关于直线对称”可转化为“___________关于___________对称”. （3）过点发射一束光线，经过直线上的一点反射之后经过点，点关于直线的对称点为， 则、、三点共线. 1．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 4．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 5．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为 ． 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 7．（24-25高二上·广东广州·期中）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 8．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是 ；直线的斜率为 .    2 学科网（北京）股份有限公司 $$