精品解析：四川省成都市四川师范大学附属中学成龙分校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

四川师大附中成龙分校2024-2025学年度（上）期中考试试题 高一数学 命题人：李莉莉 审题人：邵星峰 考试时间 120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象可以由的图象（ ）得到. A. 向左平移一个单位 B. 向右平移一个单位 C. 向上平移一个单位 D. 向下平移一个单位 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列函数既是偶函数，且在区间内又是增函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则ab的最大值为___________． 13. 函数的定义域是______. 14. 若是定义在上的奇函数，，，则________． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）分别求，. （2）已知，且，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）若的解集为，求a，b的值； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） （3）写出解不等式的解集． 18. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄． （1）求关于的函数解析式； （2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川师大附中成龙分校2024-2025学年度（上）期中考试试题 高一数学 命题人：李莉莉 审题人：邵星峰 考试时间 120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集个数的计算公式，计算出集合的子集个数. 【详解】因为集合，所以集合的子集个数为个. 故选：D. 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是将存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为. 故选：D 3. 函数的图象可以由的图象（ ）得到. A. 向左平移一个单位 B. 向右平移一个单位 C. 向上平移一个单位 D. 向下平移一个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】将的图象向左平移一个单位可得， 故选：A 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量的范围选取相应的表达式计算． 【详解】， 故选：C 5. 已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 6. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解. 【详解】. 因为，， 所以. 故选：C. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 故选：D 8. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，，都有成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列函数既是偶函数，且在区间内又是增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据偶函数的定义结合函数解析式可判断BC的正误. 【详解】A中，设，则，， 故不是偶函数，故A错误； D中，设，则， 故在内不是增函数，故D错误； B中，设，则，故为上的偶函数， 而当时，，该函数在内是增函数，故B正确； C中，设，则，故为上的偶函数， 而当时，在内是增函数，故C正确； 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由充分不必要的概念可判断，对于B，从定义域的角度可判断，对于C，求出解集即可判断，对于D，通过在1处的函数值正负可判断. 【详解】对于A：等价于，等价于，是的充分不必要条件，故正确； 对于B：的定义域为,的定义域为，不是同一函数，故错误； 对于C：等价于且，解得：解集为，故错误； 对于D：令，则由题意知， 解得，故正确. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则ab的最大值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】∵，，，当且仅当时等号成立，即，整理可得，所以ab最大值为4． 故答案为：. 13. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域可得，解之即可求解. 【详解】由题意可得，得或， 即函数的定义域为. 故答案为： 14. 若是定义在上的奇函数，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故， 又因为，所以，故， 所以，即的周期为， 由于为定义在上的奇函数，且， 可得，，， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）分别求，. （2）已知，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得； （2）利用子集概念即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为，， 所以，解得， 求实数的取值范围为. 16. 已知二次函数. （1）若的解集为，求a，b的值； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得出方程的根，由根与系数的关系求解； （2）利用二次函数对称轴和单调区间端点的关系建立不等式求解. 【小问1详解】 的解集为， 和是方程的两根， 由根与系数关系得：； . 【小问2详解】 的图象开口向上，对称轴为， 且在区间上单调递增， ，. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） （3）写出解不等式的解集． 【答案】（1）图象： ，单调递减区间为和． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图， 结合图象可知，函数的单调递减区间为和． 因为当时，， 所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当 时，， 故的解析式为. 【小问2详解】 因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点， 所以. 【小问3详解】 当时，可得，结合图象可得； 当时，可得，结合图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 18. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄． （1）求关于的函数解析式； （2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）根据利润是收入与成本之差可构造分段函数解析式； （2）根据二次函数最值、基本不等式分别求解每一段上的最大值，对比可得总体最大值并确定最大值点. 【小问1详解】 由题意知：， . 【小问2详解】 当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线， 此时； 当时，（当且仅当时取等号）； ，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元. 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）为定义域上的奇函数 证明：易知为定义域为，关于原点对称 又由，故为奇函数 （2）为上的增函数 证明：当时， 任取，且， 可得 因为且，可得，， 所以，即，故为上的增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到一元二次不等式在恒成立，结合二次函数的图象即可列出不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为奇函数，可得在上为增函数 又由，可得为定义域上的增函数 由，可得 从而有对于任意实数恒成立 即对于任意实数恒成立 令，易知开口向上，故只需 解得，故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $