2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《6.1幂函数》提优训练原卷+解析卷

2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《6.1幂函数》提优训练 （时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 2．函数的图象是(　　) 3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A. ①，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 B. B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x－1 D．①y＝x3，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1 4．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　) A． B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x－2 5. 已知函数是幂函数，且当时，单调递增，则m的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2或－1 D. 2 6. 已知幂函数的图象过点，则(　　) A. B. 1 C. D. 2 7. 下列函数在区间上是严格增函数，且其图象关于y轴对称的是(　　) A. B. C. D. 8. 有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数：(2) 值域是；(3) 在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中，正确的是(　　) A. 当时，的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点， C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限 D. 若幂函数在区间上单调递减，则 10. 如果幂函数的图象过点，则下列说法中正确的有(　　) A. 且 B. 是偶函数　 C. 是减函数 D. 的值域为 11.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则(　　) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x≥4,则f(x)≥2 D.若x2>x1>0,则<f() 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________． 13. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，交点分别为M，N，则________． 14. 幂函数的图象经过点，则________；满足的实数的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（14分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x-m-1(m∈R)为偶函数． (1)则f()＝________； (2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为________． 16.（14分）已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(2-a)<f(a2-4),求实数a的取值范围. 17. （14分）已知幂函数． (1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2) 若函数的图象经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围． 18. （15分）已知幂函数过点． (1) 若，，判断与的大小关系，并证明； (2) 求函数在区间上的值域． 19.（20分）已知幂函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且 f(f())=8. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若函数g(x)=[f(x)-ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为-,求实数a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《6.1幂函数》提优训练 （时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 【答案】：B 【解析】：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 2．函数的图象是(　　) 【答案】：B 【解析】：∵当x>1时，x>；当x＝1时，x＝，所以A、C、D均不正确，选B. 3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A. ①，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 B. B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x－1 D．①y＝x3，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1 【答案】：B 【解析】：因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②，同理可得出选项B正确． 4．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　) A． B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x－2 【答案】：B 【解析】：∵A，C项在(－∞，0)上为增函数；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是增函数，故选B. 5. 已知函数是幂函数，且当时，单调递增，则m的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2或－1 D. 2 【答案】D 【解析】由题意是幂函数，则，解得或.因为在上是增函数，当时，符合题意；当时， ，不符合题意，所以.故选D. 6. 已知幂函数的图象过点，则(　　) A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以.又因为函数的图象过点，所以，解得，所以.故选A. 7. 下列函数在区间上是严格增函数，且其图象关于y轴对称的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，由知该函数是定义域在上的偶函数，且该函数在区间上为增函数，所以该函数在区间上为减函数，故A错误；对于B，由知该函数的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C，由知该函数是定义在上的偶函数．又该函数在区间上为减函数，则该函数在区间上为增函数，故C正确；对于D，由知该函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故D错误．故选C. 8. 有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数：(2) 值域是；(3) 在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】对于①为奇函数，值域是，在上是减函数，故不符合；对于②为奇函数，值域为，在上是增函数，故不符合；对于③为奇函数，值域为，在上是增函数，故不符合；对于④，为偶函数，值域是，在上是增函数，故符合．故选D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中，正确的是(　　) A. 当时，的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点， C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限 D. 若幂函数在区间上单调递减，则 【答案】CD 【解析】对于A，当时，的定义域为，所以函数的图象不是一条直线，故A不正确；对于B，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过，但不一定经过，如，故B不正确；对于C，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C正确；对于D，若幂函数在区间上单调递减，此时，满足幂函数的性质，故D正确．故选CD. 10. 如果幂函数的图象过点，则下列说法中正确的有(　　) A. 且 B. 是偶函数　 C. 是减函数 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】因为为幂函数，所以.又过点，所以，解得，故A正确；所以，从而的定义域为，所以，所以为偶函数，故B正确；当时，单调递减，由偶函数性质知在上单调递增，故C错误；因为，所以，即的值域为，故D正确．故选ABD. 11.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则(　　) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x≥4,则f(x)≥2 D.若x2>x1>0,则<f() 【答案】ACD　 【解析】设f(x)=xα,则f(9)=9α=3,解得α=,所以f(x)=,f(x)的定义域为[0,+∞).f(x)在[0,+∞)上单调递增,A正确.f(x)的定义域不关于原点对称,B错误.当x≥4时,f(x)≥f(4)==2,C正确.当x2>x1>0时,[]2-[f()]2==-<0,又f(x)≥0,所以<f(),D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________． 【答案】：{0，2} 【解析】：幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2，则实数m的取值集合为{0，2}． 13. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，交点分别为M，N，则________． 【答案】1 【解析】由条件知，，，所以，，所以，所以. 故答案为：1.　 14. 幂函数的图象经过点，则________；满足的实数的值是________． 【答案】　. 【解析】设(是常数)，则，解得，所以，所以.由，可得. 故答案为：　. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（14分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x-m-1(m∈R)为偶函数． (1)则f()＝________； (2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为________． 【答案】：(1)16　(2)－1或－ 【解析】(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3，当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，∴f(x)＝x－4，∴f()＝()－4＝16. (2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－. 16.（14分）已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(2-a)<f(a2-4),求实数a的取值范围. 【答案】：(1)f(x)=x3.　(2){a|a<-3或a>2} 【解析】(1)因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,所以2m2+m-2=1,解得m=-或m=1. 又f(x)在其定义域上是增函数,所以2m+1>0,即m>-, 所以m=1,所以f(x)=x3. (2)因为f(x)为R上的增函数,f(2-a)<f(a2-4),所以2-a<a2-4,解得a<-3或a>2, 所以实数a的取值范围是{a|a<-3或a>2}. 17. （14分）已知幂函数． (1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2) 若函数的图象经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围． 【答案】：（1）增函数；（2） 【解析】(1) 因为，所以为偶数．令，，则，所以的定义域为，且在区间上为增函数． (2) 由题意可得，所以，解得或(舍去)，所以 .由(1)知在定义域上为增函数，所以等价于，解得，所以实数的取值范围为. 18. （15分）已知幂函数过点． (1) 若，，判断与的大小关系，并证明； (2) 求函数在区间上的值域． 【答案】（1）.（2） 【解析】(1) 因为幂函数过点，所以，解得，所以 .，理由如下： 因为，， 所以， 即，即. (2) 由(1)得. 因为，则，故， 所以函数在区间上的值域为. 19.（20分）已知幂函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且 f(f())=8. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若函数g(x)=[f(x)-ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为-,求实数a的值. 【答案】（1）f(x)=x-3 （2）奇函数 （3）a= 【解析】(1)设f(x)=xα,则f()=()α=,f(f())=()α=.因为f(f())=8,所以=23,所以=3,即α=±3.当α=3时,f(x)=x3在(-∞,0)上是增函数,不满足题意,舍去; 当α=-3时,f(x)=x-3在(-∞,0)上是减函数,满足题意.所以f(x)=x-3. (2)由(1),知f(x)=x-3,其定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),所以函数f(x)=x-3是奇函数. (3)由(1),得g(x)=(x-3-ax=x2-ax=(x-)2-, 所以函数g(x)的图象的对称轴为直线x=. ①当1<<2,即2<a<4 时,g(x)在[1,]上是减函数,在(,2]上是增函数, 所以g(x)min=g()=-=-, 解得a=±1,不满足2<a<4; ②当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,2]上是增函数, 所以g(x)min=g(1)=1-a=-,解得a=,满足a≤2,所以a=; ③当≥2,即a≥4时,g(x)在[1,2]上是减函数,所以g(x)min=g(2)=4-2a=-,解得a=,不满足a≥4.综上所述,a=. 学科网（北京）股份有限公司 $$