精品解析：湖北省武汉市洪山区2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题

洪山区2024-2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知边长求第三边的取值范围为：，因此只有选项D符合． 【详解】解：设第三边长为， 则， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 4. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 5. 若一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角等于它相邻外角的3倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设它相邻的外角为，则内角度数为，根据题意，得，再根据公式解答即可． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设它相邻的外角为，则内角度数为，根据题意，得， 解得， 故多边形的边数为：． 故选：C． 6. 如图，在中，点在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，外角性质，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 故， 故选：A． ． 8. 已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论． 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 综上所述，共计有5个符合条件的点C， 故选：B． 9. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线 ， 在和中 ， ，，， 故选：C． 10. 在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当三点共线时，取得最小值即取得最小值，解答即可． 【详解】解：过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反，即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的性质解答关键． 分两种情况：当是顶角时，当是底角时，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：①当是顶角时，底角； ②当是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 15. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，取的中点Q，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； 当时，∵，， 根据前面证明得， ∴； 当时，∵，， 根据前面证明，得 ∴； ∵， 故． 故答案为：或或． 16. 如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确地利用图形特征作出辅助线是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，可证明即可判断①；由，但与不一定相等，推导出与不一定相等，则与不一定相等，可判断②；由全等三角形的性质得，可判断③；作于点，于点，可证明，得，即可判断④． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ，，， ，， ，， 点、、共线，， 在和中， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②错误； ， ， 平分， 故③正确； 过点作于点，延长线于点， 则， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 在中，，，求的各内角度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】先根据题意得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 解得， ，． 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等式的性质，三角形全等的判定解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ ∴，即 在和中 ∴． 19. 如图，在中，是边上的高，平分，，． （1）求的大小； （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用角的平分线，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理计算即可. （1）由三角形的内角和可求得∠BAC的度数，再由角平分线的定义即可求∠CAE； （2）由是边上的高可得，由由三角形的内角和可求得的度数，即可求的度数. 小问1详解】 解：（1）由内角和为180°得： ∵平分 ∴ 【小问2详解】 解：是边上的高， ∴． 20. 如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、三角形的外角定理，熟练掌握是解题的关键． （1）判定为等边三角形，得到，，结合即可判定； （2）根据全等三角形的性质得，根据三角形的外角定理进行转化即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴为等边三角形 ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹． （1）在图1中，画出点关于直线的对称点； （2）在图1中，作出的高； （3）在图1中，在线段上确定一点，使得； （4）在图2中，若与关于直线对称，且，均为格点，请你作出直线（不必画出）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，且，连接，且，证明，，可得关于对称． （2）如图，取格点，，且，连接交于，且，证明，取格点，连接交于，且，证明，可得，证明，可得，进一步证明，可得即为所求； （3）如图，取格点，，且，连接交于，且，证明，可得，即为所求． （4）分三种情况画图，如图，取格点，，，连接，作直线，交于，证明是的垂直平分线，可得与关于直线对称，即即为所求；如图，取格点，，与交于，作直线， 同理可得：与关于直线对称，即即为所求；如图，当重合时，此时即为所求的对称轴． 【小问1详解】 解：如图，取格点，且，连接，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于对称． 【小问2详解】 解：如图，取格点，且，连接交于，且， ∴， ∴， 取格点，连接交于，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即即为所求． 【小问3详解】 解：如图，取格点，且，连接交于，且， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求． 小问4详解】 解：如图，取格点，，，连接，作直线，交于， ∵，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称，即即为所求； 如图，取格点，，与交于，作直线， 同理可得：与关于直线对称，即即为所求； 如图，当重合时， 此时即为所求的对称轴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的高的含义，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的乘法运算，熟练的利用网格特点进行画图是解本题的关键． 22. 【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 【答案】方法分析：图见解析，；问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，图见解析，桥与铁路的距离为． 【解析】 【分析】方法分析：根据小刚的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设， 根据，求出的值即可． 【详解】解：方法分析：如图，点即为所求作； 设，则， 点与点关于轴对称， ， , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则， 由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 23. （1）已知，均为等边三角形． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接、、．猜想的形状，并证明； （2）如图3，等腰中，，，为的中线．延长至，使得，延长至，使得，连接、．证明：． 【答案】（1）①见解析；②为等边三角形，理由见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，等量代换思想，证明． ②先证明．再根据等边三角形的判定定理，证明是等边三角形即可； （2）取中点，连接，延长至使得，连接，先证明，再证明，结合等边三角形的判定和性质，证明：． 【详解】（1）①证明：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴． ②猜想为等边三角形，理由如下： 由①得，， 又∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴ ∴为等边三角形． （2）取中点，连接，延长至使得，连接， ∵为中点， ∴， 又，， ∴，， ∴， 且， ∴， 又， ∴，， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，等量代换思想，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接， （1）直接写出，两点的坐标：________，________； （2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； （3）如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）非负性求出的值，即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，易得是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明，得到，，即可得出结果； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而推出是等腰直角三角形，证明，推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 过点作于点，过点作轴于点 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵的横坐标为1， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点， 在和中 ∴ ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，非负性，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洪山区2024-2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（） A. B. C. D. 3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 4. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 若一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角等于它相邻外角的3倍，则该多边形的边数是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，在中，点在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为______． 13. 如图，在中，，，平分，若，则的长度为______． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是__． 15. 已知是等腰三角形，若为腰边上高，当时，的度数是________． 16. 如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 在中，，，求的各内角度数． 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 如图，在中，是边上的高，平分，，． （1）求的大小； （2）求的大小． 20. 如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹． （1）在图1中，画出点关于直线的对称点； （2）在图1中，作出的高； （3）在图1中，在线段上确定一点，使得； （4）在图2中，若与关于直线对称，且，均为格点，请你作出直线（不必画出）． 22. 【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 23. （1）已知，均为等边三角形． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接、、．猜想的形状，并证明； （2）如图3，等腰中，，，为的中线．延长至，使得，延长至，使得，连接、．证明：． 24. 在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接， （1）直接写出，两点的坐标：________，________； （2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； （3）如图2，为角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$