浙江省杭州市丰潭中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区丰潭中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球 B．一个三角形三个内角的和小于 C．若是实数，则 D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 2．（3分）二次函数图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 3．（3分）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 4．（3分）已知，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）如图，在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（3分）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　． A．2 B．4 C．6 D．8 7．（3分）人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为．当时，则点到桌面的最大高度是　　 A． B． C． D． 9．（3分）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（3分）已知：点，，为轴正半轴上一点，且满足，则　　 A．外接圆的圆心在上 B． C．外接圆的半径等于5 D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 12．（4分）一个盒子中有个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则　　． 13．（4分）如图，内接于，是的直径，，则　　． 14．（4分）如图，点是△的重心，过点作交于点，于点，若，则的长度为 　　． 15．（4分）当时，两个函数和的函数值都随着的增大而减小，则的最小值为 　　． 16．（4分）如图，是的直径，且，弦交于点，直线，交于点，若，则　　． 三、解答题（共66分） 17．（6分）计算： （1）已知，且，求的值； （2）． 18．（6分）某校九年级（2）班、、、四位同学参加了校篮球队选拔． （1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中参加校篮球队的概率是 　　； （2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中、两位同学参加校篮球队的概率． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． （1）将△绕点顺时针旋转后得到△，画出△． （2）求点到的路径长（结果保留． 20．（8分）如图，是的直径，点，为圆弧上一点，． （1）求证：． （2）若，，求点到的距离． 21．（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 22．（10分）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．他在实验中记录了以下数据： ①水平距离的长为； ②铅垂高度的长为； （1）求量角器的半径长； （2）如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时激光笔发光点的铅垂高度的长及点沿方向移动的距离． 23．（10分）设二次函数，，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： 0 1 2 3 1 1 （1）若，求二次函数的表达式． （2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小． （3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 24．（12分）如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，． （1）若，求证：． （2）当点在上运动时， ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明． ②求证：． 2023-2024学年浙江省杭州市西湖区丰潭中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球 B．一个三角形三个内角的和小于 C．若是实数，则 D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【解答】解：．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故不符合题意； ．一个三角形三个内角的和小于，这是不可能事件，故不符合题意； ．若是实数，则，这是必然事件，故符合题意； ．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故不符合题意； 故选：． 2．（3分）二次函数图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线顶点式可求得答案． 【解答】解：， 顶点坐标为， 故选：． 3．（3分）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系． 【解答】解：连接， 在矩形中，，， ，， ， ，，， 点在上，点在外，点在内． 故选：． 4．（3分）已知，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：、等式的左边除以4，右边除以9，故错误； 、等式的两边都除以6，故正确； 、等式的左边除以，右边除以，故错误； 、等式的左边除以4，右边除以，故错误； 故选：． 5．（3分）如图，在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【解答】解：， ， ， ，， ， ， 故选：． 6．（3分）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得，即，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作，树高为，且，，； ，， ， ， ，即， 解得． 故选：． 7．（3分）人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：为的黄金分割点， ， 故选：． 8．（3分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为．当时，则点到桌面的最大高度是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案 【解答】解：如图，过点作于，过点作于， 在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故选：． 9．（3分）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】观察图象可知，，再结合题目一一判断即可． 【解答】解：如图，由题意对称轴为直线， 观察图象可知，， 若，如图1中，则，选项不符合题意， 若，如图2中，则，选项不符合题意， 若，如图3中，则，选项符合题意， 若，如图4中，则，选项不符合题意， 故选：． 10．（3分）已知：点，，为轴正半轴上一点，且满足，则　　 A．外接圆的圆心在上 B． C．外接圆的半径等于5 D． 【分析】构造含有圆心角的，则与轴的交点即为所求的点．根据为等腰直角三角形，可得，根据勾股定理得：，进而得出． 【解答】解：设线段的中点为， 点，， ，． 如图所示，过点在第四象限作，且，则 易知为等腰直角三角形，，； 以点为圆心，（或长为半径作，与轴的正半轴交于点， 为的圆周角， ，即则点即为所求． 过点作轴于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）　　． 【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（4分）一个盒子中有个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则　9　． 【分析】由于取得白球的概率是，故可利用概率公式求出摸到白球的概率列出等式，求出的值． 【解答】解：， ， 经检验是原方程的解， ， 故答案为：9． 13．（4分）如图，内接于，是的直径，，则　　． 【分析】根据是的直径，则，从而有，从而求得，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（4分）如图，点是△的重心，过点作交于点，于点，若，则的长度为 　4　． 【分析】由三角形重心的性质可知，，再相关条件推出△△，△△，进而求得解． 【解答】解：如图，连接并交于点 是△的重心， ， 又， △△，△△， 、， ， ． 故答案为：4． 15．（4分）当时，两个函数和的函数值都随着的增大而减小，则的最小值为 　4　． 【分析】根据二次函数解析式可得，的开口方向及对称轴，进而求解． 【解答】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，，的函数值随增大而减小， ， 故答案为：4． 16．（4分）如图，是的直径，且，弦交于点，直线，交于点，若，则　1　． 【分析】过点作于点，证明以及，设，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ，， 解得：， ， ， 故答案为：1 三、解答题（共66分） 17．（6分）计算： （1）已知，且，求的值； （2）． 【分析】（1）利用设法进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设， ，， ， ， 解得：， ； （2） ． 18．（6分）某校九年级（2）班、、、四位同学参加了校篮球队选拔． （1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中参加校篮球队的概率是 　　； （2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中、两位同学参加校篮球队的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意列出图表得出所有等情况数和选中、两位同学参加校篮球队的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）九年级（2）班、、、四位同学参加了校篮球队选拔， 从这四人中随机选取一人，恰好选中参加校篮球队的概率是； 故答案为：； （2）列表格： 共有12种等情况数，其中恰好选中、两位同学参加校篮球队的有2种， 则． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，． （1）将△绕点顺时针旋转后得到△，画出△． （2）求点到的路径长（结果保留． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）由勾股定理得，， 点到的路径长为． 20．（8分）如图，是的直径，点，为圆弧上一点，． （1）求证：． （2）若，，求点到的距离． 【分析】（1）证，再由圆周角定理得，，则，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，由垂径定理得，再由三角形中位线定理得，然后由圆周角定理得，进而由勾股定理得，即可解决问题． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， ， 是的中位线， ， 是的直径， ， ， ， 即点到的距离为4． 21．（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 【分析】（1）可通过证明，，证得△△； （2）根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在中，，， ，， 又，， ， △△； （2）解：， ， 又， ，即， ， ， 设，， 在△中，， ， △△， ， 又， ， ． 22．（10分）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．他在实验中记录了以下数据： ①水平距离的长为； ②铅垂高度的长为； （1）求量角器的半径长； （2）如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时激光笔发光点的铅垂高度的长及点沿方向移动的距离． 【分析】（1）设，根据勾股定理得出方程解答即可； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）设，在 中，由勾股定理可得：， 即， 解得：． （2）， ， 当，时， 即， 解得：， 当时，，， 解得：， 点移动距离：． 23．（10分）设二次函数，，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： 0 1 2 3 1 1 （1）若，求二次函数的表达式． （2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小． （3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）利用二次函数的性质得出结论； （3）根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， 二次函数的表达式是； （2）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）和时的函数值都是1， 抛物线的对称轴为直线， 是顶点，和关于对称轴对称， 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且， ， ， 二次函数为， ， ． 24．（12分）如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，． （1）若，求证：． （2）当点在上运动时， ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明． ②求证：． 【分析】（1）由圆周角定理得出，由三角形内角和定理可求出，则可得出结论； （2）①连接，证出，，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，，代入并化简整理可得出答案． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）解：①． 证明：连接， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， 又， ， ； ②证明：的半径为1， ， ，， ， 又， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，， 又， ． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$