专题：二次函数中的abc符号课件2024-2025学年苏科版数学九年级下册

专题：二次函数中abc符号 一、自主探索： 二次函数中a、b、c及b2-4ac的符号 1.观察 y=ax2+bx+c的图象，你能得到关于a、b、c 的哪些信息？ ● ● -1 1 0 x y y=ax2+bx+c ⑴ a的符号由 决定： ①开口方向向 a 0； ②开口方向向 a 0. 归纳： 开口方向 上 下 > < 3 ⑵ b的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 a、b ； ② 在y 轴的右侧 a、b ； ③ 是y 轴 b 0. 归纳： 对称轴 对称轴 对称轴 对称轴 = 同号 异号 ④ 特别的 ，当对称轴为直线x=1时 . 2a+b=0 ⑤ 特别的 ，当对称轴为直线x=-1时 . 2a-b=0 4 ⑶ c的符号由 决定： ①点（0，c ）在 轴正半轴 c 0； ②点（0，c ）在原点 c 0； ③点（0，c ）在 轴负半轴 c 0. 与y轴交点 > < = ⑷b2-4ac 的符号由 决定： ①抛物线与 x轴有 交点 b2-4ac 0 方程 实数根； 与x轴交点 两个 > 有两个不等 ②抛物线与 x轴有 公共点 b2-4ac 0 方程有 实数根； ③抛物线与 x轴有 公共点 b2-4ac 0 方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个 交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当 x=1时，y = ， 当 x=-1时，y = . 一个 = 两个相等 没有 < 没有 顶 a+b+c a-b+c 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 对称轴是直线x＝1.下列结论： ①abc>0；②2a＋b＝0； ③b2－4ac<0； ④4a＋2b＋c>0.其中正 确的是(　 ) A．①③ B．只有② C．②④ D．③④ 典型例题 考点一：由图像确定a、b、c的符号 缺字母c首先想 到的是对称轴. 2.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（   ） A. 1            B. 2                C. 3            D. 4 3.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.a<0,b<0,c>0 C.a+b+c<0 D.关于x的方程ax2+bx+c=-1 有两个不相等的实数根。 　 B.-=1 4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原点;②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<2时,y随x增大而增大.其中结论正确的是(　　) A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤ 5.已知二次函数的 图象如图所示，有下列5个结论：① abc<0 ；② b<a+c ；③ 4a+2b+c>0 ；④ 2c<3b ；⑤ a+b<m(am+b)(m≠1的实数)，其中正确结论 的序号有 。 ①③④ 缺一字母----找一 等式和一不等式. 6. 已知函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=x- 的图 象如图所示,则下列结论:①ab>0;②c>- ; ③a+b+c>- ;④方程ax2+(b-1)x+c+ =0 有两个不 相等的实数根.其中正确的有(     ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 考点二：结合一次函数 二次函数 （a，b，c是常数）的图象如图所示，下列结论错误的是（  )。 A.4ac<b2 B.abc<0 C.b+c>3a D.a<b 找不到等式一般利用 不等式性质. y=a-b+c>0 ∴a+c>b C: 当x=-1时 ∴ a+c+b>2b ∴b>2a ∴2b>4a ∴ a+c+b>4a D: ∵a-b+c>0 ∴ a-b>-c>0 ∴ a-b>0 ∴ a>b 拓展 已知二次函数 的图象如图， 分析下列四个结论：①abc<0；②b2-4ac>0； ③ 3a+c>0；④(a+c)2>b2，其中正确的结论有（   ）。 A: 个 B: 个 C: 个 D: 个 找不到等式一般利用 不等式性质. 变式 15 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1＜1.下列四个结论： ①abc＜0；②2a－c＞0；③a＋2b＋4c＞0； ④-4，正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论：①ac<0,②b−2a<0,③b2−4ac<0,④a−b+c<0,正确的是 ( ) A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列结论： ①abc<0②b<c③3a+c=0④当y>0时，−1<x<3 其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④a−b⩾m(am+b)(m为实数)；⑤4ac−b2<0.其中错误结论的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论：①abc<0;②a+b+ c=0;③ac+b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根。其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2．抛物线与x轴的一个交点在点（-4，0）和点（-3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有 （ ） ①4a-b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等； ②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B， 且AB≤6，则a＜-或a≥1．其中正确的结论是 （ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，B(3,0)两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①b>0; ②a−b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<−1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是_ __.(填上所有正确结论的序号)      9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，给出下列结论： ①b2=4ac;②abc>0;③a>c; ④4a−2b+c>0,其中正确有___(填序号).       10.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(−1,0),(0,2)，且顶点在第一象限，设M=4a+2b+c，则M的取值范围是___.        11.一次函数y=ax+b(a>0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示,A点的坐标为(−2,0),则下列结论中,正确的是 ( )      A. a>b>0 B. a>k>0 C. b=2a+k D. a=b+k 当x=-1时 $$