精品解析：辽宁省沈阳市第一三四中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年度上学期 八年级数学学科11月份限时作业 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 在数0，，， 0.13， 0.10010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）， 3.1415926，中， 无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 3. 在中，，，对边是a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点与点关于y轴对称，则等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 11 5. 估计值在哪两个数之间（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 7. 一次函数y＝kx-b的图象如图所示，则关于x的方程kx-b＝0的解是（　　） A. （1，0） B. （0，-1） C. x＝1 D. x＝﹣1 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（ ） A. B. 14 C. 6 D. 3 9. 如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③A、B两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________． 12. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上，，分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为_____． 13. 如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬______． 14. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么y与x之间的函数关系发生了变化，其中图______（填“2”或“3”）反映了按方法1运营的函数关系； 两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到0.5万元； 方法2：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到0.75万元． 则两种解决方法收支差额相等时的乘客数量为______万人． 15. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴上运动（点不与原点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线与直线交点为，在点的运动过程中，若为等腰三角形，则点的坐标为_______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 解方程组． 18. 阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： （1） ， ； （2）求的最小值； （3）比较大小： ． 19. 某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 20. 如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函数关系．小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑．设小云慢跑的时间为（单位：分钟），小风和小云消耗的热量总和为（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中与之间的函数关系． （1） ； （2）利用（1）中数据，求小风在中途休息时与之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）如果消耗的热量达到卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时， ；小云运动量达标时， ； （4）若小风不休息与小云同时完成整个运动，完成运动时对应值为 ． 21. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 22. 一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点 （1）求直线的解析式； （2）平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 23. （1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度上学期 八年级数学学科11月份限时作业 考试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 在数0，，， 0.13， 0.10010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）， 3.1415926，中， 无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此求解即可． 【详解】解：0，，0.13，3.1415926，是有理数； ，0.10010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）是无理数． 故选A． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 在中，，，对边是a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，且， ，故为直角三角形； B、，设 ，故为直角三角形； C、， ，故不是直角三角形； D、，故为直角三角形． 故选：C． 4. 若点与点关于y轴对称，则等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得的值，进而可得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ． 故选：A． 5. 估计的值在哪两个数之间（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】先找在哪两个完全平方数之间得出，和都是开方开的尽的数，于是可得，即可得到最后结果． 【详解】解： ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 6. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．设水位与时间的关系式，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：设水位与时间的关系式， 把和代入表中数据得 ， 解得：， ∴水位与时间的关系式． 把代入中，得， 故选：D． 7. 一次函数y＝kx-b的图象如图所示，则关于x的方程kx-b＝0的解是（　　） A. （1，0） B. （0，-1） C. x＝1 D. x＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的方程kx+b=0的解其实就是求当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，关于x的方程kx-b =0的解为x=1． 故答案为：x=1， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（ ） A. B. 14 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，然后求出，由得到，然后在中利用勾股定理得到，然后利用完全平方公式的变形求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 结合图形可知，一次函数的图象沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点， 所以当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：的顶点的坐标分别为， ∴， 将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为， 故选：A． 10. 甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③A、B两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达B地，求出两地的距离即可判断③；根据乙到达B地时，甲距离B地还有，求出甲车比乙车晚到的时间，即可判断④． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后，到达B点， ∴A，B两地相距，故③正确； 根据图可知，乙车到达B地时，甲车距离B地还有， ∴甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可． 【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”， ∴将直线向上平移1个单位长度所得到的直线的解析式为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上，，分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，解一元一次方程．根据题意可知所作图为的角平分线，继而利用角平分线性质列出关于a的一元一次方程解出即可． 【详解】解：∵由题意得：为的角平分线， ∵点P的坐标为， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 14. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么y与x之间的函数关系发生了变化，其中图______（填“2”或“3”）反映了按方法1运营的函数关系； 两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到0.5万元； 方法2：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到0.75万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为______万人． 【答案】 ①. 3 ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，待定系数法求一次函数解析式等知识点， （1）票价不变即函数关系式的k值不变，降低运营成本即图象与y轴交点上移，据此作答即可； （2）根据题意分别写出这两种方法y与x之间的函数关系式，令二者函数值相等，求出x的值即可． 利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）图3反映了按方法1运营函数关系．理由如下： ∵票价不变即函数关系式的k值不变，降低运营成本即图象与y轴交点上移， ∴图3反映了按方法1运营的函数关系， 故答案为：3； （2）根据题意，设图1的y与x之间的关系式为（k、b均为常数，且）， ∴， 解得， ∴y与x之间的关系式为， ∴方法1的y与x的函数关系为， 方法2的y与x的函数关系为， ∵两种方法的收支差额相等， ∴， 解得， 故答案为：6． 15. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴上运动（点不与原点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线与直线的交点为，在点的运动过程中，若为等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的性质，等腰三角形的判定与性质，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键．分种情况：分别以、、三点所成的角为顶角讨论：①当时，可得与重合，故舍；②当时，且点在点右边时；③当时，且点在点左边时；④当时，此时与重合，分别根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点的坐标． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则， ， ， 分4种情况： ①当时， ， ， 此时与重合，如图，故不存在； ②当，且点在点右边时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； ③当时，且点在点左边时，如图，此时与重合， ， ， ， ， ， ， ， ； ④当时， ， ， ， ， ， 与轴重合，此时与重合，如图， ， ， 故答案为：或或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算法则、绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质和运算法则计算即可； （）利用平方差公式、二次根式的乘法法则运算再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用加减消元法求出，将代入任一方程，求出，即可求解；掌握二元一次方程组的解法，并能灵活应用是解题的关键. 【详解】解：， ①-②得：， 把代入①得：， 原方程组的解为：． 18. 阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： （1） ， ； （2）求的最小值； （3）比较大小： ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， 即：， 的最小值为； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 19. 某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【答案】（1）座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； 【小问2详解】 解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 20. 如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函数关系．小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑．设小云慢跑的时间为（单位：分钟），小风和小云消耗的热量总和为（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中与之间的函数关系． （1） ； （2）利用（1）中数据，求小风在中途休息时与之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）如果消耗的热量达到卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时， ；小云运动量达标时， ； （4）若小风不休息与小云同时完成整个运动，完成运动时对应的值为 ． 【答案】（1） （2） （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）求出两人每分钟消耗的热量和为（卡路里），再列式计算可得的值； （2）用待定系数法利用，两点即可求解； （3）先求出小云慢跑时，每分钟消耗的热量，即可求出小云运动量达标时的值，再求出小风每分钟消耗的热量，再列式计算可得答案； （4）将两人每分钟消耗的热量和乘以分钟，即可得到完成运动时对应的值． 【小问1详解】 解：由图象可得，两人每分钟消耗热量和为（卡路里）， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设小风在中途休息时与之间的函数关系式为， 将，代入， 得：， 解得：， 小风在中途休息时与之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：小云慢跑时，每分钟消耗的热量为（卡路里）， 小云运动量达标时，， 小风慢跑时，每分钟消耗的热量为（卡路里）， 分钟时，小风消耗的热量为，尚未达标， 小风运动量达标时，， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：如果小风不休息与小云同时完成整个运动，完成运动时对应的值是， 故答案为：． 21. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【解析】 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 22. 一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点 （1）求直线的解析式； （2）平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 【答案】（1）； （2）①；②，；③或． 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数得：，得到，再将代入，即可求解； （）①先求得两点的坐标，得到，设，，得到，又因为，解得，即可求解； ②先求得，设，根据两点间距离公式得到，分三种情况讨论即可求解； ③作于点，证明，得到，从而求得，再证明为等腰直角三角形，得到，， 设，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数得：， ∴， 将代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在函数中，令，则，故， 在函数中，令，则，故， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； ②令，则，解得：，故， 设， 根据两点间距离公式可得： ， ， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：，则； 当时，，解得：或（舍去），则， 综上，点H的坐标为或； ③作于点，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，则， ∵在直线上， 设， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等性质，掌握相关知识是解题的关键． 23. （1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）或 【解析】 【分析】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力．通过添加适当的辅助线证明，并能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． （1）①由条件易证，从而得到．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； ②利用，得出，利用为等边三角形，得出，即可解答； （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为等腰中边上的高可得，从而证到． （3）由可得：点在以点为圆心，1为半径的圆上；由可得：点在以为直径的圆上．显然，点是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：； （2），． 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． （3）点到的距离为或．理由如下： ， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ， 点在以为直径的圆上． 点是这两圆的交点． ①当点在如图3①所示位置时， 连接、、， 过点作，垂足为，作，交于点， 如图3①．四边形是正方形， ，，． ． ， ． ， 、、、在以为直径的圆上， ． 是等腰直角三角形． 又是等腰直角三角形，点、、共线，， 由（2）中的结论可得：． ． ； ②当点在如图3②所示位置时， 连接、、，过点作，垂足为，作，交的延长线于点，如图3②． 同理可得：． ． ． 综上所述：点到的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$