随机变量及概率分布解答题训练-2025届高三数学二轮复习

概率分布大题 1．体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.(1)求甲同学通过测试的概率；(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望. 2．某汽车销售店以万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为万元/辆时，每年可销售辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高千元时，年销售量就减少辆. (1)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆? (2)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为万元;若分期或期付款，其利润为万元;若分期或期付款,其利润为万元.该销售店对最近分期付叙的位购车情况进行了统计，统计结果如下表： 付款方式 一次性 分期 分期 分期 分期 频数 若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望. 3．某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图. (1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01); (2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望； (3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 4．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求： (1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率； (2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望. 5．企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 6．某学校组织了党的二十大知识竞赛（满分100分），随机抽取200份试卷，将得分制成如下表： 分数 频数 20 40 60 60 20 (1)估计这200份试卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用样本估计总体，用频率估计概率.从这200份试卷中按成绩是否低于80分采用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份试卷中随机抽取3份试卷，设为抽取的3份试卷中成绩不低于80分的试卷份数，求的分布列与数学期望. 7．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 20 40 40 (1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率； (2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望； 8．大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）?若，则，，． 9．某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： (1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； (3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折． 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案． 10．我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷” 方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画“×” 方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”. 当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）. (1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望； (2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度. 11．在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为． (1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望； (2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 概率分布答案 1． （1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. （2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 30 60 故. 2． （1）设销售价格提高了万元/辆，年利润为万元． 则由题意得年销售量为， ． 故当时，取最大值．此时售价为万元/辆． 所以当售价为万元/辆时，年利润最大． （2）由图表可知，利润为万元的有辆，利润为万元的有辆，万元的有辆． 所以，，， 所以的分布列为： 所以的数学期望． 3． （1）这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为： 由频率分布直方图得内， 解得中位数 (分) . （2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有 家， 其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，的可能取值为， ,,, ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 P . （3）由题意得, , ∴ (家) ， ∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家. 4． 【解答过程】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，则，， 所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下， 第1次取出的是一次性筷子的概率； （2）记取出的一次性筷子的双数为X，则， 则，， ，则， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.366 0.47 0.1 数学期望. 5．（1）产品尺寸服从正态分布， ，且正常产品尺寸范围为.生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； （2）尺寸在以外的就是次品，故次品率为. 记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， ，则，所以的数学期望是（元），方差是. 6．（1）这200份试卷成绩的平均值估计为 . （2）这200份试卷中按成绩低于80分的有120份试卷，不低于80分的有80份试卷， 因此抽取10份试卷中成绩低于80分的有6份试卷，不低于80分的有4份试卷. 的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 7．（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A， 则两人选考科目数量为1的情况数为，数目为2的情况数为，数目为3的情况数有，则. （2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2． 当X为0时，对应概率为（1）中所求概率，； 当X为1时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为2或一人选考科目数为2，另一人选考科目数为3， ； 当X为2时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为3，． 则分布列如图所示： X 0 1 2 P 故X的期望为． 8．（1）根据频率分布直方图，可得： ，解得， 这组数据的众数为，由， 则这100份样本试卷成绩的75%分位数是. （2）由，所以，因为，所以，所以测试前预估的平均成绩大约为分． 9． （1）因为样本数据的平均数为： ，所以预估2024年2月份健身客户人均消费的金额为元. （2）健身卫士中健身达人所占比例为， 所以抽取的人中健身达人有人，记“抽到的2人中至少1人为健身达人”为事件，所以. （3）若选方案一，只需付款元； 若选方案二，设付款金额为元，则可取， 且，， ，， 所以元， 因为，所以应选择第二种促销方案. 10．（1）先后抛掷两枚骰子，出现的点数情形共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种， 其中两次的点数恰好有一次的点数能被3整除的情形有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，故其概率为.由题意可得：该高二年级900名学生中按方式I回答问卷的人数，所以的数学期望； （2）记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画△”. 由（1）知，，，， 则. 由全概率公式，得， 所以，所以. 故由调查问卷估计，该中学高二年级学生对新的奖励评审方案的满意度估计值是. 11． 【详解】（1）依题意可得，随机变量， 设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则， 则， ， 故X的分布列为： X 3 5 7 9 P 故； （2）证明：设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y， 则所获总分为，若，则， 则，因为， 故，同理可得, 则 ， 故. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$