解三角形解答题训练-2025届高三数学二轮复习

解三角形大题答案 1, [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝， 解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝. 在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝，所以tanB＝＝. (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理， 得＝－， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝bc＝bc ＝＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC中点， 则＝)，所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bc cos A)， ∴bc cos A＝－2①，S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2②， 由①②解得tan A＝－，∴A＝，∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则 (2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16， 所以a2＝12.又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2， 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，得12＝8－2bc·cos A，所以bc cos A＝－2，故tan A＝－⇒cos A＝－， 所以bc＝4，又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故可得b＝c＝2. 2, [解]　(1)由已知可得 2cos C·－cos (B＋C)＝0， sin B cos C＋cos B cos C－(cos B cos C－sin B sin C)＝0， 整理得sin B(cos C＋sin C)＝0. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b. 法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，所以c＝b.在△ACD中，AD＝，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，即＝b2＋22－2b×2×，将c＝b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6.若b＝6，则a＝12，c＝6，BD＝4，AD＝2，所以在△BCD中，得cos ∠CDB＝＝＜0， 同理可得cos ∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除． 所以b＝3，a＝6，S△ABC＝ab sin 120°＝. 法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，所以×2b sin 60°＋×2a sin 60°＝ab sin 120°， 所以b＋a＝ab. 因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，所以S△ABC＝ab sin 120°＝. 3, [解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ，展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，得sin A＝3cos A，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sin A＝. (2)由正弦定理＝， 得BC＝·sin A＝＝3，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2.由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞，即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C，即5h＝2×3， 解得h＝6，所以AB边上的高为6. 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin A cos C＝3cos A sin C，易得cos A cos C≠0，所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，又sin A＞0， 所以sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角， 所以cos A＝，所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝＝，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6. 4． [解]　(1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，又由余弦定理的推论得cos B＝＝. 因为B∈，所以B＝. (2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)． 又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6， 联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0， 解得ac＝2或ac＝－1(舍去)， 所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝. 5． [解]　(1)∵2c sin B＝(2a－c)tan C，∴2sin C sin B＝(2sin A－sin C)·，sin C≠0， 则2sin B cos C＝2sin A－sin C＝2sin (B＋C)－sin C＝2(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，整理得2sin C cos B＝sin C，又sin C≠0，∴cos B＝，而B∈(0，π)，∴B＝. (2)c＝3a， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋9a2－2a×3a×cos ＝7a2，b＝a， 因为D是AC的中点，则AD＝CD＝a， 在△ABD中，由余弦定理的推论得cos ∠ADB＝， 在△CBD中，由余弦定理的推论得cos ∠CDB＝， ∠CDB＋∠ADB＝π，cos ∠CDB＋cos ∠ADB＝0， ∴＝0，解得a＝2， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝a＋a＋3a＝8＋2. 6． [解]　(1)证明：由已知可得＝＝， 由正弦定理＝，可得＝＝，∴＝. 又sin A＞0，∴cos A＝，sin A＝＝. 又b＝1，∴sinB＝＝＝.∵a＞b，∴cos B＝＝， ∴cosC＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－， ∴cos C＝－sin A＝cos .又C∈(0，π)，A＋∈，函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，则C＝A＋. (2)由题意得S△ABC＝×6×＝8.又S△ABC＝bc sin A＝bc，则bc＝24. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(cos A＋1)， 得(b＋c)2＝2bc(1＋cos A)＋a2＝48＋62＝(6＋4)2， ∴b＋c＝6＋4.∴△ABC的周长为12＋4. 7， 【小问1详解】 中，由得， 即,故，由于，故，而，故. 【小问2详解】 由可得，而，故，则，由的内切圆半径，可得， 即，即，故，解得，故的面积. 8，【小问1详解】 由题可得， 因为，所以，,即， 所以， 因为的周期为，故，所以. 由， 故单调递增区间为：； 【小问2详解】 因为且为三角形内角，即， 故或，又因为三角形为锐角三角形，故， 因为，如图所示.所以， 即，由余弦定理可得， 即，代入，可得， 解得或（舍去），故的周长为． 9，【小问1详解】 由正弦定理可得： 在中，有 . ， 整理得. 又在中，，∴，即 ,，解得. 【小问2详解】 ， 两边平方可得， ， ，当且仅当时等号成立，即 所以.故的面积的最大值为. 10，【答案】（1） （2）. 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，求得，即可求解； （2）在和中，分别利用余弦定理，结合，化简得到，再在中，利用余弦定理求得，得到，结合三角形的面积列出方程，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，整理得， 在中，由余弦定理得， 可得，所以，所以，即， 所以，即，解得， 则. 解三角形的四大模型 1, [解]　(1)由正弦定理，得2sin B sin A＝sin A， 因为sin A≠0，0＜B＜，故sin B＝，B＝. (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A. 由△ABC是锐角三角形，得A∈. 由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得 cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋ ＝sin ∈. 故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 2，(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　①,由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A.　②由①②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9. 因为AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－＝(AC＋AB)2，解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，所以△ABC周长的最大值为3＋2. 法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得 ＝＝＝2，从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin .又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 3, [解]　(1)由题设及正弦定理得 sin A sin ＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos . 因为cos ≠0，故sin ＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知S△ABC＝a. 由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是. 4，(1)因为＝＝＝，所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，,而0＜B＜，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin ，所以C＝＋B，所以A＝－2B. 所以＝＝＝＝4cos2B＋－5·≥2－5＝4 －5，当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形大题 思路：八选二，列方程组求解 （1）中线长定理等价于两补角的余弦值之和为0{两者只能选其一} （2）角平分线定理 （3）极化恒等式 （4）余弦定理（已知大三角形的一角） （5）两补角的余弦值之和为0，正弦值相等 （6）等面积法，=+即ab=h=b+cAD{注：顶角已知，且AD为角平分线} =BD+CDAD{注：顶角不知} （7）向量{出现等分点，一般需要平方} （8）内切圆考虑全等三角形，角平分线 1，(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c. 2，(2024·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0. (1)求角C的大小；(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积． 3，(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高． 4．(2024·吉林模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求B；(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积． 5．(2023·山东青岛三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c sin B＝(2a－c)tan C. (1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC的中点，BD＝，求△ABC的周长． 6．(2024·海南海口模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b sin 2A＝4sin B. (1)若b＝1，证明：C＝A＋；(2)若BC边上的高为，求△ABC的周长． 7，（24永州一模）在中，设所对的边分别为，且满足． （1）求角；（2）若的内切圆半径，求的面积． 8.（24年22届高二期中）．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间；（2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 9（一中23年22届高二上期中）. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求角；（2）若点满足，且，求的面积的最大值. 10. （一中23年22届高二第二次月考）在中，角的对边分别为，且. （1）求；（2）若是边上一点，且，设边上的高为，求. 解三角形的四大模型{1，已知一角；2，对边对角；3，邻边邻角；4，三角形边角有关系。除了对边对角模型可以用余弦定理，其他的都需要转化成角度去做} 1，(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0. (1)求角B的大小；(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 2，(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 3，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin ＝b sin A. (1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 4，(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$