常用逻辑用语之双变量恒成立 讲义-2025届高三数学二轮专题复习

常用逻辑用语之双变量恒能成立答案 典例 1【分析】（1）先求定义域,再结合复合函数单调性求解即可; （2）先应用参数分离,再根据最值求解; （3）先应用换元,再分，和分类讨论求解. 【小问1详解】 由得：或， 即的定义域为， 令，在内单调递增， 而时，为减函数， 时，为增函数， 故函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由与可知， 所以或， 分离参数得，或有解， 令，则，或有解， 得或； 精选例题 1，g(x)＝2ax－axln x－(6a＋3)(a<0)， 因为存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，∴2g(x)min<g(x)max． 又g′(x)＝a(1－ln x)，且a<0，∴当x∈[1，e)时，g′(x)<0，g(x)是减函数； 当x∈(e，e2]时，g′(x)>0，g(x)是增函数． ∴g(x)min＝g(e)＝ae－6a－3，g(x)max＝max{g(1)，g(e2)}＝－6a－3． ∴2ae－12a－6<－6a－3，则a>．又a<0，从而<a<0， 即a的取值范围是． 2，若m＝，则f (x)＝ln x－x．对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f (x2)成立， 等价于对∀x∈[2，2e2]都有g(x)min≥f (x)max，由(1)知在[2，2e2]上f (x)的最大值为f (e2)＝， 又g′(x)＝1＋>0(a>0)，x∈[2，2e2]，所以函数g(x)在[2，2e2]上是增函数， 所以g(x)min＝g(2)＝2－．由2－≥，得a≤3，又a>0，所以a∈(0，3]， 所以实数a的取值范围为(0，3]． 3，存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M． 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x．由g′(x)＜0，解得0＜x＜； 由g′(x)＞0，解得x＜0或x＞．又x∈[0，2]， 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，又g(0)＝－3，g(2)＝1， 故g(x)max＝g(2)＝1，g(x)min＝g＝－． 所以[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝1＋＝≥M，则满足条件的最大整数M＝4． 4， 当a＝1时，f(x)＝x－ln x＋x2．因为∀x1∈(1，2)，∃x2∈(1，2)， 使得f(x1)－x＝mx2－mx(m≠0)，故ln x1－x1＝mx－mx2． 设h(x)＝ln x－x，g(x)＝mx3－mx， 当x∈(1，2)时，h′(x)＝－1＜0，即函数h(x)在(1，2)上单调递减，故h(x)的值域为A＝(ln 2－2，－1)． 又g′(x)＝mx2－m＝m(x＋1)(x－1)． ①当m＜0时，g(x)在(1，2)上单调递减，此时g(x)的值域为B＝， 因为A⊆B，又－＞0＞－1，故≤ln 2－2，即m≤ln 2－3； ②当m＞0时，g(x)在(1，2)上单调递增，此时g(x)的值域为B＝， 因为A⊆B，又＞0＞－1，故－≤ln 2－2，故m≥－(ln 2－2)＝3－ln 2． 综上所述，实数m的取值范围为∪． 5，解析　(1)f′(x)＝－xex，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， ∴当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝e0－1＝0，f(x)没有极小值． (2)由(1)知f(x)≤0，又因为g(x)＝(x－t)2＋2≥0， 所以要使方程f(x1)＝g(x2)有解，必然存在x2∈(0，＋∞)，使g(x2)＝0，所以x＝t，ln x＝， 等价于方程ln x＝有解，即方程m＝xln x在(0，＋∞)上有解， 记h(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝ln x＋1，令h′(x)＝0，得x＝， 所以当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x＝时，h(x)min＝－，所以实数m的最小值为－． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常用逻辑用语之双变量恒能成立 1．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略 (1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． (2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位． 题型：不等式型 1.使恒成立 2. 使成立 3. 使成立 4.. 使成立 注意下面表达（同一个变量，与上述4条对比）： 5．使恒成立 6．使成立， 特别注意：有恒成立，不一定有 等式型 ，设的值域为，值域为 7. 使得成立 8. 使得成立 9. 使得成立，或者 【典例】 1，（一中23年22届高二上 期中）. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围； 【精选例题】 1，已知函数f(x)＝＋aln x，其中参数a<0． 设函数g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围． 2，已知函数f (x)＝lnx－mx，g(x)＝x－(a>0)．若m＝，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f (x2)成立，求实数a的取值范围． 3，设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3． 如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； 4，f(x)＝ax－lnx＋x2若a＝1，∀x1∈(1，2)，∃x2∈(1，2)，使得f(x1)－x＝mx2－mx(m≠0)，求实数m的取值范围． 5，已知函数f(x)＝(1－x)ex－1．(1)求f(x)的极值； (2)设g(x)＝(x－t)2＋2，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$