专题02 对数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题02 对数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 题型六 运用换底公式证明恒等式 4问 题型七 对数的最值、取值问题 题型八 指、对数方程的求解 题型九 对数的综合应用 知识点1　对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 知识点2　对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 知识点3　对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点4　换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广西贺州·模拟预测）【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】设实数满足： ，则的大小关系为 A．c<a<b B．c<b< a C．a <c<b D．b<c< a 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）计算下列各式的值： (1)已知，求的值 (2) 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知一个15位正整数，且的30次方根仍是一个整数，则这个30次方根为（参考数据：）（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知，，，若，则= . 3．（23-24高一·全国·课后作业）求下列各式中的的值 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）. 【经典例题三 对数的运算】 【例3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知是奇函数，，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）设为正实数，，，则 ． 3．（23-24高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例4】（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 1．（24-25高一上·湖南长沙·期中）17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（    ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A． B． C． D． 2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 ． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 1．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．11 B．15 C．19 D．21 2．（2024高一·全国·专题练习）函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【经典例题六 运用换底公式证明恒等式】 【例六】 （24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【经典例题七 对数的最值、取值问题】 【例7】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ． 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【经典例题八 指、对数方程的求解】 【例8】（23-24高一上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1.（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 2.（23-24高一·全国·随堂练习）已知a，b是方程的两个实数根，求的值 ． 3.（23-24高一上·上海·假期作业）设关于的方程的两个实根分别是. ，求实数的取值范围； 【经典例题九 对数的实际应用】 【例9】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 1.（23-24高一上·辽宁本溪·期末）已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·全国·随堂练习）近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为 ． 3.（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过多少天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） 1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D．15 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．lg11 D． 3．（23-24高一上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，，则n的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．12 4．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？(参考数据) A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 7．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习） 8．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为上的单调函数，，都有，且满足，则 ． 9．（2023高一·全国·模拟预测）对，定义符号函数：当时；当时；当时，.记点集，点集，点集围成的区域的面积为 . 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 11．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求值： (1)log43•log92 (2)设，为方程的两个根，求的值． 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 13．（24-25高一上·湖南长沙·期中）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，求式子的值． 14．（23-24高一上·上海·期中）记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若，则称在区间上的图象是凹的；若，则称在区间上的图象是凸的. (1)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论； (2)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 对数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 题型六 运用换底公式证明恒等式 4问 题型七 对数的最值、取值问题 题型八 指、对数方程的求解 题型九 对数的综合应用 知识点1　对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 知识点2　对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 知识点3　对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点4　换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 1．（2024·广西贺州·模拟预测）【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】设实数满足： ，则的大小关系为 A．c<a<b B．c<b< a C．a <c<b D．b<c< a 【答案】A 【详解】由题意得， 所以.选A. 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【答案】4107 【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案. 【详解】 根据已知可得： ， ， ， ，共4个， ，共8个（由之间含多少个奇数决定）， ，共16个， ，共32个， ，共64个， ，共128个， ，共256个， ， 则， 故答案为：4107. 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）计算下列各式的值： (1)已知，求的值 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方求得和即可得； （2）由对数的定义、对数运算法则，幂的运算法则计算． 【详解】（1），则，又， 所以， ， 所以； （2）． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知一个15位正整数，且的30次方根仍是一个整数，则这个30次方根为（参考数据：）（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设这个30次方根为，则，结合题目所给数据将其变形为，由此即可得解. 【详解】设这个30次方根为，则，其中且， 故，， 故，故． 故选：A. 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再结合以及指数、对数互换运算即可得解, 【详解】由题意， 又，所以， 从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为. 故选：B. 2．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知，，，若，则= . 【答案】 【分析】设，用含的式子表示出、以及，列出关于的等式，再运用换元法求解的值. 【详解】设，则 ，所以，两边同除以得，， 即，解得，又，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数式的求值问题，其解答的本质是将对数式化为指数式，将问题转化为指数式方程的运算问题，难度一般. 3．（23-24高一·全国·课后作业）求下列各式中的的值 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【解析】结合指数式与对数式的互化原则以及指对式的运算法则求解得结果. 【详解】（1）由可得； （2）由可得，且，所以； （3）由得，所以； （4）由得，所以，； （5）由，得； （6）由，所以. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数式与指数式的互化，指数幂的运算化简求值问题，在解题的过程中，正确解题的关键是掌握指对式的互化原则，指数幂的运算法则. 【经典例题三 对数的运算】 【例3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知是奇函数，，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件. 【详解】由是奇函数，则，即，解得， 所以， 当时，，， ，所以是奇函数， 所以， 所以是的充要条件. 故选：A. 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 【答案】B 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得， 故与最接近的是1.57． 故选:B 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）设为正实数，，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 3．（23-24高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）2；（3）4 【分析】（1）根据对数的运算法则进行运算即可. （2）运用对数的运算法则，结合进行化简求值. （3）运用对数的运算法则，结合对数相等的概念，把问题转化成二次方程求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由已知可得， 因为， 所以，化简可得， 解得（舍去），或， 所以 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例4】（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 1．（24-25高一上·湖南长沙·期中）17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（    ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对数的性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位的范围，得出的值. 【详解】设，因为， 所以. 由表格可知，， 所以的最高位的数值为. 故选：D. 2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】3 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)， (2)王老师大约等待20min 【分析】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 1．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．11 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解. 【详解】， 即，则，得. 故选：A 2．（2024高一·全国·专题练习）函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． 【答案】9 【分析】令，利用对数的换底公式可得，再根据题中定义即可求解. 【详解】令， 利用对数的换底公式可得, 得到． 要使成为“企盼数”，则，． 由于，即， 因为，，，可取． 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个． 故答案为：9 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 【经典例题六 运用换底公式证明恒等式】 【例六】 （24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【经典例题七 对数的最值、取值问题】 【例7】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得，即可利用不等式求解. 【详解】令，则， 故，因此， 故，故，最小值为， 当且仅当时等号成立，即时取到等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：得，由基本不等式求解. 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，即，再利用基本不等式求解. 【详解】由，， 所以，即， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 2．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由得，即，令， 则 当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值． 故答案为：. 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）若，，， 令，因为，所以， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以，； （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 【经典例题八 指、对数方程的求解】 【例8】（23-24高一上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 1.（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C. 2.（23-24高一·全国·随堂练习）已知a，b是方程的两个实数根，求的值 ． 【答案】3 【分析】根据韦达定理写出满足的关系式，再对化简后求值即可； 【详解】因为a，b是方程的两个实数根， 由韦达定理得， 所以. 故. 3.（23-24高一上·上海·假期作业）设关于的方程的两个实根分别是. ，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】设，则关于的方程的两根为和，根据计算可得； 【详解】因为，即， 设，则关于的方程的两根为和， 所以，解得； 【经典例题九 对数的实际应用】 【例9】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ） （注：结果精确到0.01，当较小时，） A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 【答案】B 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得， 故与最接近的是1.57． 故选:B. 1.（23-24高一上·辽宁本溪·期末）已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据已知条件先求出，再列出等式即可求得. 【详解】当时，，所以，则， 由，得， 所以. 故选:B. 2.（24-25高一上·全国·随堂练习）近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为 ． 【答案】29h 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 3.（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过多少天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） 【答案】35 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】由于，所以， 则， 所以， 所以，而且， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．lg11 D． 【答案】B 【分析】分别计算出每个函数值，再求和即可. 【详解】易知，，，，，，，，， 故，故B正确. 故选：B 3．（23-24高一上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，，则n的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先确定的取值范围，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，即且， 又， 当且仅当，即，时取等号，则n的最小值的和为9. 故选：C 4．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知列式即，再应用对数性质及运算律化简，最后得出的关系式. 【详解】由已知得，， . 故选：A. 5．（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？(参考数据) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】通过列不等式，来求解，再利用对数运算求值即可. 【详解】设至少经过小时后才能驾驶，则满足：， 化简得：，根据是递增函数可得： ，即， 因为，所以 所以他至少要经过小时后才能驾驶. 故选：B. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 【答案】 【分析】利用对数的换底公式及运算法则计算化简即可. 【详解】， 因为，代入上式，化为. 故答案为：. 7．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习） 【答案】 【分析】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果. 【详解】 故答案为：. 8．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为上的单调函数，，都有，且满足，则 ． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的常数，使得，且，可得出，分析函数的单调性，可得出的值，即可得出函数的解析式，再结合已知条件可求得的值. 【详解】因为函数为上的单调函数，，都有， 则存在唯一的常数，使得，即，且， 由， 因为函数、在时单调递增，故函数在时单调递增， 又因为，由可得，所以，， 因为，解得. 故答案为：. 9．（2023高一·全国·模拟预测）对，定义符号函数：当时；当时；当时，.记点集，点集，点集围成的区域的面积为 . 【答案】2 【分析】根据题中定义，结合指数函数的性质、对数与指数互化公式、数形结合思想进行求解即可. 【详解】设点，则. 于是有，得； 当时，，； 当时，. ， 同理，， ， 点集围成的区域是一个边长为的正方形如下图所示： 显然面积为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键弄清并理解题中定义，明白集合描述法中表达式的含义. 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 【答案】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年. 故答案是：. 11．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求值： (1)log43•log92 (2)设，为方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数的换底公式、幂的运算法则计算； （2）由韦达定理得，，利用因式分解变形，结合完全平方公式计算可得． 【详解】（1）log43•log92． （2）因为． 而，为方程的两个根，所以，． 所以，，且由， 可得，所以， 所以原式． 12．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 13．（24-25高一上·湖南长沙·期中）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）根据完全平方公式和指数幂运算性质求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3），，， 且， ，. 14．（23-24高一上·上海·期中）记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况解不等式，由此可得出结果； （2）解出使得有意义时的取值范围是，由题意可知，存在，使得成立，通过去绝对值再由且且可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， ①当时，，解得，此时； ②当时，，原不等式无解； ③当时，，解得，此时. 解得或， 故实数的集合为. （2）因为， 则，解得， 由题意可知，存在，使得成立， 即有解， 因为且，则， 所以 即在时有解，所以， 又因且，解得且， 所以实数的取值范围为. 15．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若，则称在区间上的图象是凹的；若，则称在区间上的图象是凸的. (1)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论； (2)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论. 【答案】(1)图象是凹的，证明见解析 (2)图象是凸的，证明见解析 【分析】（1）、（2）根据函数定义证明即可 【详解】（1）解：在区间上的图象是凹的. 证明如下： ， 则 因为，所以，且， 所以， 所以，即，故在区间 上的图象是凹的. （2）函数在区间上的图象是凸的. 证明如下： ， 则 ， 因为，所以， 所以，即，故在区间上的图象是凸的. 学科网（北京）股份有限公司 $$