精品解析：浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则集合可用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义，结合偶函数特征求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故选：A 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 6. 若，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，， 且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为. 故选：B. 7. 我们知道，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则下列函数中，关于对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，进行逐个判断. 【详解】若函数关于对称，则函数为偶函数，即， 对于A，令，则， 又， 因此可得， 则的图象关于对称，故A正确； 对于B，令，则， 又， 则， 故的图象不关于对称，故B错误； 对于C，令，则， 又， 则， 故的图象不关于对称，故C错误； 对于D，令，则， ， 则， 故的图象不关于对称，故D错误； 故选：A. 8. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质平方化简可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 对于A，当，则，故错误， 对于B，当，则，故错误， 对于C，，故C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A错； 对于B选项，因为函数为上的增函数，则，B对； 对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以，，C对； 对于D选项，因为函数在上为增函数，则，D对. 故选：BCD. 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得，对于A，代入解二次不等式即可；对于B利用函数的单调性求的范围；对于C，D，代入利用基本不等式可求解. 【详解】由题可得是方程的两个根，， 对于A，不等式化为，解得，故A正确； 对于B，，令， 又，则在单调递减，则，即，没有最小值，故B错误； 对于C，D，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用“和谐方程”的定义进行判断即可；对于B，设，利用根与系数的关系即可求出的值；对于C，由关于的方程是“和谐方程”，利用“和谐方程”的定义得到，代入即可求出函数图象与轴交点的坐标；对于D，由点在反比例函数的图象上得到，代入，利用“和谐方程”的定义检验是否为“和谐方程”. 【详解】由，则方程的两根为， 又， 则方程不是“和谐方程”，故A错误； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，， 解得，或， ，故B正确； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，，， 则，即， 又，解得方程的两根为， 即的函数图象与轴交点的坐标是和，故C正确； 点在反比例函数的图象上， ，， 则关于的方程， 解得方程的两根为，又， 即关于的方程是“和谐方程”，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键是对新定义“和谐方程”的理解，再结合根与系数的关系进行求解即可. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，即可得到. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”， 故答案为：，. 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则及指数、对数恒等式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，由题设方程可得或，结合图象可知，时有2个不同的解，可得无解或，进而结合图象求解即可. 【详解】画出函数的图象，如图， 由， 即，即或， 因为关于的方程恰有2个不同的解， 结合图象可知，时有2个不同的解， 所以无解或， 则或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）判断是否为集合中的元素，并说明理由； （2）若全集，求，． 【答案】（1） 不是集合中的元素，理由如下： 由可得，解得或， 所以，或， 因此，. （2）或， 【解析】 【分析】（1）求出集合，根据元素与集合的关系判断可得出结论； （2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可得出集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 且， 所以，或， 又因为， 故. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再利用求的值； （2）对任意，不等式恒成立，转化为对任意，恒成立， 令，，利用函数的单调性求的最大值即可. 【小问1详解】 ， ， ，． 【小问2详解】 若对任意，恒成立， 即对任意，恒成立，即， 即，， 在上单调递增, 当时，， 则在上的最大值小于， ． 17. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 【答案】（1） （2）9万 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，， 且当时，在单调递增，当时，在单调递减， 此时． 当时，， 当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值1250， 即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人． 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减，即为上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解； （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解； （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以， 因为存在实数，使得成立， 所以，解得． 所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，将不等式转化为具体的不等式求解，当定义域不是时，应注意函数的定义域. 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解； （2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集； （3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围. 【小问1详解】 ①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ③，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或或． 【小问2详解】 ①，此时，，，此时不等式恒成立． ②，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ③，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ④，此时，，，此时不等式无解． 综上所述，关于的不等式的解集为． 【小问3详解】 ①，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，则，又， ，当且仅当时等号成立， ，． ②，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，， 令，， 则， ，且， 则， 又，则，，， ，故在上单调递减． 即在上单调递减． ，．又， 综上所述，． 【点睛】方法点睛：高斯函数常见处理策略： （1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法. （2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理. （3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围. （4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则集合可用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则下列函数中，关于对称的是（ ） A. B. C. D. 8. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______． 13. ______． 14. 已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）判断是否为集合中的元素，并说明理由； （2）若全集，求，． 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得成立，求的取值范围． 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $