第十四章 整式的乘法与因式分解培优测试题2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十四章 整式的乘法与因式分解培优测试题 考试范围：第14章；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组式子中，没有公因式的一组是（　　） A．2xy与x B．（a﹣b）2与a﹣b C．c﹣d与2（d﹣c） D．x﹣y与x+y 2．八年级（1）班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道题得0.5分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，乙：x2﹣9＝（x﹣3）2，丙：2x2﹣8x+2x＝2x（x﹣4），丁：x2+6x+5＝（x+1）（x+5）．则“奋斗组”得（　　） A．0.5分 B．1分 C．1.5分 D．2分 3．下列运算正确的是（　　） A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝6x3 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2 4．将下列各式因式分解，结果中不含因式a﹣1的是（　　） A．2a2﹣2a B．a2﹣2a﹣3 C．a3﹣a D．（a﹣2）2+2（a﹣2）+1 5．已知y2+my+9是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．±6 B．±3 C．6 D．﹣6 6．对于算式20242﹣2024的结果，下列说法不正确的是（　　） A．能被2024整除 B．能被2023整除 C．不能被2025整除 D．能被2021整除 7．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 8．若m＝2100，n＝375，则m、n的大小关系正确的是（　　） A．m＞n B．m＜n C．相等 D．大小关系无法确定 9．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　） A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab 10．现定义一种运算“⊙”，对任意有理数m、n，规定：m⊙n＝mn（m﹣n），如1⊙2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊙（a﹣b）的值是（　　） A．2ab2﹣2b2 B．2a2b﹣2b3 C．2ab2+2b2 D．2ab﹣2ab2 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若b2+2b+1＝0，则ab的值为　 　． 12．（x+a）（x2﹣2x﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为　 　． 13．已知（x+y）2＝18，xy＝5，则x2+y2的值为 　 　． 14．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，则x﹣2022的值是 　 　． 15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．根据上面的规律，（x﹣1）4的展开式是 　 　．（请按x的降幂排列） 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算： （1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2； （2）（x﹣y）（x2+xy+y2）． 17．（12分）因式分解： （1）x2﹣12xy+36y2； （2）3a2﹣27； （3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3）； （4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b）． 18．（8分）化简并求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中|x﹣1|+（y+2）2＝0． 19．（8分）已知3x+2•5x+2＝153x﹣4，求（2x﹣1）2﹣4x2+7的值． 20．（9分）某市有一块长为3a+b米，宽为2a+b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化中间修建一座边长是（a﹣b）的正方形雕像． （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积s； （2）当a＝3，b＝2时，求绿化面积． 21．（9分）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： （1）化简计算：（n+2）（4n﹣8）+17； （2）在（1）题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解； （3）试说明两个连续奇数的平方差能够被8整除． 22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　． A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 23．（11分）阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160， a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20， （30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80． 解决问题： （1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝　 　． （2）若x满足（x﹣2024）2+（x﹣2022）2＝2000，求（x﹣2024）•（x﹣2022）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、2xy与x的公因式是x，此选项错误； B、（a﹣b）2与a﹣b的公因式是a﹣b，此选项错误； C、c﹣d与2（d﹣c）的公因式是d﹣c，此选项错误； D、x﹣y与x+y没有公因式，此选项正确； 选：D． 2．解：甲：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，甲符合题意； 乙：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），乙不符合题意； 丙：2x2﹣8x+2x＝2x（x﹣3），丙不符合题意； 丁：x2+6x+5＝（x+1）（x+5），丁符合题意； 则“奋斗组”得： 0.5×2＝1（分） 选：B． 3．解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； B选项，原式＝﹣8x3，该选项计算错误，不符合题意； C选项，原式＝x2+2xy+y2，该选项计算错误，不符合题意； D选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，该选项计算正确，符合题意； 选：D． 4．解：A．∵2a2﹣2a＝2a（a﹣1），结果中含因式a﹣1，∴A选项不符合题意； B．∵a2﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1），结果中不含因式a﹣1，∴B选项符合题意； C．∵a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），结果中含因式a﹣1，∴C选项不符合题意； D．∵（a﹣2）2+2（a﹣2）+1＝[（a﹣2）+1]2＝（a﹣1）2，结果中含因式a﹣1，∴D选项不符合题意． 选：B． 5．解：∵y2+my+9＝y2+my+32， ∴my＝±2•y•3， 解得：m＝±6． 选：A． 6．解：∵20242﹣2024 ＝2024×（2024﹣1） ＝2024×2023． ∴20242﹣2024能被2024整除，也能被2023整除，不能被2025整除，不能被2021整除． ∴A，B，C不合题意，D符合题意． 选：D． 7．解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 选：C． 8．解：∵m＝2100＝（24）25＝1625，n＝375＝（33）25＝2725， ∴2100＜375，即m＜n． 选：B． 9．解：∵DE＝b﹣a，AE＝b， ∴S四边形ABCD＝4S△ADE+a2＝4（b﹣a）•b+a2 ＝b2+（b﹣a）2． 选：A． 10．解：∵m⊙n＝mn（m﹣n）， ∴（a+b）⊙（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）] ＝（a2﹣b2）×2b ＝2a2b﹣2b3， 选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：∵b2+2b+1＝0， ∴a+2＝0，b2+2b+1＝（b+1）2＝0， 解得：a＝﹣2，b＝﹣1， ab＝（﹣2）﹣1． 答案为：． 12．解：（x+a）（x2﹣2x﹣1） ＝x3﹣2x2﹣x+ax2﹣2ax﹣a ＝x3+（﹣2+a）x2+（﹣1﹣2a）x﹣a， ∵（x+a）（x2﹣2x﹣1）的结果中不含x2项， ∴﹣2+a＝0， 解得：a＝2， 答案为：2． 13．解：∵（x+y）2＝18，xy＝5， ∴x2+y2+2xy＝x2+y2+10＝18． ∴x2+y2＝8． 答案为：8． 14．解：设t＝x﹣2022， ∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34， ∴（t+1）2+（t﹣1）2＝34， ∴t2+2t+1+t2﹣2t+1＝34， ∴2t2+2＝34， ∴t2＝16， ∴t＝±4， ∴x﹣2022＝±4， 答案为：±4． 15．解：（x﹣1）4的展开式：（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1． 答案为：x4﹣4x3+6x2﹣4x+1． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3 ＝x3﹣y3． 17．解：（1）x2﹣12xy+36y2＝（x﹣6y）2； （2）3a2﹣27 ＝3（a2﹣9） ＝3（a+3）（a﹣3）； （3）6x（y2﹣2）﹣2x（2y2+3） ＝2x[3（y2﹣2）﹣（2y2+3）] ＝2x（y2﹣9） ＝2x（y+3）（y﹣3）； （4）4（a﹣b）x2﹣8xy（a﹣b）+4y2（a﹣b） ＝4（a﹣b）（x2﹣2xy+y2） ＝4（a﹣b）（x﹣y）2． 18．解：由题意可知：x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴原式＝﹣3x2+4y2﹣y﹣（4y2﹣x2） ＝﹣3x2+4y2﹣y﹣4y2+x2 ＝﹣2x2﹣y， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝﹣2+2＝0． 19．解：原式等价于 （3×5）x+2＝153x﹣4， 即x+2＝3x﹣4， 解得x＝3， （2x﹣1）2﹣4x2+7＝4x2﹣4x+1﹣4x2+7 ＝﹣4x+8 当x＝3时，原式＝﹣4×3+8＝﹣4． 20．解：（1）根据题意得：长方形地块的面积＝（3a+b）（2a+b）＝6a2+5ab+b2， 正方形雕像的面积为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 则绿化面积s＝（6a2+5ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝5a2+7ab， 即用含a，b的代数式表示绿化面积s＝5a2+7ab， （2）把a＝3，b＝2代入s＝5a2+7ab， s＝5×32+7×3×2＝87， 即绿化面积为87平方米． 21．解：（1）（n+2）（4n﹣8）+17 ＝4（n+2）（n﹣2）+17 ＝4（n2﹣4）+17 ＝4n2﹣16+17 ＝4n2+1 ∴（n+2）（4n﹣8）+17＝4n2+1 （2）∵4n2+4n+1＝（2n+1）2 4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2 4n4+4n2+1＝（2n2+1）2 所以新增单项式为：4n或﹣4n或4n4 （3）设两个连续奇数，2n+1，2n﹣1． 依题意得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n， 即连续两个奇数的平方差能被8整除． 22．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式； （2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底； （x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4． （3）设x2﹣2x＝y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， ＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2﹣2x+1）2， ＝（x﹣1）4． 23．解：（1）设50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝[（50﹣x）+（x﹣40）]2﹣2×2 ＝102﹣4 ＝100﹣4 ＝96， 答案为：96； （2）设x﹣2024＝a，2022﹣x＝b，∴a2+b2＝2000， ∵（a+b）2＝（x﹣2024+2022﹣x）2＝4， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝2000+2ab＝4， ∴ab＝﹣998，即（x﹣2024）（2022﹣x）＝﹣998， ∴（x﹣2024）（x﹣2022）＝998； （3）如图可得， 设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则， ∵a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝16+2ab，且S四边形CEPF＝（10﹣x）⋅（6﹣x）＝ab＝45， ∴a2+b2 ＝16+2ab ＝16+2×45 ＝106， ∴，图中阴影部分的面积是106． 第1页 共22页 ◎ 第2页 共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$