三角函数求值复习学案-2025届高三数学一轮复习

三角函数求值复习 学习目标 1.掌握三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式，并用其化简求值； 2． 能够灵活应用和角、差角、二倍角公式进行化简求值． 3． 会用整体换元的方法进行三角函数求值运算。 4． 会用拼角、凑角的方法进行三角函数求值、求角运算。 环节一、知识点梳理 1.两角和与差公式 2.二倍角公式 环节二、基础自测 1、若角的终边过点（3，-4），则= （ ） A. B. C. D. 2．计算（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A．0 B． C． D．1 环节三、典例剖析 考点一 给角求值 一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系 例1 求的值 【方法技巧】：给角求值关键是把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. 变式训练1：求的值 考点二 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论； 利用角的变换求三角函数值 例2 【方法技巧】观察“所求角”与“已知角”的关系，把“所求角”表示为“已知角”的和或差的形式如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．．解题步骤：①讨论角的范围；②求出指定范围内的角的三角函数值；③根据已知角与未知角的联系，利用和角公式与差角公式求值． 变式训练2：已知、为锐角，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式训练3：若，，则（ ） A． B． C． D． 利用整体换元的方法求三角函数值 例3 变式训练4：已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点三 给值求角 例4：:在中，、为锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．求的值． 【方法技巧】通过求角的某个三角函数值求角，在选择函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是，选正、余弦函数皆可； 若角的范围是，选余弦函数较好； 若角的范围是，选正弦函数较好． 变式训练7：设，且，，则（    ） A． B． C． D．或 变式训练8：已知，，为锐角，则的值是（ ） A． B． C．或 D． 环节四 （一）基础训练 1．已知，则的值为 （    ） A． B． C． D． 2．已知，，均为锐角，则角等于（ ） A． B． C． D． 3．已知都是锐角，，则___________. 4.已知为锐角，且，则 ． 5．已知，且. (1)求的值； （二）拓展训练 6．已知，则=（    ） A． B． C． D． . 7．已知， 则_____. 学科网（北京）股份有限公司 　已知sin (α－β)＝eq \f(5,13)，sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，求cos 2β的值． $$ 三角函数求值复习 学习目标 1.掌握三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式，并用其化简求值； 2． 能够灵活应用和角、差角、二倍角公式进行化简求值． 3． 会用整体换元的方法进行三角函数求值运算。 4． 会用拼角、凑角的方法进行三角函数求值、求角运算。 环节一、知识点梳理 1.两角和与差公式 2.二倍角公式 环节二、基础自测 1、若角的终边过点（3，-4），则= （ ）答案为：C A. B. C. D. 2．计算（　　） A． B． C． D． 【解析】由两角差的正弦公式可得：故答案为：C 3．（　　） A．0 B． C． D．1 【解析】。 故答案为： A 环节三、典例剖析 考点一 给角求值 一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系 例1 求的值 【方法技巧】：给角求值关键是把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. 变式训练1：求的值 答案： 考点二 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论； 利用角的变换求三角函数值 例2 【方法技巧】观察“所求角”与“已知角”的关系，把“所求角”表示为“已知角”的和或差的形式如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．．解题步骤：①讨论角的范围；②求出指定范围内的角的三角函数值；③根据已知角与未知角的联系，利用和角公式与差角公式求值． 变式训练2：已知、为锐角，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为、为锐角，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故 。 变式训练3：若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 利用整体换元的方法求三角函数值 例3 变式训练4：已知，则的值为（　　）答案：A A． B． C． D． 考点三 给值求角 例4：:在中，、为锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．求的值． 【解析】∵、为锐角， ∴，． ． ． ∵ ，∴ ． 【方法技巧】通过求角的某个三角函数值求角，在选择函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是，选正、余弦函数皆可； 若角的范围是，选余弦函数较好； 若角的范围是，选正弦函数较好． 变式训练7：设，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】因为，，所以，.易知，，，则，故. 变式训练8：已知，，为锐角，则的值是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为，所以，且，所以，则 环节四 （一）基础训练 1．已知，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【详解】 2．已知，，均为锐角，则角等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵均为锐角，∴．又， ∴.又，∴. ∴ ，∴. 3．已知都是锐角，，则___________. 【解析】因为为锐角， ， ， 由于为锐角， 4.已知为锐角，且，则 ． 【解析】∵为锐角，∴， ∴， ∴ ． 5．已知，且. (1)求的值； (【解析】（1）∵， 两边同时平方，得. ∵，∴. (2) ∵，，∴. ∵，∴. ∴ . 2)若，，求的值． （二）拓展训练 6．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为， 所以. 7．已知， 则_____. 【解析】因为，，所以， 因为，解得：， 所以， 由，得，解得：， 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 　已知sin (α－β)＝eq \f(5,13)，sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，求cos 2β的值． 解析　∵sin (α－β)＝eq \f(5,13)，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， ∴cos (α－β)＝－eq \f(12,13). 又sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))， $$