专题19 分式混合运算及分式方程新题型【中考新考向】-2024-2025学年八年级数学上册提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题19 分式混合运算及分式方程新题型【中考新考向】（原卷版） 第一部分 典例剖析 题型一 分式运算阅读材料题 【典例1】阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 　　． 【巩固训练1-1】（2021秋•长沙期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）若x为整数，为负整数，可求得x＝　 　． （2）利用分离常数法，求分式的取值范围； （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于）． ①用含x的式子表示出mn； ②随着x的变化，m2+n2+mn有无最小值？如有，最小值为多少？ 【典例2】（2023秋•昆明期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知x≠0，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【巩固训练2-1】（2022春•鼓楼区期中）阅读材料． 已知，求的值． 解：由，得， 颠倒分子与分母的位置为， 因为， 所以． 回答问题： 已知a，b，c为非零实数，，，求代数式的值． 题型二 分式方程阅读材料题 【典例3】（2024秋•祁阳市期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0， 解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【巩固训练3-1】（2024秋•莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　 ． （2）模仿上述换元法解方程：． 【巩固训练3-2】（2024秋•新邵县期中）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 题型三 分式运算新定义 【典例4】（2024秋•延庆区期中）对于实数a，b，c，给出如下定义：若，则把实数c叫作实数a，b的“友好数”． （1）已知a＝6，b＝2，求a，b的“友好数”c； （2）已知a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”． ①用含m的式子表示c； ②若c是整数，直接写出整数m的值． 【典例5】（2024秋•昌平区期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a+b的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【巩固训练5-1】（2024秋•石景山区月考）阅读理解： 定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如：，我们称是的“3差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“　 　差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ①C＝ （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值． （3）已知xy＝1，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求x﹣y的值． 题型四 分式方程新定义题型 【典例6】（2022秋•南通期末）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝2，x2＝3． 再如为十字分式方程，可化为． ∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　 　，x2＝　 　． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），求的值． 【巩固训练6-1】（2023春•衡东县期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 第二部分 针对训练 1．（2024秋•张店区月考）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：22 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 　 　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求m2+n2+mn的最小值． 2．（2024春•泗洪县期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A“友好分式”． 如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）分式 　 　分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法； 设的“友好分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：　 ． ②若是的“友好分式”，则m+n的值为 　　． 3．（2024春•九江期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3．求方程x⊗（﹣2）1的解． 4．（2024秋•永兴县月考）阅读下列材料 学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行． （1）请回答：　 　的说法是正确的，正确的理由是 　 　． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程2的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程1无解，求n的值． 5．（2024秋•石景山区月考）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[1，1]（ 　 　）；②[3，﹣5]（ 　 　）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1，且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 6．（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程1＝b的解是x成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a＝2，b＝﹣5就是关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[2，﹣5]． （1）判断数对①[3，﹣5]，②[﹣2，4]中是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”的是 　 　；（只填序号） （2）若数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 分式混合运算及分式方程新题型【中考新考向】（解析版） 第一部分 典例剖析 题型一 分式运算阅读材料题 【典例1】阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 　　． 【分析】先按照已知条件中的方法，把所求分式写成一个整数与一个分式差的形式，然后求出分式的最大值，从而求出原分式的最小值即可． 【解答】解： ， ∵m2≥0， ∴m2+2的最小值为2， ∴的最大值为， ∴的最小值为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握把分式写成一个整数与一个分式和差的形式． 【巩固训练1-1】（2021秋•长沙期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）若x为整数，为负整数，可求得x＝　﹣5　． （2）利用分离常数法，求分式的取值范围； （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于）． ①用含x的式子表示出mn； ②随着x的变化，m2+n2+mn有无最小值？如有，最小值为多少？ 【分析】（1）先将式子化为1，再由题意可得x+4＝﹣1，求出x即可； （2）将式子化为2，再由x2+1≥1可求式子的取值范围即可； （3）①式子化为5（x+2）﹣11，再由题意可得5x﹣1＝5m﹣11，，求出m＝x+2，n＝﹣x+4，求解即可； ②由①可得m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，即可求解． 【解答】解：（1）1， ∵为负整数， ∴x+4＝﹣1， ∴x＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2）2， ∵x2+1≥1， ∴03， ∴25； （3）①5（x+2）5（x+2）﹣11， 由题意可得，5x﹣1＝5m﹣11，， ∴m＝x+2，n＝﹣x+4， ∴mn＝﹣x2+2x+8； ②m2+n2+mn ＝（x+2）2+（﹣x+4）2+（﹣x2+2x+8） ＝x2﹣2x+28， ＝（x﹣1）2+27， 当x＝1时，m2+n2+mn有小值27． 【点评】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的性质和分式的加减运算是解题的关键． 【典例2】（2023秋•昆明期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知x≠0，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【分析】先根据题意求出x的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论． 【解答】解：由 知x≠0， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【巩固训练2-1】（2022春•鼓楼区期中）阅读材料． 已知，求的值． 解：由，得， 颠倒分子与分母的位置为， 因为， 所以． 回答问题： 已知a，b，c为非零实数，，，求代数式的值． 【分析】先分别求得的倒数，再将计算结果代入的倒数进行计算即可． 【解答】解：∵，，， ∴6，8，10， ∴6+8+10， ∴， ∴24， ∴， ， ∴． 【点评】此题考查的是分式的计算，能够根据已知等式进行正确变形是解决此题的关键． 题型二 分式方程阅读材料题 【典例3】（2024秋•祁阳市校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0， 解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设，原方程化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值． 【解答】解：设，则原方程化为． 方程两边同时乘y，得： y2﹣1＝0， 解得y＝±1． 经检验：y＝±1都是的解． 当y＝1时， ， 解得x＝2． 当y＝﹣1时， ， 解得x＝0． 经检验：x＝2和x＝0都是原分式方程的解． 所以原分式方程的解为x＝2和x＝0． 【点评】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键． 【巩固训练3-1】（2024秋•莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　0　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【分析】（1）根据题意将原方程换元即可； （2）利用换元法解方程后进行检验即可． 【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为0， 故答案为：0； （2）设m， 则原方程化为m0， 解得：m1＝3，m2＝﹣3， 经检验，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m0的解， 当3时， 解得：x＝﹣3.5， 经检验，x＝﹣3.5是方程3的解； 当3时， 解得：x＝﹣1.25， 经检验，x＝﹣1.25是方程3的解； 故原方程的解为x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25． 【点评】本题考查换元法解分式方程，掌握用换元法解分式方程的结构特征是正确解答的关键 【巩固训练3-2】（2024秋•新邵县期中）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可； （2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可猜想方程的解为， 验证：当x＝c时，方程的左边方程的右边， ∴x＝c是方程的解； 当时，方程的左边方程的右边， ∴是方程的解； （2）∵， ∴， ∴x﹣1＝a﹣1或， 解得． 经检验，都是原方程的解，且符合题意． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 题型三 分式运算新定义 【典例4】（2024秋•延庆区期中）对于实数a，b，c，给出如下定义：若，则把实数c叫作实数a，b的“友好数”． （1）已知a＝6，b＝2，求a，b的“友好数”c； （2）已知a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”． ①用含m的式子表示c； ②若c是整数，直接写出整数m的值． 【分析】（1）根据新定义，把a＝6，b＝2代入即可求出c的值； （2）①根据新定义把a＝m2+2m+1，b＝m2+m代入即可求出c的值； ②根据c是整数，即可求出整数m的值． 【解答】解：（1）∵a＝6，b＝2， ∴； （2）①a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”， ∴ ； ②∵是整数，且m是整数， ∴m＝±1． 【点评】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． 【典例5】（2024秋•昌平区期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a+b的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【分析】（1）依据题意，由C﹣D3＜0，从而可以判断得解； （2）依据题意，由E﹣F2，故﹣a+1+b＝2，且﹣a＝4，从而求出a，b即可得解； （3）依据题意，由M﹣N1，可得P＝x2+3x+x2﹣9＝2x2+3x﹣9，从而M2，结合当x为整数，且M的值也为整数，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵C﹣D3＜0， ∴C不是D的“差常分式”． （2）由题意，∵E﹣F2． ∴﹣a+1+b＝2，且﹣a＝4． ∴b＝﹣3，a＝﹣4． ∴a+b＝﹣4﹣3＝﹣7． （3）由题意，∵M﹣N1， ∴P＝x2+3x+x2﹣9＝2x2+3x﹣9． ∴M2． 若x为整数，且M的值也为整数， ∴x﹣3＝±1或±3． ∴x＝2或4或0或6． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能灵活掌握变形是关键． 【巩固训练5-1】（2024秋•石景山区校级月考）阅读理解： 定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如：，我们称是的“3差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“　1　差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ①C＝（含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值． （3）已知xy＝1，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求x﹣y的值． 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“2差分式”的计算方法可得A﹣B＝2，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“4差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合xy＝1，由此即可求解． 【解答】（1）解：， 故答案为：1； （2）解：①∵，， ∴， ∴C﹣2x2﹣6x＝18﹣2x2， 解得，C＝18+6x； ②∵，x为正整数， ∴当3﹣x＝6时，x＝﹣3，不符合题意（舍去）； 当3﹣x＝3时，x＝0，不符合题意（舍去）； 当3﹣x＝2时，x＝1，则A＝3； 当3﹣x＝1时，x＝2，则A＝6； 综上所述，A的值为3或6； （3）解：， ，且xy＝1， ∴（x﹣y）2＝4， ∵x，y为正整数， ∴x﹣y＝±2， ∴x﹣y的值为±2． 【点评】本题主要考查定义新运算，分式的加减法，熟练运用分式的加减法法则是解题的关键． 题型四 分式方程新定义题型 【典例6】（2022秋•南通期末）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝2，x2＝3． 再如为十字分式方程，可化为． ∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　﹣2　，x2＝　﹣5　． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），求的值． 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出ab＝﹣4，a+b＝﹣5的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出x1﹣1＝2k﹣3，x2﹣1＝k，从而可得x1＝2k﹣2，x2＝k+1，再代入计算即可得． 【解答】（1）解：∵方程是十字分式方程，可化为： ， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣5， 故答案为：﹣2，﹣5． （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为：x1＝a，x2＝b， ∴ab＝﹣4，a+b＝﹣5， ∴1 1， ， ， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为： ， 当k＞3时，2k﹣3﹣k＝k﹣3＞0， ∵关于x的十字分式方程的两个解分别为：x1，x2（k＞3，x1＞x2）， ∴x1﹣1＝2k﹣3，x2﹣1＝k， ∴x1＝2k﹣2，x2＝k+1 ，∴． 【点评】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 【巩固训练6-1】（2023春•衡东县校级期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用m表示出x的值，再根据“相伴方程”的定义及m为正整数即可求出m的值． 【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程不是“相似方程”，理由如下： 解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x， 解得：x， 解分式方程， 解得：， 检验：当x时，（2x+1）（2x﹣1）＝0， ∴原分式方程无解， ∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程不是“相似方程”； （2）由题意，两个方程由相同的整数解， ∴mx+6＝x+4m， ∴（m﹣1）x＝4m﹣6， ①当m﹣1＝0时，方程无解， ②当m﹣1≠0，即m≠1时，x，即x＝4， ∵x，y均为整数， ∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2， 又∵m取正整数， ∴m＝2或3． 【点评】本题主要考查了一元一次方程，分式方程，二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键． 第二部分 针对训练 1．（2024秋•张店区校级月考）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：22 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 　假　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求m2+n2+mn的最小值． 【分析】（1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，2，结合的值为整数，从而x+1＝±1，进而计算可以得解； （3）依据题意得，5x﹣1，从而5x﹣1＝5m﹣11，﹣x﹣2＝n﹣6，可得m＝x+2，n＝﹣x+4，代入m2+n2+mn＝（x+2）2+（﹣x+4）2+（x+2）（﹣x+4）＝（x﹣1）2+27，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假． （2）由题意得，2， 又∵的值为整数， ∴x+1＝±1． ∴x＝0或x＝﹣2． （3）由题意得，5x﹣1， ∴5x﹣1＝5m﹣11，﹣x﹣2＝n﹣6． ∴m＝x+2，n＝﹣x+4． ∴m2+n2+mn＝（x+2）2+（﹣x+4）2+（x+2）（﹣x+4） ＝x2+4x+4+x2﹣8x+16﹣x2+2x+8 ＝x2﹣2x+28 ＝（x﹣1）2+27． ∴当x＝1时，m2+n2+mn取最小值为27． 【点评】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．（2024春•泗洪县期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A“友好分式”． 如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）分式 　是　分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法； 设的“友好分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：　　． ②若是的“友好分式”，则m+n的值为 　　． 【分析】（1）分别计算两个分式的差与乘积，再进行判断； （2）仿照例题进行求解； （3）仔细观察会发现“友好分式”的分子与分母之间的关系根据发现的规律进行回答． 【解答】解：（1）∵ ， ， ∴， 即分式是分式的“友好分式”， 故答案为：是． （2）设的“友好分式”为N， 则， ∴， ∴N． ∴的“友好分式”为：． （3）规律：“友好分式”的分母是另一个分式的分子与分母的和，两个“友好分式”的分子一样． ①的“友好分式”是， ②根据题意可得：， 变形为：， 把①代入②得：3（m+n）＝3﹣1， ∴m+n． 故答案为：； ． 【点评】本题主要考查了分式的相关知识，找出规律是解答（3）的关键． 3．（2024春•九江期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3．求方程x⊗（﹣2）1的解． 【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解答】解：依题意得：1， 去分母得：1＝2﹣（x﹣4）， 解得：x＝5， 经检验x＝5是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．（2024秋•永兴县校级月考）阅读下列材料 学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行． （1）请回答：　小聪　的说法是正确的，正确的理由是 　分式的分母不能为0　． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程2的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程1无解，求n的值． 【分析】（1）分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0； （2）先解分式方程得x＝m+6，再由题意可得m+6≥0，m+6≠3，求出m的范围即可； （3）将分式方程化为整式方程得（n﹣1）x＝2，根据题意可得n﹣1＝0或x＝3，再分别求出n的值即可． 【解答】解：（1）∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0， ∴小聪说得对，分式的分母不能为0； （2）2， ， m+x＝2（x﹣3）， x＝m+6， ∵解为非负数， ∴m+6≥0，即m≥﹣6， 又∵x﹣3≠0， ∴m+6≠3，即m≠﹣3， ∴m≥﹣6且m≠﹣3； （3）1， 3﹣2x+nx﹣2＝﹣（x﹣3）， （n﹣1）x＝2， ∵原方程无解， ∴n﹣1＝0或x＝3， ①当n﹣1＝0时，解得n＝1； ②当x＝3时，解得； 综上所述：当n＝1或时原方程无解． 【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解时满足的条件是解题的关键． 5．（2024秋•石景山区校级月考）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[1，1]（ 　×　）；②[3，﹣5]（ 　√　）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1，且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【解答】解：（1）当a＝1，b＝1时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当a＝3，b＝﹣5时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：n＝4； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1，且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：（m+1）2x＝（m+1）（m﹣1）， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴m+1＝±1或±2， 解得：m＝0或﹣2或1或﹣3， ∵m≠﹣1，且m≠0，k≠1， ∴m＝﹣2或﹣3． 【点评】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 6．（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程1＝b的解是x成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a＝2，b＝﹣5就是关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[2，﹣5]． （1）判断数对①[3，﹣5]，②[﹣2，4]中是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”的是 　①　；（只填序号） （2）若数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）根据定义计算即可； （3）根据定义计算即可． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣5时，分式方程为1＝﹣5， 解得x， ∵， ∴①[3，﹣5]是关于x的分式方程的“方程数对”； 当a＝﹣2，b＝4时，分式方程为1＝4， 解得x， ∵， ∴②[﹣2，4]不是关于x的分式方程的“方程数对”； 故答案为：①； （2）∵数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程的“方程数对”， ∴1＝3﹣n，x， ∴3n+1＝3﹣n， 解得n； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“方程数对”， ∴1＝k，x， ∴m（m﹣k）+1＝k， 解得k． 【点评】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$