甘肃省武威第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷第 1页，共 8页 武威一中 2024 年秋季学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：梁娟 审题人：武世起 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的） 1.下列四个问题属于组合问题的是( ) A. 从 4 名志愿者中选出 2 人分别参加导游和翻译的工作 B. 从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中选取 3 个不同的数字,组成一个三位数 C. 从全班同学中选出 3 名同学参加某大学生运动会开幕式 D. 从全班同学中选出 3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2. 已知点  3,1A 到抛物线  2 2 3y px p  的焦点 F 的距离为 5 ，则该抛物线的准线方程为（ ） A. 2x   B. = 1x  C. 1 2 x   D. 1x  3.圆(x－2) 2 ＋y 2 ＝r 2 (r>0)与双曲线 x 2 － ＝1 的渐近线相切，则 r的值为( ) A. B. 2 C. D. 2 4..  ( 2)( 3)( 4) ( 15) N , 15x x x x x x      可表示为（ ） A． 13 2A x B． 14 2Ax C． 13 15A x D． 14 15A x 5. 某学习小组有男、女生共 8人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人分别去做 3 种不同的工作，共有 90 种不同的选法，则男、女生人数分别为( ) A. 3,5 B. 2,5 C. 5,3 D. 6,2 6.已知点 M(－3,0)和点 N(3,0)，若直线上存在点 P(x，y)，可使|PM|＋|PN|＝10，则称该直线为“D 型直线”．下列四条直线中： ①y＝x＋1； ②y＝ x； ③y＝5； ④x＝－6. “D 型直线”的条数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.2026 年 9 月我校组织 120 校庆活动，有甲、乙、丙 3 名志愿者负责 A，B，C，D 等 4 个任务.每人至 少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责 A 任务的分配方法共有（ ） A．20 种 B．36 种 C．24 种 D．18 种 试卷第 2页，共 8页 8.已知椭圆M： ＋ ＝1，双曲线 N： － ＝1，若双曲线 N的两条渐近线与椭圆M的交点及 椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为 e1，双曲线 N的离心率为 e2， 则 e1＋e2为( ) A. ＋3 B. ＋1 C. 2 －1 D. 2 ＋1 二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题全部选对得 6 分，不分选对得 2 分） 9. 已知曲线 2 2 1 : 4 3 48C x y  ， 2 2 2 : 13 yC x   ，则( ) A. 1C 的长轴长为 4 B. 2C 的渐近线方程为 3y x  C. 1C 与 2C 的焦点坐标相同 D. 1C 与 2C 的离心率互为倒数 10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列 说法错误的是( ) A. 若任意选择三门课程，选法总数为 3 7A B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 2 6 1 2CC C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 1 5 3 7 CC  D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 1 5 2 5 1 2 CCC  11. 已知点 F 是抛物线 y 2 ＝2px(p>0)的焦点，AB，CD 是经过点 F的弦且 AB⊥CD，AB 的斜率为 k，且 k>0，C，B两点在 x轴上方，则下列结论中正确的是( ) A. · ＝－ p 2 B. 四边形 ACBD 面积的最小值为 16p 2 C. ＋ ＝ D. 若|AF|·|BF|＝4p 2 ，则直线 CD 的斜率为－ 第 II 卷（非选择题） 三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.经过点  3, 1A  ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 13.从 1,3,5,中任取 2 个数，从 0,2,4,中任取 2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为 _____________ 14. 已知椭圆 ＋y 2 ＝1，点 M1，M2，…，M5为其长轴 AB 的 6等分点，分别过这 5 点作斜率为 k(k≠0) 的一组平行线，交椭圆 C于 P1，P2，…，P10，则直线 AP1，AP2，…，AP10这 10 条直线的斜率乘积为 ________． 试卷第 3页，共 8页 四、解答题（本题共 5 个答题，共 77 分） 15.（本小题 13 分）（1）计算： 2 2 5 5 3 2 3 4 A C  A A   （2）若 1 3 3 1C A 4C x x x xx    ，则 x 的值为 （3）若 2 2 2 2 3 4 5C C C C 55n     ，求正整数 n． 16.（本小题 15 分）已知双曲线 2 2 2: 1( 0) xC y a a    与椭圆 2 24 9 36x y  有相同的焦点. (1)求双曲线C的方程； (2)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点 (2,3)的双曲线的标准方程； (3)若直线 l与双曲线C交于 P、Q两点，且 P、Q的中点坐标为 (3,1)，求直线 l的方程. 17（本小题 15 分）寒假有来自不同大学的 3 名男生和 2 名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这 5 名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的 排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙 三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？ (写出必要的数学式，结果用数字作答) 试卷第 4页，共 8页 18. （本小题 17 分）已知椭圆 C的中心在坐标原点，离心率等于 ，它的一个长轴端点恰好是抛 物线 y2＝16x的焦点． (1)求椭圆 C的标准方程； (2)已知 P(2，m)，Q(2，－m)(m>0)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线 PQ两侧的动点， 且直线 AB的斜率为 . ①求四边形 APBQ的面积的最大值； ②求证∠APQ＝∠BPQ. 19．（本小题 17 分）已知抛物线 P的焦点为  1 0F , ，准线 l的方程为 1x   .若三角形 ABC的三个顶点 都在抛物线 P上，且 0FA FB FC       ，则称该三角形为“向心三角形”. （1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为  0,0 和  1,2 ？说明理由； （2）设“向心三角形” ABC的一边 AB所在直线的斜率为 4，求直线 AB的方程； （3）已知三角形 ABC是“向心三角形”，证明：点A的横坐标小于 2 . 试卷第 5页，共 8页 武威一中 2024 年秋季学期高二年级期中考试 数学试卷答案 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的） 1.C 2.B. 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 二、多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 9.BD 10.ABD 11.ACD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 2 2 1 8 8 x y   13.60. 14.－ 四、解答题 15.【详解】（1） 2 2 5 5 3 2 3 4 5 45 4A C 2 1 5; A A 3 2 1 4 3           （2）由题设，      2 2 1 1 1 2 , 3 3 x x x x x x x x        ， 整理得： 2 6 8 ( 2)( 4) 0x x x x      ，可得 2x  或 4x  ， 又 3x  ，故 4x  . （3） 2 2 2 23 4 5C C C C n    2 2 2 2 3 3 3 4 5C C C C C 1n     2 2 2 4 4 5 3C 1C C C n     2 5 5 3 2C C C 1n    3 1 5C 1 5n   ， 试卷第 6页，共 8页 故 3 3 81 5C C6n   ，解得 7n  . 16.(1) 2 2 1 4 x y  (2) 2 2 1 8 32 y x   (3) 3 5 4 4 y x  【分析】（1）根据已知条件求得 a，从而求得双曲线C的方程. （2）设过点 (2,3)的双曲线为 2 2 4 x y   ，利用点 (2,3)求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线 l的方程. 【详解】（1）椭圆 2 24 9 36x y  ，即 2 2 1 9 4 x y   ， 所以 9 4 5c    ，所以  22 1 5 , 2a a   ， 所以双曲线C的方程为 2 2 1 4 x y  . （2）双曲线 2 2 1 4 x y  ，对应 2, 1, 5a b c   ，所以渐近线方程为 1 2 y x  ， 设过点 (2,3)的双曲线的标准方程为 2 2 4 x y   ， 所以 2 22 3 8 4     ，所以 2 2 2 2 8, 1 4 8 32 x y xy     . （3）设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则 2 2 2 21 2 1 21, 14 4 x xy y    ， 两式相减并化简得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3, 4 3 4 y y y y y y y y x x x x x x x x              ， 所以直线 l的斜率为 3 4 ，所以直线 l的方程为  3 3 9 3 51 3 , 4 4 4 4 4 y x x y x       . 由 2 2 3 5 4 4 1 4 y x x y         ， 消去 y并化简得 2 25 30 41 0, 30 4 5 41 900 820 80 0x x            ，符合. 所以直线 l的方程为 3 5 4 4 y x  .即 3x-4y-5=0         7824 1203 482 1501.17 3 3 4 4 5 5 3 3 6 6 4 4 2 2 3 32 2 2 3 2 53 3 3 5       AAA A A AA A A CC AC 18.【答案】(1)解 由题意设椭圆 C的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)， ∵抛物线 y2＝16x的焦点坐标为(4,0)， 试卷第 7页，共 8页 ∴a＝4，由 e＝ ＝ ，a2＝b2＋c2，得 c＝2，b2＝12， ∴椭圆 C的标准方程为 ＋ ＝1. (2)①解 当 x＝2时，解得 m＝3，∴|PQ|＝6， 设 A(x，y)，B(x′，y′)，直线 AB的方程为 y＝ x＋t， 与椭圆方程联立得 得 x2＋tx＋t2－12＝0，由题意知Δ>0，得－4<t<4， 由根与系数的关系得 x＋x′＝－t，xx′＝t2－12， ∴|x－x′|＝ ＝ ＝ ， 由此可得，四边形 APBQ的面积 S＝ |PQ|·|x－x′|＝ ·6·|x－x′|＝3 ， ∴当 t＝0时，(S 四边形APBQ)max＝12 . ②证明 kAP＝ ，kBP＝ ， ∴kAP＋kBP＝ ＋ ＝ ， 而 y＝ x＋t，y′＝ x′＋t， ∴(y-3)( �'-2)+( �'-3)(x-2)=t2－12＋(t－4)(－t)－4t＋12＝0， ∴kAP＋kBP＝0，即 kAP＝－kBP， ∴∠APQ＝∠BPQ. 19.（1）不存在，理由详见解析；（2） 4 5 0x y   ；（3）证明见解析. 【解析】（1）由题意可知，点 F 为����的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐 标，代入抛物线的方程，进行判断即可； （2）设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y 、  3 3,C x y ，利用点差法求得 1 2 1y y  ，根据重心的坐标公式，求出 线段 AB的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线 AB的方程； （3）由  1 2 3y y y   ，等式两边平方，利用基本不等式可得出  1 2 32x x x  ，结合等式 2 3 13x x x   可求出 1 2x  ，进而证明结论成立. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为 2 4y x ， 由 0FA FB FC       ，可知， F为����重心， 设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为  0,0 和  1,2 ，另外的顶点为  0 0,x y ， 试卷第 8页，共 8页 由 0 0 0 1 1 3 0 2 0 3 x y         ，解得： 0 0 2 2 x y     ，显然 2 0 04y x ， 故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为  0,0 和  1,2 ； （2）设  1 1,A x y 、  2 2,B x y 、  3 3,C x y ， 由 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x     ，两式相减，得     1 2 1 2 1 24y y y y x x    ，所以 1 2 1 2 1 2 4 4y y x x y y      ，所以 1 2 1y y  ， 由题意可知， 1 2 3 0y y y   ，所以 3 1y   ，则 3 1 4 x  ， 由 1 2 3 3x x x   ，所以 1 2 11 4 x x  ，所以，线段 AB的中点 11 1, 8 2       ， 因此，直线 AB的方程为 1 114 2 8 y x       ，整理得 4 5 0x y   . 因此，直线 AB的方程 4 5 0x y   ； （3）由（2）可知 1 2 3 3x x x   ，则 2 3 13x x x   ，① 由 1 2 3 0y y y   ，  1 2 3y y y   ， 平方可得  2 2 2 2 21 2 2 3 3 2 32 2y y y y y y y     ，当且仅当 2 3y y 时取等号，显然 2 3y y ， 所以 22 2 31 22 4 4 4 yy y       ，即  1 2 32x x x  ， 将①代入可得  1 12 3x x  ，解得 1 2x  ， 所以点A的横坐标小于 2 . 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差 法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.