余弦定理、正弦定理应用举例课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 余弦定理、正弦定理应用举例 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平 线的夹角叫_______，视线在水 平线下方时与水平线的夹角叫_______（如图①）. 2. 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的 水平角，范围为 （如图②）. 仰角 俯角 ① ② 3 3. 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方 向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小 于 ，如图③）. 4. 坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面的夹角（如图④， 角 为坡角）. （2）坡度：坡面的铅直高度与坡面的水平距 离之比（如图④， 为坡度）. ③ ④ 4 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 如图，在高速公路建设中需要确定隧道 的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点，到点 的距离，且 ，则， 两点间 的距离为_____ . [解析] 在中，易得 ，由正弦定理得 ， 则 . 5 2.［教材改编］ 如图,山脚下有一座小塔,在塔底 测得 山顶的仰角为 ,在山顶测得塔顶的俯角为 ,已知 塔高,则山高_ _____________ . [解析] 如图,过点作,与的延长线交于点 , 则 , .设,则 . 因为,所以. 在 中,，故,解得 . 6 3.［教材改编］ 如图所示，已知船在灯塔 北偏东 方向上，且，间的距离为，船在灯塔 北 偏西 方向上，且，两船间的距离为 ，则 ，间的距离为__________ . [解析] 由题意知 ，设 ， 则由余弦定理知 ，， . 7 题组二 常错题 4.若某人在点处测得塔顶端的仰角为 ,此人往塔的方向走了80米到达点 处, 测得塔顶端的仰角为 ,则塔的高度约为______米.（忽略人的身高,结果保留整 数， ） 109 [解析] 如图,设为塔,由题知米. 设 米,则米， 则由已知得 , 解得 . 8 5.点在点的南偏西 方向上,若以点为基点,则点 的方位角是_______. [解析] 根据方位角的概念可得点的方位角为 . 9 探究点一 测量距离问题 例1 如图所示，隔河可以看到对岸两目标， ， 但不能到达，在岸边取相距的， 两点，测 得 ， ， ， （，，， 在同一平面内），则两 目标， 间的距离为( ) B A. B. C. D. ［思路点拨］ 在中，利用正弦定理求出，在 中，利用正弦定理 求出，在中，利用余弦定理求出 . 10 [解析] 在中， , ,由正弦定理得 ， 则. 在 中， , , 由正弦定理得,则. 在 中,由余弦定理得 , 可得,则,间的距离为 .故选B. 11 [总结反思] 测量距离问题的解题步骤: （1）选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则 直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可用,那么就选择更便于计算的定 理. 12 变式题（1） [2023·河北廊坊模拟] 如图是隋唐天坛，古 叫圜丘，它位于唐长安城明德门外东1千米处，即今西安市 雁塔区陕西师范大学南侧.某数学兴趣小组为了测得天坛的直 径，在天坛外围测得米，米， D A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 米， ， ，据此可以估计天坛最下面一层的直径 大 约为（结果精确到1米）（参考数据：，， ， ） ( ) 13 [解析] 连接，在中，米，米， ， 所以为等边三角形，则米， ， 所以 .在 中， ， 所以 （米）. 14 （2） 如图为张衡地动仪，现要在相距的， 两 地各放置一个地动仪，在的北偏东 方向上，若 地的 地动仪正东方向的铜丸落下， 地的地动仪东南方向的铜丸 落下，则地震的位置在地正东方向的________________ 处. 15 [解析] 如图，设地震的位置在处， 由已知得 ， ， ， . 根据正弦定理可得， 又 ， 所以， 所以地震的位置在 地正东方向的 处. 16 探究点二 测量高度问题 例2（1） 如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视 塔的高度，他在自己家阳台处测得到楼地面底部点 的 距离为，假设电视塔底部为 点，顶部为 点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且 ， ，三点共处同一水平线，在处测得阳台 、电视塔顶 A A. B. C. D. 部的仰角分别是 和 ，在阳台处测得电视塔顶部 的仰角 ，假设，和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高 为 ( ) 17 [解析] 在中，， 在 中， ， ， 则 ，由正弦定理得 ， 则. 在 中， .故选A. ［思路点拨］根据题意可得，在 中利用正弦定理可求得 ，进而在中可求得. 18 （2） 2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会在 成都东安湖体育公园开幕.东安阁是公园十二景中的第一景 东阁望川，整体采用唐代风格，按照唐式高阁的建筑形制设 计建造.某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中， 如图，选取与阁底在同一水平面的， 两处作为观测点， 测得， ， ，在 处测 C A. B. C. D. 得阁顶的仰角为 ，则他们测得东安阁的高度约为（精确到 ，参考数 据：， ） ( ) 19 [解析] 在中， ， 因为，所以. 在 中， , ，即 为等腰直角三角形， 所以 .故选C. ［思路点拨］在 中，由正弦定理可求得，进而在 中可 得结果. 20 [总结反思] （1）在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视 线与水平线之间的夹角. （2）要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开,以免影响解答. 21 变式题 佛宫寺释迦塔又称应县木塔，始建于公元1056年，是世界上现存最高大、 最古老纯木结构楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大 奇塔”.如图，小张为测量木塔 的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取 一点，并垂直竖立一高度为的标杆，从点处测得木塔顶端 的仰角为 ，再沿方向前进到达点，并垂直竖立一高度为的标杆 ，再 沿方向前进到达点处，此时恰好发现点， 在一条直线上.若小张眼睛到 地面的距离，则小张用此法测得的木塔的高度 约为（结果保留1位 小数，参考数据： ）( ) 22 A. B. C. D. √ 23 [解析] 如图,过点作于点,过点作 于点,交于点, 则四边形,,， 都是矩形, 所以, , , , 所以. 在 中,, 所以 , 由已知得,所以,即 , 所以 .故选B. 24 探究点三 测量角度问题 例3 某渔船在航行过程中不幸遇险,发出求救信号,我国海军舰艇在 处获悉后,立 即测出该渔船在方位角为 ,距离为10海里的 处,并测得该渔船正沿方位角为 的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以 海里/时的 速度沿直线前去营救,恰好在 处追上渔船，求舰艇航行的方位角和追上渔船所需 的时间. ［思路点拨］ 设所需时间为小时,用表示出和,在 中应用余弦定理可 求出,再用正弦定理可求出 ，进而可得方位角. 25 解：如图所示,设所需时间为小时, 则 海里,海里, 在 中, 由余弦定理得 , 即, 整理得，可得 , 所以舰艇需1小时追上渔船.海里, 海里, 在中,由正弦定理得 ,所以 , 所以 ,所以舰艇航行的方位角为 . 26 [总结反思] （1）先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知和所求,再根据题意画 出正确的示意图,这是最关键和最主要的一步. （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,再确定使用正弦定理还是余 弦定理解决问题. 27 变式题（1） （多选题）某货轮在处测得灯塔在北偏东 ，距离为 处，测得灯塔在北偏西 ，距离为处.货轮由 处向正 北方向航行到处时，测得灯塔在南偏东 方向上，则下列说法正确的是 ( ) AC A.与之间的距离是 B.灯塔与之间的距离是 C.灯塔在的西偏南 方向上 D.在灯塔的北偏西 方向上 28 [解析] 如图，由题意可知 ， ， ，， ， 所以 . 在中，由余弦定理得 ， 即 ，故B错误； 由B项解析知，所以 ， 所以灯塔在的西偏南 方向上，故C正确； 由 ，得在灯塔的北偏西 方向上，故D错误.故选 . 在 中，由正弦定理得，所以 ，故A正确； 29 （2） 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程 度”，如图，为土坡顶部一根旗杆，在坡脚 处测得 ，沿土坡向坡顶前进后到达 处，测得 .已知旗杆, ，设土坡对于 地平面的坡角为 ，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 在中，由正弦定理可得, 在 中，易知, ， 则 ， 整理可得 .故选D. 30 提升习题 31 技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较重， 如果过长会影响火箭发射），如图所示，已知工程师们在建桥处 测得对岸目标 点的正下方地面上一标志物的高为，从点处看点和点 的俯角分别为 ， ，则一枚火箭应至少携带引导索 的长度为( ) 1 ［配例1使用］ [2023·哈尔滨六中二模] 火箭造桥技 术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引 两条足够长的绳索精准地射入对岸的指定位置，是建造高 空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种 C A. B. C. D. 32 [解析] 在中，， 在中， , , ， 由正弦定理可得 ，即， 所以 .故选C. 33 2 ［配例2使用］ 滕王阁，江南三大名楼之一，因初 唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在 滕王阁旁的水平地面上共线的三点，， 处测得其顶点 的仰角分别为 ， ， ，且 米， 则滕王阁的高度 _________米. 34 [解析] 设米， 则（米）， （米）， （米）. 方法一：由 得 ， 由余弦定理得，化简得 ， 所以，即滕王阁的高度为 米. 35 方法二：在中，， 在 中，，所以 ， 化简得，所以，即滕王阁的高度为 米. 36 3 ［配例3使用］ 如图，某巡逻艇在 处发现 北偏东 相距海里的 处有一艘走私 船，正沿东偏南 的方向以3海里/时的速度向我 海岸行驶，巡逻艇立即以 海里/时的速度沿着 正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达 处， 走私船到达 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即 改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即 加速以 海里/时的速度沿着直线追击. 37 （1） 当走私船发现了巡逻艇时，两者相距多少海里？ 解：由题意知，当走私船发现了巡逻艇时， 走私船在处，巡逻艇在 处， 此时, . 由题意知 . 连接,在中， , ， , 由余弦定理得 ，所以 . 38 在中，由正弦定理得，即 , 所以,所以 , 所以 . 在中， ,, ， 由余弦定理得 ，所以 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两者相距 海里. （2） 巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？ 解： 设巡逻艇经过小时沿方向在处追上走私船，如图， 则 ,, . 在中，由正弦定理得 ， 即，所以, 所以 ， , . 在中，由正弦定理得 ，则， 所以 ，由（1）得 ， 所以 ， 故巡逻艇应该沿北偏东 方向去追，才能最快追上走私船. 40 例4 ［补充使用］ 如图，为方便市民游览市民中心附近的 “网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 ，已知射线 ，是夹角为 的公路（长度均超过3千米），在两 条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台 （1） 求 的长度； 解：在 中，由余弦定理得 ，可得 ，所以 的长度为3千米. 到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米. 41 （2） 若 ，求 的面积的最大值. 42 解： 设 ，因为 ，所以 . 在 中，由正弦定理得 ， 所以， ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时，的面积取得最大值 ， 所以的面积的最大值为 平方千米. $$